数据包络分析PPT课件.ppt

1、数据包络分析Data Envelopment Analysis,DEA 什么是数据包络分析 l数据包络分析是著名运筹学家A.Charnes 和 W.W.Cooper 于1978年在“相对效率评价”概念基础上发展起来的一种新的统计分析方法。已经成为管理科学领域一种重要而有效的分析工具。数据包络分析有什么用处l可以对企事业单位作出各种有效性评价 。l特点是评价的相对性，所得结论是与其他同类型的被评对象相比较而言的。主要的技术工具是线性规划模型。7.1 概念：决策单元l决策单元(Decision Making Units,DMU)：l 一个有投入有产出的生产或经济组织。l 注1：DMU的概念是很宽泛

2、的。厂商、城市或地区、行业、部门、学校、医院，甚至某个产品（在评价产品质量时）都是。l 注2：不同的研究，投入和产出会 不同。概念：决策单元l注3：在评价时，把同类型的DMU放在一起。所谓同类型的DMU，是指3个相同：1 目标和任务；2 外部环境；3投入产出指标。l注4：可以把一个企业一年四季度或者不同的年份看作是不同类型的DMU。l投入=输入；产出=输出。概念：生产活动l生产活动：DMU的输入输出指标组成的向量。l 输入指标：l 输出指标：l 生产活动：多个DMU的输入输出指标概念：生产可能集l一些生产活动之集合（在一定的技术条件下，理论上存在的反映生产过程中投入和产出关系的可能性的集合）称

3、为生产可能集，表示为：l注1：生产可能集的具体形式是由公理体系确定的，不同的公理体系确定的生产可能集不相同。l注2：生产可能集是研究问题的一个平台。概念：公理体系l1 平凡公理：设已有 个生产活动l则l平凡公理是说，已知的生产活动理所当然属于生产可能集。概念：公理体系l 2 凸性公理。如果 和 是生产可能集中的生产活动，则l 也是生产可能集中的生产活动。l这里 是任意一个实数。l凸性公理是说，原投入的凸组合作为新的投入，则原产出的相同凸组合作为新的产出是可能的。概念：公理体系l3 无效性公理。设 是生产可能集中生产活动，若l l若l无效性公理是说，以较少的产出和较多的投入是可能的。概念：公理体

4、系l4.1 锥性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l锥性公理是说，若以原投入的 倍进行投入，则可以生产原产出的 倍。概念：公理体系l4.2 收缩性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l收缩性公理是说，生产活动 是可以缩小规模的。概念：公理体系l4.3扩张性公理。如果 是生产可能集中的生产活动，则l也是。这里 。l扩张性公理是说，生产活动 是可以扩大规模的。概念：公理体系l5 最小性。生产可能集是满足上述公理1-3和4.1，4.2，4.3三个公理之一的所有集合的交集。l 经验生产可能集l当 个DMU已知时，利用观测值l可构造经验生产可能集。l当满足公理1

5、2,3,4.1和5时，有l当满足公理1,2,3,和5时,有l当满足公理1,2,3,4.2和5时,有l当满足公理1,2,3,4.3和5时,有生产可能集的例子 例7.1l有3个DMU的输入输出情况如下：lDMU 1 2 3l输入 1 3 4l输出 2 3 1有效生产活动与生产函数 l有效生产活动：投入 与所应达到的最大产出 组成的生产活动 叫有效生产活动。l生产函数：所有有效生产活动中，X与Y的函数关系叫生产函数。7.2 数据包络分析的基本模型CCR模型l这是由Charnes,Cooper,和Rhodes给出的。l 思路：考虑 个同类型的 DMU，其生产活动已知，且l CCR模型l将这 个DMU

6、看成一个大系统，任取其中一个，作为评价对象。例如，取第 个，记为 DMUj0。l 构造一个新的DMU，它的输入输出是这 个DMU的非负线性组合，于是，它的生产活动为：CCR模型l上式中的系数 待定。l对于评价对象DMUj0来说，让新DMU的投入(与DMUj0投入相比)不增加，看其（新DMU）产出是否能增加，于是有下述基于输出的模型 ：基于输出的CCR模型基于输入的CCR模型l让新DMU产出不减少，看投入能否减少，得到基于输入的模型 ：评价结论l按照基于输入的CCR模型 ：对于评价对象DMUj0来说，如果新DMU的产出不减少，其投入能够减少，则DMUj0不是有效的，反之，若新DMU的投入不能减少

