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季西南大学[0772]《中学代数》参.docx

1、西南大学网络与继续教行学院课程代码:0772学年学季:201921、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系,这说明有理数集具有()1. r稠密性2. r可数性3. r完备性2、高中代数课程的基本主线是()1. r方程2. r不等式3. r函数/4. r数列3、下列哪一个数,用尺规是可以做出的()1. r根号2/2. r圆周率3. r欧拉数e4、对有理数运算中的“负负得正”,可以用()给予解释1. r复数坐标表达式的乘法运算2. r复数向量表达式的乘法运算3. r复数三角函数表达式的乘法运算一5、寨数列属于()1. rE.等比数列2. r高阶等差数列3. r等差数列6、下列说法,哪一个是正确的

2、Lr函数的“变量说”定义比较抽象2. r函数的“关系说”定义比较形式3. r函数的“对应说”定义比较直观7、用复数的棣莫弗公式,可以推导1. r三角函数的n倍角公式2. r一元二次方程的求根公式3. r点到直线的距离公式8、不定方程求解的算理依据是:1. rB.孙子定理2. r辗转相除法3. r单因子构件法4. r拉格朗口插值法9、下列说法,哪一个是错误的:1. r戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件;2. r戴德金分割和有理数区间套定义是等价的;3. r戴德金分割的下集存在最大数时,上集存在最小数。0高中代数课程的基本主线是:1. r函数2. 数列3. r

3、方程11、在中学代数教学中,应提倡的一个基本原则是:在注意形式化的同时,加强代数知识的1. r形式推导2. r直观理解/3. r恒等变换12、点到直线的距离公式,可以用推出:1. r柯西不等式/2. r排序不等式3. r均值不等式13、有理数集可以与自然数集建立一一对应的关系,这说明有理数集具有:1. c连续性2. r完备性3. r稠密性4. r可数性/14、 加权平均不等式和下列哪种不等式有内在联系:1. r均值不等式少2. r排序不等式3. r柯西不等式15、代数学是研究数学对象的运算的理论和方法的一门学科,根据数学对象的不同表现代数学可分为:1. r方程和函数;2. r古典代数和近代代数

4、3. r数列和算法4. r抽象代数和近世代16、下列说法,哪个是正确的;1. r复数集是一个有序域;2. r复数可以比较大小;3. r复数可以排序;/17、 下列哪个说法是错误的:1. r用尺规作图可以三等分角S2. r用尺规作图可以二等分角3. r用尺规作图可以画直线外一点到该直线的垂直线4. r用尺规作图可以画出根号5的数18任意两个有理数之间,均存在一个有理数,这说明有理数具有:1. r完备性2. 稠密性/3. r可数性;4. r连续性;19高中教材“函数”的定义采用的是:1. r函数“对应说”;2. r函数“变量说”;3. r函数“关系说”20、“等价关系”和“顺序关系”的区别在于,

5、后者不具有()1. r反身性2. 对称性3. r传递性21、 复数集按照“字典排序”关系,是一个1. r复数域2. r全序集U3. r有序域22、 两个集合A和B的笛卡尔积的子集,被称为1 .结构2 .序偶3 .关系/4 .r对偶23、下列说法,哪个是正确的()1. rA,复数可以排序2. r复数集是一个有序域3. r复数可以比较大小24、下列那个定理所体现出来的方法是单因子构件法()Lr韦达定理2, r代数基本定理3, r正弦定理4, r孙子定理25、 一个收敛的有理数列,其极限可以不是有理数,这说明有理数不具有:Lr连续性/2. r稠密性3. r可数性判断题26、有理数对极限运算是封闭的。

6、1. rA.2. rB.X/27、不定方程求解的算理依据是辗转相除法。1. rA.S2. cB.X28、函数的“关系说”定义比“对应说”定义更形式化。1. rA.2. rB.X29、我们可以把复数看成是满足相应运算法则的二元实数(a,b)1 .rA.2 .B.30、中学代数应当“以方程为纲”。1. rA.2. rB.X/31、一元5次及其以上次代数方程有根式解。1 .rA.2 .B.X32、“三等分角”是可解的。1. rA.2. rB.33、在不等式教学中,应当强调不等式的几何意义和背景。1. rA.2. rB.X34、1、形式化是数学的基本特征之一。1. rA.2. B.X35、自然数的基数

