1、第一章 第一章 静电学的基本规律一、判断题（正确划“”错误码划“” ）1、磨擦起电只能发生在绝缘体上（ ）2、根据库仑定理，当两电荷的电量一定时，它们之间距离r越小，作用力就越大，当r趋于零时，作用力将无限大（ ）3、试探电荷的电量应尽可能小，其体积应尽可能小（ ）4、一对量值相等的正负点电荷总可以看作是电偶极（ ）5、A、B两个金属球分别带电，P点的场强等于这两个带电球在P点单独产生的场强的矢量和（ ）6、电场线如图所示，P点电势比Q点电势低（ ）7、在实际工作中，常把仪器的机壳作为电势零点，所以人站在地上可以接触机壳（ ）8、在静电场中，任何电荷仅在静电力作用下不能处于稳定平衡状态（ ）9
2、在偶极子的电势能公式中包括偶极子正负电荷间的相互作能（ ）10、两个电偶极子它们的电矩分别为，方向如图所示，它们之间的作用不满足牛顿第三定律（ ）11、如果库仑定律公式分母中r的指数不是2，而是其他数，则高斯定理不成立（ ）12、如果高斯面上处处为零，则面内必无电荷（ ）13、电荷沿等势面移动时，电场力永远不作功（ ）14、在静电场中，电子沿着电力线的方向移动时，电场力作负功，电势能增加（ ）二、选择题（答案中，只有一个是正确的）1、将一带电量为Q的金属小球靠近一个不带电的金属导体时，则有( C )（A）金属导体因静电感应带电，总电量为-Q（B）金属导体因感应带电，靠近小球的一端带-Q，远端
3、带+Q（C）金属导体两端带等量异号电荷，且电量ql）当P与r平行时，偶极子所受的力和力矩为（ A ）（A） ， 0 （B） 0 ， 0 （C） ， （D） ， 010、一点电荷q位于边长为d的立方体的顶角上，通过与q相连的三个平面的电通量是（ D ）（A） （B） （C） （D）011、如图所示，一点电荷q位于立方体的A角上，则通过abcd面的电通量为：( D )（A）0 （B）（C） （D）12、设匀强电场的方向与半径为R的半球面的轴线平行，通过此半球面的电通量 （ A ）（A） （B）（C） （D）13、如图如示，AB=，弧OCD是以B为中心，为半径的半圆，设A点有点电荷+q，B点有点电荷
4、 q，把单位正电荷从O点沿OCD移到D点，电场力对它所做的功为（ C ）（A）0 （B）（C） （D）以上都不对14、一绝缘的不带电的导体球，被一封闭曲面S所包围，如图如示，一电量为q位于封闭曲面外的正点电荷向导体球移近，在移近过程中（ D ）（A）当q到达a点场强逐渐减小，b点场强逐渐增大 （B）当q移过a点后，a点场强逐渐增大，b点场强逐渐减小（C）q在S面外时，通过封闭曲面S的电通量为（D）q在S面内时，通过封闭曲面S的电通量为（E）q在S面上时，通过封闭曲面S的电通量为015、若电场线如图如示，把一个正电荷从P点移到Q点时（ B ）（A）电场力做负（B）电场力做正功（C）P点电势等于
5、Q点电势（D）P点电势低于Q点电势16、一半径为R的碗状半球面均匀带电，面电荷密度为，其碗口处于oxy平面上，如图所示，处于“碗口”内而位于oxy平面上作一点的电势为( B )（A） （B）（C） 0 （D）以上都不对17、在一平面内有一根无限长的均匀带正电的直线，另一电偶极子其电矩P与长直线的距离为r。此电偶极子的运动为（ D ）（A）按逆时针方向转动 （B）向导体方向平移（C）以垂直于直线方向为平衡位置摇摆振动（D）以上（A）（B）（C）三种运动同时存在18、一细玻璃棒被弯成半径为R的半圆环，半根玻璃棒均匀带正电，另一半根均匀带负电，电量都是q，如图如示，则半圆中心O处的场强和电势为（ A
