概率统计韩旭里谢永钦版4章.ppt

1、概率论与数理统计概率论与数理统计(韩旭里韩旭里_谢永钦版谢永钦版)第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵第一节第一节 数学期望数学期望为随机变量为随机变量X的数学期望，简称期望，记为的数学期望，简称期望，记为E(X)，即，即 上一页上一页下一页下一页返回返回 E(X)是一个实数，形式上是是一个实数，形式上是X的可能值的加权的可能值的加权平均数，实质上它体现了平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称取值的真正平均。又称E(X)为为X的平均值，

2、简称均值。它完全由的平均值，简称均值。它完全由X的分布的分布所决定，又称为分布的均值所决定，又称为分布的均值.上一页上一页下一页下一页返回返回例例1:某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有产品有60%的把握按定价售出，的把握按定价售出，20%的把握打折售出的把握打折售出及及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为的利润分别为5元，元，2元和元和-4元。问厂家对每件产品可元。问厂家对每件产品可期望获利多少？期望获利多少？解解:设设X表示一件产品的利润表示一件产品的利润(单位：元单位：元)

3、X的分布的分布率为率为X52-4P0.60.20.2X的数的数学期望学期望:虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。元，还是有利可图的。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2：设设X服从参数为服从参数为p的（的（0-1）分布，求）分布，求E(X)。解：解：X的分布律为的分布律为X01Pqp0p1,q=1-p常用随机变量的数学期望：常用随机变量的数学期望：上一页上一页下一页下一页返回返回例例3：设设Xb(n，p)，求，求E(X)。解解：X的分布律为的分布律为则：则：上一页上一页下一页下一页

4、返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回例例5 设设XU(a，b)，求，求E(X)。上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理1:设设Y是随机变量是随机变量X的函数，即的函数，即Y=g(X),g(x)是是连续函数。连续函数。随机变量函数的数学期望：随机变量函数的数学期望：上一页上一页下一页下一页返回返回设设X是连续型随机变量，且是连续型随机变量，且y=g(x)满足第二章中定满足第二章中定理的条件。则由定理的结论知理的条件。则由定理的结论知Y Y的概率密度为的概率密度为上一页上一页下一页下一页返回返回推广推广：设设Z是随机向量（是随机向量（X,Y）的函数，即）的函数

5、即Z=g(X,Y)（g(x,y)是连续函数）是连续函数）上一页上一页下一页下一页返回返回例例7：设圆的直径设圆的直径XU(a,b)，求圆的面积的期望。，求圆的面积的期望。上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理2：设随机变量设随机变量X,Y的数学期望的数学期望E(X),E(Y)存在存在.随机变量数学期望的性质：随机变量数学期望的性质：上一页上一页下一页下一页返回返回例例8：将将n封不同的信的封不同的信的n张信笺与张信笺与n个信封进行随机个信封进行随机匹配，记匹配，记X表示匹配成对数，求表示匹配成对数，求E（X）。上一页上一页下一页下一页返回返回第二节第二节 方差方差上一页上一页下一页下一页返

6、回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回方差的性质方差的性质设随机变量设随机变量X与与Y的方差存在，则的方差存在，则上一页上一页下一页下一页返回返回几种重要随机变量的数学期望与方差几种重要随机变量的数学期望与方差X 0 1P 1-p p上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数上一页上一页下一页下一页返回返回若若(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合分布律为为二维离散型随

7、机变量，其联合分布律为 PX=xi，Y=yj=pij，i,j=1,2,若若(X,Y)为二维连续型随机变量，其概率密度为为二维连续型随机变量，其概率密度为f(x,y)上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回由此可知：由此可知：X,YX,Y相互独立相互独立 X,YX,Y不相关；但反之不成立不相关；但反之不成立.上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回 由此可知：若（由此可知：若（X,YX,Y）服从二维正态分布，则）服从二维正

8、态分布，则X X，Y Y相相互独立互独立 X X，Y Y不相关不相关.上一页上一页下一页下一页返回返回第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵上一页上一页下一页下一页返回返回设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。都存在，则称矩阵都存在，则称矩阵协方差矩阵具有以下协方差矩阵具有以下性质性质：（1）协方差矩阵为对称矩阵）协方差矩阵为对称矩阵;（2）协方差矩阵协方差矩阵为非负定矩阵。为非负定矩阵。协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回