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1、海南中学 2015届高三 5 月月考 数学（文）试题 （考试用时为120 分钟，满分分值为150 分.） 注息事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题 )两部分 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1
2、.设全集 U=Z ，集合 M=2, 1，P=2 , 1 ,0, 1, 2，则 P U C M=（） A0B1C0, 2, 1D 2. 已知复数z满足1234i zi，则z=（） A. 5 5 B.1C.5D.5 3.已知向量a，b的夹角为 0 60，且1a ，2b，则2ab（） A3B5C2 2D2 3 4.已知 1 1a， 1 31 n n n a a a ， 则数列 n a的通项为 n a （） A 1 21n B21n C 1 32n D.32n 5. 执行右边的程序框图，若0.9p，则输出的n （） A. 3B.4 C.5D.6 6.在圆 22 260xyxy内， 过点0,1E的最长弦
3、和最短弦分别为AC和BD， 则四边形ABCD 的面积为（） A5 2B10 2C15 2D20 2 7.将函数yfx的图像向右平移 2 单位得到函数cos2yx的图像，则将函yfx的横坐标 伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数yg x的图像，则g x（） Asin 4xBcos4xCsin xDcosx 8.设函数4sin 21fxxx，则在下列区间中，函数fx不存在零点的是（） A4, 2B2,0C0,2D2,4 9. 抛物线 yax 2 的准线方程为y1，则实数a的值为（） （A）4 （B） 4 1 （C） 4 1 （ D） 4 10.已知 3 ,2 2 ，满足tan2tan0，则ta
4、n的最小值是（） A 2 4 B 2 4 C 3 2 4 D 3 2 4 11.设 12 ,F F分别是双曲线 22 22 1 xy ab (a0,b0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P， 使得0)( 22 PFOFOP，其中O为坐标原点，且122PFPF ，则该双曲线的离心率为( ) A. 2 3 3 B.3 1C. 5 2 D.5 12. 已知函数 2, 1) 2 1 ( 2,)2( )( x xxa xfx 满足对任意的实数 21 xx都有0 )()( 21 21 xx xfxf 成立 ,则实数a的取值范围为 A)2,(B 8 13 ,(C2,(D)2 , 8 13 第卷 本卷包括
5、必考题和选考题两部分.第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题至第 24 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5 分.） 13. 若 双 曲 线 22 22 1 xy ab (a0,b0) 的 离 心 率 为3， 则 其 渐 近 线 方 程 为。 14.已知直线21yx与曲线 3 yxaxb相切于点(1,3)，则实数b的值为 _. 15已知实数yxz yx x yx yx2 0 3 05 , 则目标函数满足的最小值为 16. 已知下列四个命题： 若 2 1axax0 在R上恒成立，则0a4； 锐角三角形ABC中， 3 A，则 1 2
6、 sin B1； 已知kR,直线10ykx与椭圆 22 1 5 xy m (m 0)恒有公共点，则1,5m； 定义在 R上的函数fx 满足,fxyfxfy当x0 时，fx0,则函数fx在 ,a b上有最小值f b。 其中的真命题是。 三.解答题（本大题共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本小题满分12 分）已知函数cos3sincosfxxxx。 (1)求函数fx的最小正周期和单调递减区间； 记ABC的内角,A B C的对应边分别为, ,a b c，且 1 2 fB，1ac，求b的取值范围。 18（本小题满分12 分）已知 n a是递增的等差数列， 2 a， 4 a是
7、方程 2 560xx的根。 （I）求 n a的通项公式； （II）求数列 2 n n a 的前n项和 . 19 （本题满分 12分） 如图， 已知圆心坐标为)1 ,3(的圆M与x轴及直线xy3分别相切于BA、 两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线xy3分别相切于DC、两点。 （1）求圆M和圆N的方程； （2）过点B作直线MN的平行线l，求直 线l与圆N相交所截得的弦的长度。 20（本小题满分12 分） .已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (ab 0)经过点 3 1, 2 P ，离心率 1 2 e。 求椭圆C的方程； 不过原点的直线l与椭圆C交于,A B两点，若AB的中点 M 在抛