7、理论反映了事物记数的顺序性。1 .rA.2 .B.X36、募数列不是高阶等差数列。1 .rA.2 .B.X37、1、在数学运算中,善于进行恒等变形是一项基本数学能力。1. rA.2. cB.38、对于有限数列来说,并不一定存在一个多项式函数,来表示它的通项。1 .rA.2 .B.X39、在戴德金分割中,存在下列情形:戴德金分割的下集中有最大数,上集中有最小数。1. rA.2. rB.X/40、均值不等式和加权平均不等式是两个不同的不等式,二者并没有什么关系。1 .rA.2 .B.X41、自然数的序数理论回答了一个集合含“多少个元”的问题。1 .rA.2 .B.X42、代数学一般有古典代数与近代

8、代数之分。1. rA.2.B.43、有理数集和自然数集具有相同的“势”。1. rA./2. CB.X44、0.999=11. rA.2. rB.X45、戴德金分割中对有理数集的分割满足“不空”、“不漏”、“不乱”三个条件。1 .rA.2 .B.X46、”中学代数教学”的一个基本原则是:在注意形式化的同时,加强代数知识的直观理解。1 .rA.2 .B.X47、代数基本定理所表现出的思想方法原则是“单因子构件法。1 .rA.2 .B.X48、对于数轴上的有理数,我们有两个相邻的有理数的说法。1. rA.2.B.49、塞数列不是高阶等差数列。1 .rA.2 .B.X50、数学归纳法具有两个缺一不可的

9、性质:即归纳性、演绎性。LrA.2. rB.X51、我国传统的“中学代数”体系,主要内容有:数和数系;方程;函数;不等式;排列组合。1 .rA.2 .B.X52、群是古典代数研究的对象。1 .rA.2 .B.X/53、有理数对极限运算是封闭的。1 .rA.2 .B.X/54、0与空集的基数相对应,所以从集合论的角度看,。应当是自然数。1. rA.2. rB.X55、用尺规不能把90。和180那样的角进行三等分。LrA.2.B.X56、1、每一个重大的数学进展都和数学符号的创造性运用是分不开的。1.rA.2.rB.57、“孙子定理”和拉格朗日插值公式在思想方法上是相通的。LrA.2.B.X58、

10、自然数系公理系统直接地保证了数学归纳法的合理性,所以,也可以把数学归纳法当作公理来看待。LrA.2.B.59实数集是可数的无穷集合。1 .rA.2 .B.X60、对于任一有限项的数列,都可以给出通项表达式。LrA.3 .B.主观题61、M三角形ABC中排序不等式证明.docx参考答案:在三角形ABC中,a,b,c为角A,B,C所对的边,aA+bB+cC求证:Wa+b+c3证:不妨设abc,则ABC,由排序不等式,得aA+bB+cCbA+cB+aClaA+bB+cCcA+aB+bCl又aA+bB+cC=aA+bB+cCl三式相加得,3(aA+bB+cC)(+&+C)(AB+C)=(+b+c),即

11、aA+hB+cC。+Z?+C362、试证欧拉数e不是一个有理数参考答案:证明欧拉数e不是有理数。证明(反证法):假设e=2(nl),因Sn=I+*+捻+熹当nm,有SnSm+-+-+,+nm(n+l)!(n+2)!n!1111=Sm+-1H1-+H;(n+l)!Ln+2(m+3)(n+2)n(n-l).(m+2).Sm+-1H1-+、“m1m(m+l)!Lm+1(m+l)2(+l)n-n1J1ISm+m+1=sm+-,nmm即,SmVSnVSnl+,令n无限增大,而m保持不变,有Srn在上式两段乘以m!,得m!srnp(m-1)!m!smmlsm+I1但是,m!s7n是一个整数,因此整数P(T

12、n-1)!将位于两个相继的整数e不是有理数。63、 证明自然数的加法满足交换律,即对于任意自然数a和b,有a+b=b+a.参考答案:答案要点:我们要证交换律a+b=b+a.可以分以下两步证明。,我们先证明等式al=l+al因此对a用归纳法。设M是使等式成立的所有a的集合,显然,1M,如果aM,那么a+l=l+a,于是a,+l=(a+l)+l=(l+a)+l=(l+a),=l+a所以aM,由归纳公理,al=l+a,我们对b用归纳法,证明a+b=b+a,设M是对于给定a使得等式成立的所有b的集合,由已证知,1如果bM,那么a+b=b+a,利用已证过的结合律,得至Ia+b,=(a+b)z=(b+a)