6、 ）（A） （B）（C） （D）19、静电场中一个高斯面S内有点电荷、，S面外有点电荷。由高斯定理可知：高斯面上任一点场强（ A ）（A）由,共同激发的（B）由共同激发的（C）由激发的（D）由,共同激发的20、关于高斯定理有以下几种说法，哪种是正确的（ B ）（A）只有对称分布的电场，高斯定理才成立（B）高斯定理对任意静电场都成立（C）只有高斯面外无电荷时，才能用高斯定理求场强（D）高斯面上场强是由面内电荷产生的21、在一个正方体的八个顶点各放一个电量为q的点电荷，则在立方体中心处（ C ）（A）电势为零，场强为零（B）电势为零，场强不为零（C）电势不为零，场强为零（D）电势不为零，场强不为零
7、22、静电场中P、Q两点的电势差( D )（A）与试探电荷的正负有关（B）与试探电荷的电量有关（C）与零势点的选择有关（D）与P、Q两点的位置有关 三、填空题1、在正q的电场中，把一个试探电荷由a点移到b点如图如示，电场力作的功（ ）2、两个半径分别为的同心均匀带电球面，且内球面带电量，外球带电量满足（ ）条件时能使内球的电势为正：满足（ ）条件时能使内球的电势为零；满足（ ）条件时，能使内球的电势为负 3、有两个电偶极子，一个位于封闭曲面S之内，一个位于S之外，若（1）把S面内的那个偶极子的正负电荷中和，通过S面的电通量（ ）,曲面上各点的场强（ ）。（2）将S面外的那个偶极子正负电荷中和，
8、通过S面的电通量（ ），曲面上各点的场强（ ） （括号内填变化或不变化）不变化 变化 不变化 变化 4、一均匀带电球面，电量为，半径为，在球内离球心处放一电量为q的点电荷，假定点电荷的引入并不破坏球面上电荷的均匀分布，整个带电系统在球外点产生的电场强度（ ）。 5、电偶极子在外电场中的能量（ ）。 6、（1）先把偶极子的负电荷从无限远处搬到电场中r处，再把正电荷从无限远处搬到处，反抗电场力作的功（ ）;（2）把偶极子作为一整体（保持恒定），从无限远处搬到电场中给定的位置，反抗电场力作的功（ ）。 7、 氢原子由一个质子（即氢原子核）和一个电子组成，根据经典模型，在正常状态下，电子绕核作圆周运动
9、轨道半径为。已知质子质量为，电子质量为，电荷分别为，万有引力常数（1）电子所受的库仑力是（ ）；（2）库仑力是万有引力的（ ）倍；（3）电子的速度是（ ）。 、两个相同的气球，充满氦气，它们的表面均匀带同号电荷，电量为Q，质量为5g的重物通过两根质量可以忽略的细线悬挂于两个气球之下，整个系统悬浮在空气中 ，如图如示，假定把两气球作点电荷处理，则两气球所带电荷的电量应为（ ）。9、两个小球都带正电，总共带有电荷，如果当这两个小球相距2.0m时，任一球受另一球之斥力为1.0N，则两球所带电量分别是（ ）（ ）。 10、 一无限长均匀带电直线，电荷线密度为，则离这带电线的距离分别为和的两点之间的电
10、势差是（ ）。 11、 如果认为原子中正电荷是均匀分布于半径为R的球中，电子则在这正电荷球中振动，设正电荷总电量为Q，电子沿径向运动，其振动频率为（ ）。12、带电粒子受到加速电压作用后速度增大，把静止状态下的电子加速到光速需要电压是（ ）。13、一无限长均匀带电直线（线电荷密度为）与另一长为L，线电荷密度为的均匀带电直线AB共面，且互相垂直，设A端到无限长均匀带电线的距离为，带电线AB所受的静电力为（ ）。 四、问答题1、一金箔制的小球用细线悬挂着。当一带电棒接近小球时，小球被吸引；小球一旦接触带电棒后，又立即被排斥；若再用手接触小球，它又能被带电棒重新吸引，试解释这一现象。 答： 当电棒接