7、则DMUj0是有效的。l按照基于输出的CCR模型也有类似结论。模型的最优值和最优解l基于输入和基于输出的评价结论相同。l最优值 l最优值之间的关系：l最优解记为（弱）有效的定义l以基于输入的模型 为例。lDMUj0为弱DEA有效(CCR)的充要条件是：lDMUj0为DEA有效(CCR)的充要条件是：l 并且每组最优解中松弛变量和剩余变量的值都为0.l 基于输入和输出的最优解的关系l设 是基于输入 的最优解和最优值，则l 是基于输出 的最优值；l 是基于输出 的最优解。例 7.2l有4个DMU 的输入输出情况如下:lDMU 1 2 3 4l输入1 2 1 1 2.4l输入2 1 2 4 2.4

8、l输出 1 1 1 1 例7.2:建立基于输入的模型并且评价DMU1l评价DMU1:l解得:，所有松弛和剩余变量都为0,故DMU1有效.例7.2:建立评价DMU2的模型 例7.2:建立评价DMU3的模型例7.2:建立评价DMU4的模型DMU1-4的结果lDMU1和DMU2为DEA有效（当然也弱有效）.l对于DMU3,有 l第2个松弛变量最优值为2,故DMU3为弱DEA有效且非DEA有效.lDMU4的最优解为:l故DMU4为非弱DEA有效.弱有效与有效的区别lDEA有效:若新DMU要保持DMUj0的产出水平,则它的各项投入均不能减少,说明DMUj0是DEA有效的.l弱DEA有效:若新DMU要保持

9、DMUj0的产出水平,则它的部分(不是全部)投入可以减少,说明DMUj0是弱DEA有效.非弱DEA有效的含义l因为 ，说明各项投入都可以减少，同时产出保持不减少。例7.2中的DMU4，因为l l各项投入都可以减少为DMU4的投入的5/8，而产出保持不变。l注：可按照 的值对非弱DEA有效的DMU排序。具有非阿基米德无穷小的CCR模型l退化情形下，判断是否有效在技术上有难度。于是引入下述模型 （基于输入）具有非阿基米德无穷小的CCR模型l其中l 为非阿基米德无穷小量。l l l 具有非阿基米德无穷小的CCR模型：例7.2DMU3具有非阿基米德无穷小的CCR模型是否有效的结论l设 为非阿基米德无穷

10、小，为最优解，则有l(1)若 则DMUj0不为弱DEA有效;l(2)若 则DMUj0仅为弱DEA有效;l(3)若 则DMUj0为DEA有效;例7.2的DMU3的最优解CCR模型对应的生产可能集l满足平凡公理1，凸性公理2，无效性公理3，锥性公理4.1和最小性公理5的生产可能集由下式唯一确定：生产可能集的例子：例7.1l有3个DMU 的输入输出情况如下:l DMU 1 2 3 l输入 1 3 4 l输出 2 3 1 l生产可能集 如下：生产可能集的例子：例7.1xy(3,3)(1,2)(4,1)l有效生产活动构成的“平面”称为有效生产前沿面，也叫相对有效（前沿）面。l引入 的对偶模型 ：利用对偶

11、模型判断有效性l1 若对偶模型 最优解存在，且 l则DMUj0为弱DEA有效。l2 若对偶模型 最优解存在l并且l l则DMUj0为DEA有效。对偶模型的解释l一般地，记 为DMUj的效率评价指数。l当然 为DMUj0的效率评价指数。l实际上是投入产出效率：每单位投入的产出数。有效生产前沿面（基于CCR）l设DMUj0为DEA有效（CCR），则称超平面l为 的有效生产前沿面，其中有效生产前言面的简单例子：例7.1有效生产前沿面的例子：例7.3l有4个DMU 的输入输出情况如下:l DMU 1 2 3 4l输入1 1 3 3 4l输入2 3 1 3 2l输出 1 1 2 1有效生产前沿面的例子：

12、例7.3l考虑DMU1，模型为：例7.3的有效生产前沿面l最优解为：l l故 DMU1为DEA有效，一个有效生产前沿面为lL1:l因为DMU2也有效，经计算可有另一个有效生产前沿面L2:l注：DMU1,3在L1上，DMU2,3在L2上。例7.3的有效生产前沿面lDMU3也有效，故还有有效生产前沿面：lL3(与L1相同):lDMU4非弱有效，解相应的 得：l有效生产前沿面是经济学中生产函数向多产出情况的推广。判断一个DMU是否有效，本质上是判断该DMU是否位于生产可能集的有效生产前沿面上。DMU在有效生产前沿面的“投影”l考虑模型 ，设其最优解为：l令l DMUj0在生产可能集 的有效生产前沿面