8、物线 2 :4E yx上，求直线l的 斜率k的取值范围。 21（本小题满分12 分）设函数xaxxxfln)( 2 ，其中0a. （1）若6a，求)(xf在1,4 上的最值； （2）若)(xf在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围； 请考生在第22、23、 24 三题中任选一题 做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本题满分10 分）选修41：几何证明选讲 如图，在正ABC中，点,D E分别在边,AC AB上，且 1 3 ADAC, 2 3 AEAB,BD与CE交于点 F。 求证：,A E F D四点共圆； 若正ABC
9、的边长为2，求点,A E F D所在圆的半径。 23.（本小题满分10 分）选修44；坐标系与参数方程 已知曲线C： 22 1xy，将曲线C上的点按坐标变换 2 3 xx yy 得到曲线 C；以直角坐标系原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标系方程是2cossin10。 写出曲线 C和直线l的普通方程； 求曲线 C上的点M到直线l距离的最大值及此时点M的坐标。 24 （本小题满分10 分）选修45：不等式选讲 已知函数|)(axxf。 （ 1）若mxf)(的解集为51|xx，求实数ma,的值。 （ 2）当2a且20t时，解关于x的不等式( )(2)fxtfx。 参考答案
10、（考试用时为120 分钟，满分分值为150 分.） 注息事项： 1.本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题 )两部分 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考 证号填写在本试卷和答题卡相应位置上. 2.回答第卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第卷时，将答案写在答题卷上，写在本试卷上无效. 4.考试结束后，将答题卷和答题卡一并交回. 第卷 一、选择题（本大题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1设全集U=Z ，集合 M=2, 1，P=2, 1 ,
11、0, 1, 2，则 P U C M=（C ） A0B1C0, 2, 1D 2. 已知复数z满足1234i zi，则z=（ C ） A. 5 5 B.1C.5D.5 3.已知向量a，b的夹角为 0 60，且1a ，2b，则2ab（ D ） A3B5C2 2D2 3 4.已知 1 1a， 1 31 n n n a a a ，则数列 n a的通项为 n a （C ） A 1 21n B21n C 1 32n D.3 2n 5. 执 行 右 边 的 程 序 框 图 ， 若0.9p， 则 输 出 的n （C ） A. 3B.4 C.5D.6 6.在圆 22 260xyxy内， 过点0,1E的最长弦和最短
12、弦分别为AC和BD， 则四边形ABCD 的面积为（B ） A5 2B10 2C15 2D20 2 7.将函数yfx的图像向右平移 2 单位得到函数cos2yx的图像，则将函 yfx 的横坐标 伸长到原来的2 倍，纵坐标不变，得到函数yg x的图像，则g x（D ） A sin 4x Bcos4xCsin xDcosx 8. .设函数4sin 21fxxx，则在下列区间中，函数fx不存在零点的是（A） A4, 2B2,0C0,2D2,4 9. 抛物线 yax 2 的准线方程为y1，则实数a的值为（C ） （A）4 （B） 4 1 （C） 4 1 （ D） 4 10.已知 3 ,2 2 ，满足ta
13、n2tan0，则tan的最小值是（B ） A 2 4 B 2 4 C 3 2 4 D 3 2 4 11.设 12 ,F F分别是双曲线 22 22 10,0 xy ab ab 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P，使得 2 2 0OPOFF P，其中O为坐标原点，且122PFPF ，则该双曲线的离心率为( D ) A. 2 3 3 B.31C. 5 2 D.5 12. 已知函数 2, 1) 2 1 ( 2,)2( )( x xxa xf x 满足对任意的实数 21 xx都有0 )()( 21 21 xx xfxf 成立 ,则实数a的取值范围为(B ) A)2,(B 8 13 ,(C2,(D)
14、2 , 8 13 第卷 本卷包括必考题和选考题两部分.第 13 题至第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 22 题至第 24 题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5 分.） 13. 若双曲线 22 22 1 xy ab 的离心率为3，则其渐近线方程为2yx。 14.已知直线21yx与曲线 3 yxaxb相切于点(1,3)，则实数b的值为 _3_. 15已知实数yxz yx x yx yx2 0 3 05 , 则目标函数满足的最小值为-3 16. 已知下列四个命题： 若 2 1 0axax在R上恒成立，则04a； 锐角三角形ABC中， 3 A，则 1 s
15、in1 2 B； 已知kR，直线10ykx与椭圆 22 10 5 xy m m 恒有公共点，则1,5m; 定义在R上的函数fx满足,fxyfxfy当0x时，0,fx则函数fx在 ,a b上有最小值f b。 其中的真命题是（ 2） （4）。 三.解答题（本大题共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17（本小题满分12 分） 已知函数 cos3 sincosfxxxx。 （1）求函数fx的最小正周期. 记ABC的内角,A B C的对应边分别为, ,a b c，且 1 2 fB，1ac，求b的取值范围。 解： （1） 1 sin 2 62 fxx-2分 T -4分 函数fx的递减区
