1、一、二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示三、正定二次型三、正定二次型（重点）（重点）二、化二次型为标准形二、化二次型为标准形（重点）（重点）第第5 5，6 6，7 7节节 二次型及其标准形二次型及其标准形四、小结四、小结引例引例取取二次二次曲线曲线引入坐标变换引入坐标变换代入代入方程左边，方程左边，消交叉项得消交叉项得则则原方程化为原方程化为若取若取可见，对于一般二次曲线可见，对于一般二次曲线只要适当选择只要适当选择作作旋转变换旋转变换就可将就可将曲线方程化为标准方程曲线方程化为标准方程（二次齐次式，只含平方项）二次齐次式，只含平方项）就就可以判别二次曲线（可以判别二次曲线（1 1）的图形
2、的图形。二次曲面也有类似的问题，二次曲面也有类似的问题，标准形式标准形式.下面作一般讨论。下面作一般讨论。在在数学、物理及力学和工程数学、物理及力学和工程也有类似的问题，也有类似的问题，且其变量的个数往往不止两个的二次且其变量的个数往往不止两个的二次齐次式，齐次式，也可也可通过适当的线性变换，化为只含平方项的通过适当的线性变换，化为只含平方项的一一.二次型及其矩阵表示二次型及其矩阵表示1.二次型、二次型的矩阵、二次型的秩二次型、二次型的矩阵、二次型的秩1.二次型、二次型、二次型的矩阵、秩二次型的矩阵、秩2.可逆线性变换可逆线性变换3.矩阵的合同矩阵的合同称为称为二次型。二次型。（1）含有含
3、有 个变量个变量 的二次齐次多项式的二次齐次多项式定义定义1：（我们仅讨论（我们仅讨论实实二次型）二次型）实实二次型：二次型：为实数。为实数。复复二次型：二次型：为复数。为复数。例如：例如：都是二次型。都是二次型。不是二次型。不是二次型。只含有平方项只含有平方项的二次型的二次型称为称为二次型的标准形二次型的标准形。例如：例如：都为二次型；都为二次型；为二次型的标准形。为二次型的标准形。取取则则则（则（1）式可以表示为）式可以表示为二次型用二次型用和号和号表示表示令令则则其中其中 为对称为对称矩阵。矩阵。二次型的矩阵表示（重点）二次型的矩阵表示（重点）注注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵方阵
4、2、其对角线上的元素恰好是的系数系数。3、的系数的一半分给可保证例如例如：二次型：二次型注：二次型注：二次型 对称矩阵对称矩阵把对称矩阵把对称矩阵 称为称为二次型二次型 的矩阵的矩阵也把也把二次型二次型 称为对称矩阵称为对称矩阵 的二次型的二次型对称矩阵对称矩阵 的秩称为的秩称为二次型二次型 的秩的秩二次型二次型定义定义2：简记简记设设若若2.非退化线性变换（可逆线性变换）非退化线性变换（可逆线性变换）为为可逆线性变换。可逆线性变换。当当C是可逆矩阵时，称是可逆矩阵时，称对于二次型，我们讨论的对于二次型，我们讨论的主要问题主要问题是：是：寻求寻求可逆的可逆的线性变换，使二次型只含平方项。线性
5、变换，使二次型只含平方项。即即二次型二次型经过可逆线性变换经过可逆线性变换使得使得为什么研究可逆为什么研究可逆的变换？的变换？即经过可逆线性变换即经过可逆线性变换可化为可化为3.矩阵的合同矩阵的合同矩阵的合同：矩阵的合同：证明证明定理定理 设设A为对称矩阵，且为对称矩阵，且A与与B合同，则合同，则注：合同仍然是一种等价关系注：合同仍然是一种等价关系矩阵合同的性质：矩阵合同的性质：(1)反身性反身性(2)对称性对称性(3)传递性传递性以上说明：以上说明：注意：注意：2.在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的在变换二次型时，要求所作的线性变换是可逆的.二二.化二次型为标准形化二次型为标准形1.