13、的“投影”。“投影”的意义l1实际上l2“投影”在有效生产前沿面上，因而是有效的。l3 若DMUj0本身是有效的，则l4 若DMUj0是弱有效的，则“投影”的例子l例7.3 DMU4的“投影”在L2上。l对DMU4解 得：l故l于是 在L2上。作业1l作业1：lDMU 1 2 3 4l x 4 6 10 5l y 4 6 8 4l求DMU3,4的“投影”。作业2l作业2：lDMU 1 2 3 4l x 1 1 3 5l y 2 1 4 4l求DMU2的“投影”。其他DEA模型：BCC模型l以上的有效性概念是基于CCR模型的。类似地，可由BCC模型建立有效性概念。lBCC模型是由Banker,C

14、harnes和Cooper 于1984年创立的。l与CCR模型相比，多了一个约束条件。基于输出的BCC模型l记为 ：基于输入的BCC模型l记为 ：BCC模型对应的生产可能集l记为 ：l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理和最小性公理而唯一确定的。l注：这里缺少了锥性公理。生产可能集中多了参数之和为1的条件。其他DEA模型：FG模型lFG模型是由Fare 和Grosskopf于1985年创立的。基于输入的模型记为 ：FG模型对应的生产可能集l记为l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理、压缩性公理和最小性公理而唯一确定的。其他DEA模型：ST模型lST模型是由Seiford 和Thrall于1

15、990年创立的。基于输入的模型记为 ：ST模型对应的生产可能集l记为 ：l这是满足平凡公理，凸性公理，无效性公理、扩张性公理和最小性公理而唯一确定的。基于BCC,FG,ST模型的有效性l基于这三个模型（弱）有效性概念与基于CCR的（弱）有效性概念类似。l l4个模型的基础-生产可能集不同。l l一个DMU，在不同的模型之下，（弱）有效性可能不同。l 四个模型的生产可能集的比较l例7.4 3个DMU的输入输出指标如下：lDMU 1 2 3l x 1 3 4l y 2 3 1四个模型的(弱)有效性的关系l结论1：l(弱)DEA有效性（CCR）(弱)DEA有效性（FG）和(弱)DEA有效性（ST）l

16、结论2：l(弱)DEA有效性（FG）或者(弱)DEA有效性（ST）(弱)DEA有效性（BCC）l 四个模型的(弱)有效性的例子l例7.5 4个DMU的相关数据如下：lDMU 1 2 3 4l x 1 1 3 5l y 2 1 4 4四个模型的(弱)有效性的例子l弱DEA有效(CCR)：DMU1lInput-弱DEA有效(BCC)：DMU1,2,3lOutput-弱DEA有效(BCC)：DMU1,3,4lInput-弱DEA有效(FG)：DMU1,3lOutput-弱DEA有效(FG)：DMU1,3,4lInput-弱DEA有效(ST)：DMU1,2lOutput-弱DEA有效(ST)：DMU1

17、l 评价医院绩效l4个DMU：分别为普通医院、大学医院、乡村医院和州立医院。l3个投入指标：x1专职医护人员的数量；x2物资投入量；x3可利用床位天数。l4个产出指标：y1病人接受医疗服务的天数；y2 病人接受非医疗服务的天数；y3护士培训天数；y4实习医师培训天数。输入数据 DMU输入项 1 2 3 4l x1 285.2 162.3 275.7 210.4l x2 123.8 128.7 348.5 154.1l x3 106.72 64.21 104.1 104.04输出数据l DMUl输出项 1 2 3 4l y1 48.14 34.62 36.72 33.16l y2 43.10 2

18、7.11 45.98 56.46l y3 253 148 175 160l y4 41 27 23 84利用基于输入的BCC模型评价乡村医院DMU3l 输入约束输出约束再加上约束：计算结果l l10.2123 l2 0.2604 l3 0 l4 0.5273 l5 0.9052 l 剩余变量和松弛变量的值l1C1 35.5525 l2C2 174.2643 l3C3 0 l4C4 0 l5C5 0 l6C6 1.6154 l7C7 37.0271 l8C8 0 计算CCR模型的结果l1 0 l2 0.6280 l3 0 l4 0.5128 l5 0.8999 两个结论l 1 对于CCR模型来说