11、近小球时，小球靠近导体端感应带异号电荷，远端感应出同号电荷，小球所受的吸引力比斥力大，故小球所受合力为吸引力。当小球与导体接触时，导体电荷有部分传给小球，两者带同号电荷，故互相排斥反而分开。当用手接触小球时，小球上的电荷通过人手、人体而传入大地，而后重新感应带电被电棒重新吸引。2、已知空间电场的分布如图（a）所示，试画出电场的电势分布曲线。已知某电场的电势分布曲线如图（b）如示，试画出该电场的电势分布曲线。答： 3、和中的的含义是否相同？为什么两式的形式不一样？ 答： 的含义是不同的，是q所在处电场的电势，是除以外其他点电荷（不包括外电场的源电荷）在处的电势。是场源与处在场中电荷之间的相互作用
12、势能，即静电势能。而是点电荷系的相互作用势能。五、证明题1、如图所示是一个电四极子，它由两个电偶极矩的电偶极子组成，这两偶极子在一直在线，但方向相反，它们的负电荷重合在一起，试证明：在它们的延长在线离中心（即负电荷）为r处的场强为 式中称为电四极子的电四极矩证明：由点电荷公式得 当时，根据上式方括号内可化为 于是得 其中称为电四极子的电四极矩2、用电势叠加原理证明电四极子在它的轴线的延长在线的电势为式中为电四极矩证明：由点电荷电势公式得 3、证明在静电场中没有电荷分布的地方如果电场线相互平行，则电场强度大小必定处处相等。证明：先证明沿电场线平行方向上，任意两点C与D的场强相等，过这两点作垂直于
13、场强方向的两小面元，并以它们作为端面与电场线围成一电力管，当端面积时，认为上场强相同，由高斯定理得 所以下面证明与电场线垂直的方向任意两点A、B的场强相同，过A、B两点做如图所示的矩形环路，由环路定理所以 4、一圆台锥顶张角2，上底半径，下底半径，在它的侧面均匀带电，面电荷密度为，证明顶点的电势为证明：在圆台上取半径为的圆环带，其宽度为取坐标如图所示的电势根据点电荷电势公式，该元电荷在的电势为 整个圆台锥在顶点的电势为 5、用高斯定理证明在静电场中任何电荷仅在静电力作用下不能处于稳定状态 证明：假设任何电荷仅在静电力作用下能处于稳定平衡状态，则电荷所在处的合场强必为零。当该电荷向任何一方向发生
14、微小位移时一定受到指向平衡点的力。包围该电荷做一个高斯面。如果该电荷为正电荷即q0，高斯面上各点场强方向与高斯面外法线方向相反，则高斯面内q0，与实际相反。如果该电荷为负电荷即q0，也与实际相反。故该电荷不能处于稳定平衡。六、计算1、两个相同的导体球带有异号电荷，相距0.5m时彼此以0.108N的力相吸，两球用一导线连接，然后将导线拿去，此后彼此以0.036N的力相斥。问两球上原来的电量各是多少？ 解：设两导体球带电量分别为、，由库仑定律得两球用导线连接后，两球带相等电量，再由库仑定律得由点电荷守恒定律知 式式得 式式得 式代入式得式代入式得 式代入式 由式得 将式代入式得 将代入式得 2、两
15、个电量为q的同号点电荷A、B，固定在相距为r的两点上，今将点电荷B释放，当两者相距为2r时，测得点电荷B的速度为，试求运动电荷B的质量m。（设电量q以C为单位，距离r以m为单位元，速度以m/s为单位。）解：B受到的库仑力为在库仑力作用下B将作加速运动，根据牛顿第二定律有将式代入式得所以3、求均匀带电的细棒在（1）通过自身端点并垂直于棒的平面上、（2）自身的延长在线的场强分布，设棒长为2，电量为q . 解：（1）在棒上取元电荷，如图所示，该元电荷在轴上任一点的场强为将在轴和轴方向分解得 图3-1所以 （2）如图2所示，元电荷在轴上任一点的场强为所以 图3-2 4、电量为q的点电荷位于一带电细棒的