6、正交变换法正交变换法（重点）（重点）2.配方法配方法目标：目标：问题转化为：问题转化为：回忆：回忆：此此结论用于二次型结论用于二次型所以，所以，1.正交变换法正交变换法对对二次型二次型存在正交变换存在正交变换 ，使使 其中其中为为 的特征值。的特征值。其中其中P 的列向量是的列向量是A的相应于特征值的的相应于特征值的n个两两正交个两两正交 的的单位特征向量。单位特征向量。定理定理：例例1 1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。解解（1 1）写出二次型）写出二次型 f 的矩阵的矩阵(2)(2)求出求出A的全部特征值及其对应的标准正
7、交的特征向量的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量而而它们所对应的标准正交的特征向量为它们所对应的标准正交的特征向量为(3)(3)写出正交变换写出正交变换取取正交矩阵正交矩阵则得所欲求的则得所欲求的正交变换正交变换即即（4 4）写出写出的标准型。的标准型。易知经易知经上述正交变换上述正交变换后后所得二次型的标准型所得二次型的标准型2.2.解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为3）对每个基础解系进行Schmidt正交化、再单位化：作正交变换作正交变换 X=QY，则则注：正交变换化为标准形的优点：注：正交变换化为标准形的优点：在几何中，可以保持曲线在几何中，可以保持曲线（曲面）的几何形状不变。（曲面
8、的几何形状不变。2.配方法配方法 同时含有平方项同时含有平方项与与交叉项交叉项的的情形。情形。例例例例2 2 2 2 用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。用配方法将下列二次型经可逆线性变换化为标准形。解：解：令令二次型的标准形为二次型的标准形为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为所求的可逆线性变换为即即为标准形为标准形,并求出所作的可逆线性变换并求出所作的可逆线性变换.例例3 3 用配方法化二次型用配方法化二次型解解 令令 只含交叉项只含交叉项的的情形。情形。即即令令则二次型的标准形为则二次型的标准形为则二次型的标准形为则二次型的标准形为所用的可逆线性变换为
9、所用的可逆线性变换为思考题：思考题：1、(1)合同且相似；合同且相似；(2)合同但不相似；合同但不相似；(3)不合同但相似；不合同但相似；(4)不合同且不相似；不合同且不相似；一般地，一般地，任何二次型都可用上面的方法找到可逆变换任何二次型都可用上面的方法找到可逆变换把把二次型化为标准型，二次型化为标准型，而而标准型中含有的项数标准型中含有的项数（系数（系数就是就是二次型的秩二次型的秩。二次型的二次型的标准型显然不是唯一的标准型显然不是唯一的，只是标准型中所含项只是标准型中所含项数数是是确定的（即是确定的（即是二次型的秩二次型的秩R(A)。设标准形为：设标准形为：三、正定二次型三、正定二次型其
10、中其中令令则（则（1 1）式变成）式变成则称则称(2)(2)为实二次型为实二次型的的规范型规范型。惯性定理惯性定理其其平方项系数为平方项系数为 1 1，1 1，0 0。定理定理(惯性定理惯性定理)任何实二次型总可以经过一个适当的可逆任何实二次型总可以经过一个适当的可逆线性变换化成规范形线性变换化成规范形,规范形是唯一的。规范形是唯一的。其中其中 r 为为 f 的秩，的秩，p为为正惯性指数正惯性指数，rp为为负惯性指数负惯性指数。都有都有 正定二次型正定二次型定义定义 设设为实二次型为实二次型(A为实对称为实对称矩阵矩阵),),如果对于任意非零向量如果对于任意非零向量称称 f 为为正定正定(半正
11、定半正定)二次型二次型,称正定称正定(半正定半正定)二次型二次型 f 的矩阵的矩阵A为为正定正定(半正定半正定)矩阵矩阵。二次型的对称矩阵二次型的对称矩阵A是正定是正定（半正定）矩阵。（半正定）矩阵。（半正定）矩阵。（半正定）矩阵。二次型二次型正定（半正定）正定（半正定）正定（半正定）正定（半正定）任任例例4 4 判别下列二次型的正定性判别下列二次型的正定性,故正定故正定.1.1.2.2.解解1.1.代入都有代入都有2.2.不定不定.定理定理 实二次型实二次型正定正定当当设设存在可逆变换存在可逆变换证明证明可逆可逆,充分性充分性:使使第第 个列向量个列向量)时时,时时必要性必要性:则则取取,使
12、使假设存在假设存在(第第 个分量是个分量是1,1,其余分量为其余分量为0 0的单位向量的单位向量),),与与 f 正定矛盾正定矛盾.(其中其中 为可逆矩阵为可逆矩阵 的的正定正定推论推论的的 n 个个特征值全为正特征值全为正.各阶顺序主子式全大于各阶顺序主子式全大于0,0,即即定理定理正定正定奇数阶顺序主子式为负奇数阶顺序主子式为负,负定负定偶数阶顺序主子偶数阶顺序主子式为正式为正,即即是正定二次型？是正定二次型？解解 二次型的矩阵为二次型的矩阵为A的顺序主子式为：的顺序主子式为：所以当所以当例例5 5 问问t 满足什么条件时，二次型满足什么条件时，二次型A的顺序主子式全大于的顺序主子式全大于
13、0 0，此时，此时 f 正定。正定。正交变换法正交变换法:1.1.二次型的矩阵表示方法二次型的矩阵表示方法,二次型的秩二次型的秩,矩阵的合同关系矩阵的合同关系.2.2.1)1)二次型化为标准形二次型化为标准形的的矩阵矩阵 与对角矩阵与对角矩阵 合同合同.求正交变换求正交变换化二次型为标准形化二次型为标准形找正交矩阵找正交矩阵使使2)2)配方法配方法小结小结惯性定理惯性定理3.关于正定关于正定有如下充要条件有如下充要条件:4.4.二次型二次型 正定等价于正定等价于的矩阵的矩阵 正定正定.1)1)标准形中平方项的系数全为正标准形中平方项的系数全为正.2)2)3)3)4)4)5)5)的特征值全为正的特征值全为正.的顺序主子式全为正的顺序主子式全为正.(特别特别 )与单位矩阵合同与单位矩阵合同.存在可逆矩阵存在可逆矩阵 ,使使.PPAT=
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