16、间为： 5 , 36 kkkZ 。-6 分 （2） 1 2 fB sin 21 6 B 11 02 666 BB 2 62 B即 3 B-8 分 由 2221 2cos,1,cos 2 bacacB acB 得 2 2 11 3 24 ba-10 分 又1,ac则01a 21 1 4 b即 1 1 2, b 。-12 分 18（本小题满分12 分） 已知 n a是递增的等差数列， 2 a， 4 a是方程 2 560xx的根。 （I）求 n a的通项公式； （II）求数列 2 n n a 的前n项和 . 18.解： (1)方程 x 25x6 0 的两根为 2，3. 由题意得a2 2，a43. 设
17、数列 an的公差为 d，则 a4a22d， 故 d1 2，从而得 a1 3 2. 所以 an的通项公式为 an 1 2n1. -6 分 (2)设 an 2 n 的前 n 项和为 Sn，由 (1)知 an 2 nn2 2 n1， 则 Sn 3 2 2 4 2 3 n1 2 n n2 2 n1， 1 2Sn 3 2 3 4 2 4 n1 2 n1 n2 2 n2， 两式相减得 1 2Sn 3 4 1 2 3 1 2 n1n2 2 n2 3 4 1 4 1 1 2 n1 n2 2 n2，所以 Sn2n4 2 n1.-12 分 19 （本题满分 12分） 如图， 已知圆心坐标为)1 ,3(的圆M与x轴
18、及直线xy3分别相切于BA、 两点，另一圆N与圆M外切，且与x轴及直线xy3分别相切于DC、两点。 （1）求圆M和圆N的方程； （2）过点B作直线MN的平行线l，求直 线l与圆N相交所截得的弦的长度。 解： （1）9) 3()33( :, 1) 1()3(: 2222 yxNyxM6 分 （2）3312 分 20（本小题满分12 分） . 已知椭圆 22 22 :10 xy Ca b ab 经过点 3 1, 2 P ，离心率 1 2 e。 求椭圆C的方程； 不过原点的直线l与椭圆C交于,A B两点，若AB的中点M在抛物线 2 :4E yx上，求直线l的 斜率k的取值范围 . 解： (1) 22
19、 :1 43 xy C-3分 (2)设直线 1122 :0 ,lykxm mA x yB xy， 00 ,Mxy。-4 分 由 22 3412 ykxm xy 得 222 3484120kxkmxm -6 分 2 22 84 34412kmkm0 即 22 43km0 （1）-8 分 又 12 2 8 34 km xx k 故 22 43 , 3434 kmm M kk 将 22 43 , 3434 kmm M kk 代入 2 4yx得 2 2 1634 ,2 9 kk mko-10 分 将（ 2）代入（ 1）得： 222 163481kk 解得 66 , 88 k且0k。即k 66 ,00,
20、 88 。-12 分 21（本小题满分12 分）设函数 xaxxxfln)( 2 ，其中 0a . （1）若6a，求)(xf在1,4 上的最值； （2）若)(xf在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a 的取值范围； 请考生在第22、23、 24 三题中任选一题 做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用 2B 铅 笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本题满分10 分）选修41：几何证明选讲 如图，在正ABC中，点,D E分别在边,AC AB上，且 1 3 ADAC, 2 3 AEAB,BD与CE交于点 F。 求证：,A E F D四点共圆； 若正ABC的边长为2，求点,A E F
21、D所在圆的半径。 解： （1）由 2 , 3 AEAB则 1 3 AEAB 在正ABC中， 1 3 ADAC,ADBE 又,ABBCBADCBE BADCBE ADBBEC 故ADFAEF 从而,A E F D四点共圆。 （2）取AE中点G,连接GD,则 112 233 AGGEAEAB 又 12 33 ADAC, 0 60DAE AGD为正三角形 2 3 GDAGAD 即 2 3 GAGEGD 故G是过,A E F D四点的圆心，且半径为 2 3 。 23.（本小题满分10 分）选修44；坐标系与参数方程 已知曲线C： 22 1xy，将曲线C上的点按坐标变换 2 3 xx yy 得到曲线 C
22、；以直角坐标系原 点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标系方程是2cossin10。 写出曲线 C和直线l的普通方程； 求曲线 C上的点M到直线l距离的最大值及此时点M的坐标。 解： （1） 22 :1 49 xy C : 2100lxy （2）设曲线 C上的点2cos ,3sinM，则 4cos3sin10 5 d 0 5sin10 5 当 0 sin1时，d取最大值3 5 即距离的最大值为3 5；此时点 M 的坐标为 89 , 55 。 24 （本小题满分10 分）选修45：不等式选讲 已知函数|)(axxf。 （ 1）若mxf)(的解集为51|xx，求实数ma,的值。 （ 2）当2a且20t时，解关于x的不等式( )(2)fxtfx。