16、延长在线。棒长为，电荷线密度，为一常数，q与棒相近的一端之间的距离为（如图所示），试求此点电荷所受的作用力。解：1）求带细棒的点电荷处激发的场强。在细棒上取一元电荷，由点电荷场强公式得 所以（2）求点电荷所受的作用力，根据公式得 5、半径为R的细圆环，由两个分别带有等量异号电荷的半圆环所组成，电荷均匀分布在环上，电量都是q，试求垂直于圆面的对称轴上远离圆环面的P点的场强。解：半细圆环的电荷线密度为，在细圆环上取一对电荷元，如图所示，它们在对称轴上P点的场强分别为和。根据对称性分析与只有y轴分量而且二者方向相同大小相等，即 6、半径为R，电荷体密度为的均匀带电球内，以x轴为对称轴挖两个半径为的球
17、形空腔，球心分别为和，三点、三点在一条直线上，为带电球球心，也是xy坐标系的原点，求x轴上xR任意一点的电场强度及电势解：把带电系统看作是电荷密度为的均匀带电球和两个电荷密度为的均匀带电小球叠加而成，如图所示，P点的场强为根据对称性和高斯定理得 P点的电势为7、半径为R的圆平面均匀带电，电荷面密度为，（1）求在垂直圆面的对称轴上离圆心为x处的场强；（2）在保持电荷密度不变的条件下，当或 时，结果各如何？（3）在保持总电量不变的条件下，当或时，结果各如何？解：（1）如图所示，取坐标轴过盘心垂直于盘面，原点位于盘心处，在圆盘上取一距原心为，宽度为的圆环带，其上带电量为由均匀带电圆环轴线上的场强公式
18、可求得在轴线上点的场强为所以整个带电圆平面在点产生的场强为（2）在不变的情况下 当时由式得 当时由式得 （3）当不变的情况下式变为当时，按照二项式定理将式代入式得当时，由式知 8、一无限大的均匀带电平面上有一半径为R的小圆孔，设带电平面的电荷面密度为，试求通过圆孔中心，且垂直于带电平面的轴线上一点P处的电场强度。解法一：取一细圆环带，其半径r（rR），带度为dr，如图8-1所示，则圆环带的面积为，其上带电量为 应用已知的带电细圆环在轴线上的场强公式，可得该圆环带在轴线上P点产生电场的大小因此，该系统在P点产生的总场强的大小为 图8-1解法二：采用补偿法。若在圆孔上补一个半径为R，电荷面密度为
19、的圆盘，则P点处的场强可以看成是电荷密度为的无限大均匀电平面在P点产生的场强和电荷面密度为半径为R的带电圆盘在P点产生的场强的矢量和，即 其中 （无限大平面） （带电圆盘）图8-2所以 9、偶极子的电矩为p,O点是它的中心，将一电量为q的点电荷从A沿着以O为圆心，R为半径的圆弧移到B点，试求电场对电荷q所做的功。（设R,为偶极子的臂长）解：由于静电力作功与路么无关，如图所示，所以带电荷q从A沿圆弧移到B点，电场对它做的功等于点电荷从沿直径移到B点电场对它做的功，又由于点电荷q在静电场中移动时，电场力做的功等于它的电势能能减少的值，所以 （） 10、电矩为的偶极子位于原点，沿正x轴方向，另一电矩
20、为的偶极子在Oxy平面内，其中心的坐标为，方向与反平行，如图10-1所示，试求：（1）若将电矩为的第二个偶极子由此外移动到无穷远处，外力需作的功：（2）若将在Oxy平面内绕其中心旋转，外力所需作的功。解：（1）在偶极子在处产生的场强分量为、的方向如图10-1的示，激发的总场强为 在外场中具有的电势能为图10-1将移至无穷远处，外力作功等于电势能的变化，即 根据如图10-1所示，与、之间的角度关系，式可得 将、式代入式得 （2）当将旋转180时，与、之间的角度关系如图10-2所示。设旋转前具有的电势能为，则有 设旋转后具有的电势能为W2，则有 图10-2 由功能关系得 将、式代入式得 11、两个