19、一个决策单元是否有效，按基于输入和基于输出得到的结论相同。l l 2 对于BCC模型来说，一个决策单元是否(弱)有效，按基于输入和基于输出得到的结论不一定相同。FG，ST模型情况与BCC模型类似。规模收益分析回顾西方经济学：规模经济l西方经济学的生产理论研究的是生产者的行为，其中一个重要的规律就是规模经济。l 规模：指的是要素投入的数量的大小。l规模经济：在技术水平不变的情况下，要素投入扩大对产量的影响：规模收益递增、不变和递减，甚至产量绝对减少“拥挤”现象。回顾西方经济学：生产函数l西方经济学中，要素的投入数量是生产函数中的自变量，而所能达到的最大产量是其因变量：l一般地，可假设有m种投入

20、则生产函数记为：l或者记为：利用生产函数分析规模收益l以原投入 的 倍进行投入：l产出为：l产出是否同倍数增长呢？要比较l结论：规模收益的结论规模收益的例子l例7.6 三个决策单元，根据定义研究规模收益。lDMU 1 2 3l x 1 3l y 2 4多产出时的规模收益分析l由单产出向多产出过渡需要做许多工作，是一个复杂的过程。l生产函数 有效生产前沿面l拓展规模收益递增、递减或不变的概念l给出明确的判别条件l与生产函数的表述相似，我们这部分的研究全部用基于输出的模型。关于规模收益的结论1l设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，则l（1）DMUj0为规模收益递增的充要条件是：DMUj0为弱D

21、EA有效(ST)，但不为弱DEA有效(FG)；l（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是：DMUj0不为弱DEA有效(ST)，但为弱DEA有效(FG)；l（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是：DMUj0既为弱DEA有效(ST)，又为弱DEA有效(FG)，即为弱DEA有效(CCR)。关于规模收益的结论2l设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，且l为 的最优解，则l（1）DMUj0为规模收益递增的充要条件是l（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是关于规模收益的结论2l（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是：l即DMUJ0为弱DEA有效（CCR）关于规模收益的结论3l如果只用BCC模

22、型判定，需要引入 ：关于规模收益的结论3l设DMUj0为弱DEA有效(BCC)，则l（1）DMUj0为规模收益递增的充要条件是 的所有最优解中都有 ；l（2）DMUj0为规模收益递减的充要条件是 的所有最优解中都有 ；l（3）DMUj0为规模收益不变的充要条件是 存在一组最优解有 ；关于规模收益的总结l从基于输出的模型来看，（弱）DEA有效（BCC）意味着输出相对输入而言已达“最大”，这与生产函数的意义相同，这当然是在一定的技术水平（生产要素的配合比例）下实现的，故称其为“技术有效”。l从前述几个结论可得,弱DEA有效（CCR）可推出规模效益不变，称其为“规模有效”，即投入的规模既不偏小，也不

23、偏大。关于规模收益的总结l弱DEA有效(CCR)既包含了规模有效，又包含了技术有效。所以，当一个决策单元无效时，可能的原因也许是资源配置比例不当，或者是不适度规模。关于规模收益的总结l对于非弱DEA有效(BCC)的决策单元DMUj0，也可以评估其规模收益状况。l考虑模型 ：l最优解lDMUj0某弱有效前沿面的“投影”，并且是弱DEA有效的(BCC)，将 的规模收益视为DMUj0的规模收益进行讨论（注：决策单元为n+1个）。规模收益的例子1lDMU 1 2 3 4 l x 4 6 10 5l y 4 6 8 4lDMU4非弱DEA有效，讨论其规模收益状况。规模收益的例子2lDMU 1 2 3l

24、x 2 4 5l y 2 1 3.5l讨论DMU3的规模收益状况。“拥挤”迹象的判定lDMUj0显示“拥挤”迹象的充要条件是:l不为弱DEA有效(ST)同时也不为弱DEA有效(FG).作业：分析个决策单元规模收益和“拥挤”状况lDMU 1 2 3 4 5l x 2 3 6 9 11l y 2 5 6 6 3 作业答案lDMU 1 2 3 4 5l ST 弱 弱 非 非 非l FG 非 弱 弱 弱 非l结论 递增 不变 递减 递减 拥挤DEA方法的应用步骤l 1 确定评价目的；l 2 选择DMU；l 3 建立输入输出指标体系。指标的数量应为DMU数量的2-3倍以上。l 4 选择模型；l 5 计算结果；l 6 分析（可以采用加减指标的方法）。DEA方法的其他应用l1 估计前沿生产函数；l2 技术进步的估计与评价；l3 生产力指标的计算（生产力是将投入变成产出的能力）；l 4 总体成本有效性的分析；l5 预测；l6 区域经济的预警；l7分类；l8 相对有效性的控制。