21、共轴均匀带电的细圆环，半径均为，相距为b，把点电荷q从无穷远处移到各环中心所需作的功分别为和，试求两圆环上的电荷和。解：设A、B圆环所带电量分别为、，如图11所示，根据圆环轴线上的电势公式，可得到O1、O2处电势分别为 把电荷q从无穷远处移到O1、O2克服电场力所需作的功分别为联立、式得各环所带的电量分别为 12、一边长为的均匀带电的正方形平面，面电荷密度为，求此平面中心的电势。解：以正方形的中心为原点，正方形平面为xy平面，正方形由x、y轴和对角线分成八个相等的三角形，由对称性可知，每一个三角形上的电荷在中心产生的电势相等，只须计算其中一个三角形所产生的电势即可，在三角形区域取面积元，则电荷
22、元，由点电荷电势公式得它在点产生的电势为三角形电势为 平面中心的电势为 13、半径分别为和的两个同心球面都均匀带电，带电量分别为和，两球面把空间分划为三个区域，求各区域的电势分布并画出曲线。解：根据高斯定理；得三个区域如图13-1所示，场强变化规律是 根据电势与场强的积分关系式得图13-1 电势分布曲线如图13-2所示图13-214、真空三极管可理想化如下，一个平面（阴极）发射电子，其初速度可忽略不计。一个细金属丝制成的开孔栅极平行于阴极，且离阴极3mm，其电势高出阴极18V，第二块平板（阳极）在栅极外面12mm处，并处于高出阴极15V的电势，假定栅平面是一个等势面，且假定阴极与栅极之间、栅极
23、与阳极之间的电势梯度都是均匀的，还假定栅极的孔径足够大，使电子畅通无阻地通过它。（a）沿着阴极到阳极的直线，画出电势对距离的变化图。（b）电子打到阳极的速度将有多大？解：（a）根据题意画出电势对距离的变化图如图14-1所示 图14-1 图14-2 （b）根据图14-2知，a与b之间和b与c之间的场强为 ， 电子在ab区作速度为零的加速运动，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动规律可求得电子到达栅极的速度， ， 电子在bc区作匀减速运动，同理可求得电子打到阳极的速度为 ， 15、在相距4cm的两块平行板间建立1600V的电势差，从负极板静止释放一个电子，与此同时从正极板静止释放一质子。（a）它们将在
24、离正极板多远处相遇而过？（b）当它们抵达对面板上时，速度之比是多少？（c）当它们抵达对面板上时，能量之比是多少？解：(a)两极之间的场强为电子在两极之间作匀加速运动，根据牛顿第二定律和匀加速直线运动的规律t时刻电子的位移为 ， 同理，t时刻质子的位移为 ， 电子和质子相遇时有 所以（b）由，得 所以速度之比是 （c）能量之比是16、有三个无限大的均匀带电平面，电荷面密度均为，分别位于和处（如图16-1所示）。试求场强和电势沿x轴方向的分布，并画出和曲线（取处的电势）。解：（1）建立坐标如图16-1所示，根据无限大均匀带电平面场强公式和叠加原理，可求得四个区域的场强为 场强随变化曲线如图16-2
25、所示 （） 图16-1 图16-2（2）由场强与电势的积分关系，求得四个区域的电势为 图16-3 电势随x变化曲线如图16-3所示17、半径为R、厚度为t的薄圆板上，两表面均匀带电，电荷面密度分别为和，试求通过圆板中心的轴线上，到板面的距离为x的P点（于正电荷一侧）的电势和场强。解：先求带电圆盘在其轴线上任一点的电势。如图17-1所示，取电荷元它在P点的电势为圆盘在其轴线上任一点的电势为 图17-2 图17-1 如图17-2所示，薄圆板在其轴线上P点的电势等于上下两个圆盘在P点产生的电势的叠加，即因为，故上式中两根号项可以简化如下 故得 根据，P点的场强为 18、求一均匀带电球体的场强和电势分
26、布，并画出和曲线。设球的半径是R，带电量为Q。解：若电球体的电荷休密度为根据高斯定理 图18-1当时，在球内取同心球面作高斯面得 图18-2当时，在球外取同心球面作高斯面得 的曲线如图18-1所示根据电势与场强的积分关系得当rR 的曲线如图18-2所示19、（1）一粒子以的初速度从很远的地方射向固定在靶上的金原子核，若将金核当作一个半径为的均匀带电的球体，试求粒子能达到的离金核的最近距离。（2）如果这粒子要穿过固定于靶上的金原子核的核心后再飞出此核，试求它至少应具有多大的初动能？解：（1）金原子核含有79个质子，粒子的电量为2个质子电量，其质量为根据能量守恒定律 （2）金核的电荷体密度为由高斯
27、定理求得金核内外的场强为粒子要穿越金核克服电场力作的功为 粒子要穿越金核，所具有的最小初动能必须等于克服电场力作的功，即 20、在半径为和（）的两个同心球面间分布有体密度的电荷层（为常数），试求电势和场强E的分布，并讨论在电荷不变的情况下，当时的极限情况。解：根据高斯定理 当时当时当时当时 当时 当时 球壳所带电荷量为 所以 将式代入式得当时将式代入式得 当时 将式代入式得 当时 将式代入式得 当时 将式代入式得 当时 21、根据量子理论，正常状态的氢原子可以看成一电量为+e的点电荷和球对称地分布在其周围的电子云，电子云的电荷密度 式中；称为玻尔半径。试求（1）氢原子内的电场分布；（2）计算处
28、的电场强度，并与经典原子模型计算所得的结果相比较。解 （1）在半径为r的球面内的电子电量与之比为 由对称性和高斯定理得(2)当取时 按经典原子模型，电子以半径作绕核运动，原子核带电e它在电子外产生的场强为 22、半径为R的无限长直圆柱体内均匀带电，体电荷密度为，求场强和电势的分布（以圆柱体的中心轴线作为电势的零参考点），并画出和曲线。 解：由对称性和高斯定理，求得圆柱体内外的场强为rR 图22-1场强的变化规律如图22-1所示，由电势与场强的关系求得圆柱体的内外的电势为 rR 图22-2 电势的变化规律如图22-2所示23、一 厚度为d的无限大带电平板，垂直于x轴，其一个表面与x=0的平面重合
29、如图所示），板内体电荷密度，为常数，试求空间各处的场强。若其体电荷密度常数，则板内外的场强分布又如何？试分别画出两种情况下的曲线。解：（1）建立坐标系如图23-1所示，设E=0的平面与x=0平面相距为，作圆柱形高斯面，使其一面与E=0重合，由高斯定理得当x=0 ， x=d时 图23-1所以当0xd时，将式代入式得平板内的场强为当x时，无限大带电平板可以看成许多无限大带电薄板组成，在平板内取一宽度为的薄板如图23-2所示，其上电荷密度，由无限大带电平面场强公式得 所以 图23-2 当x0时，同理得板内外场强变化如图23-3所示 图23-3（2）当=常数时，E=0的平面与平面相距为，作高斯面如图
30、23-4所示当0xd时 所以 图23-4时，取面元如图23-2所示 所以 图23-5xL时,这个点电荷系称为电偶极子。用电矩反映其电特性。（2）偶极子在L延长在线的场强如图25-1所示，正、负电荷单独在P点产生的电场的场强分别为r为P点到正、负电荷连线中点的距离，P点的总场强为图25-1 ( 略去二级小量) 所以 （） 偶极子在中垂面上的场强如图25-2所示，正、负电荷单独在P点产生的电场的场强分别为P点的总场强为 图25-2所以（4）偶极子在空间任意点的场强 如图25-3所示，P点的位置由极坐标r和给出，把电偶极子的电矩分解成平行于r的分量和垂直于r分量 即于是P点的场强可以看作由电矩的电偶极子和电矩的电偶极子的场强叠加而成 图25-326、求无限长的均匀带电直线的电场 解：建立坐标系如图所示，无限长的均匀带电直线沿x轴，考察点P到直线的距离为y设电荷线密度为,则直线上离O点为x到x+dx处的线段元所带的电量为电荷
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