13、z=b+a,=b+(a+l)=b+(l+a)=(b+l)+a=b,+a.所以bM,由归纳公理,故加法的交换律被证明。64、 为什么有理数一定可以写成循环小数的形式,反之,任何一个循环小数也可写成有理数的形式?参考答案:的参考答案:有理数与循环小数的关系如果有理数p/q不是有限十进位小数,那么通过不断地作除法能表数。在这一过程中,每次必然有一个非零的余数,否则这十进位小数是的所有不同余数将是1和q-1之间的整数,所以最多只能有q-1个不同除q次,某个余数k将第二次出现。但由此随后而来的所有余数,将按出现的同样次序重复。这说明任何有理数的十进位小数表示式是循环的后同样的一个数码或一组数码将无限次地

14、出现。例如,1/6=0.16666666-;1/7=0.142857142857-;1/11=0.09090三限小数的有理数,也可以认为是一个循环小数,它在有限个数码之后,反之,所有循环小数都是有理数。例如,取无限循环小数P=O.3322222,我们有P二言+o-32(i+o+10-2+)。括号中的表达式是19a1101+101+10-2+IO-3+=1,9110Hl.1133,d八一义C102970+202990299因此P=一+1032X=-=一r100991039000900对一般情形的证明在实质上是一样的。所以,我们说,任何有理数的十的;反之,所有循环小数都是有理数。65、试述“中学代

15、数研究”的研究方法?参考答案:长期以来,对中学代数的研究存在一种单一的严格化倾向,即对语言系统,逻辑地建立起来,中学代数研究的一个主要目的就是将中学格化。我们并不反对要将中学代数知识严格化、系统化,毕竟这有助于和了解,但是单纯地为严格化而严格化,就失去了中学代数研究的重要的,我们当然要用较高的观点处理初等数学知识,只有观点越高,事物中学数学教学服务,数学知识的讲授应当顾及到学生的心理,不应只讲学代数研究的基本方法应从如下三方面入手:(一) .从较高的数学观点来研究中学代数知识,加深对相关内容的刁例:为什么复数不能比较大小在中学里,我们知道两复数相等时当且仅当它们的实部等于实部,复数不等时,它们

16、有没有大小关系?其实,复数之间能建立一种顺序关系,即前后关系,但不能建立方的点排队,即按照字典方法将复数排队,两个复数,先比较实部,如果实部相等,再比较虚部,以虚部小的复数排在前面。通过这种方式序,由此可知复平面上的点是可以有顺序的。那么为什么复数不能比较大小呢?要弄清这个问题,必须要弄清付域?在以后的学习中,我们会知道大小关系必须满足两种性质,即加法集是不能同时满足这两种性质的,从而复数不能比较大小。在中学代数中,类似以上的例子还有很多,我们只有通过从较高兴理解或回答类似的问题。(二) .用有机联系的观点来研究,丰富对中学代数知识的理解;数学各知识间具有有机联系性,这不仅表现在高等数学与初知

17、识的各分支中,尤其是数与形的联系。在以后有关不等式的点,即抽象的代数形式一般具有直观的几何图形给予说明和解释。我们从几何的角度去处理代数知识或反过来,当把这种方法用于第数只是一些抽象而枯燥的符号、公式、命题。这体现了中学代数教学与直观理解相结合。(三),适当注意对解题的研究,强化对中学代数知识理解的应用性。数学学习和教学离不开解题,因此中学代数研究还要注意对解题方张题海战术,只是适当注意对数学解题方法的研究而已。66、 试述函数概念的历史发展,以及说明高中以函数为课程主线的具体体现及要求,并简要阐述函数概念参考答案:答:函数概念的历史发展先后经历了函数的“变量说”、“对应说”、“关系说”等逐步

18、精确4高中以函数为课程主线的具体体现和要求表现在以下几个方面:(1)在函数一般定义的基数的认识;(2)在研究函数的变化特征中刻画函数的几种性质,丰富对函数的理解;(3)将.想的应用。在进行高中函数概念的教学中,根据学生的认知规律,可采用以下的教学策略:(1)在函数概念建构之前,通过引发学生的认知冲突,实现认知结构的“顺应”;宜的数学原型,利用数学原型归纳概括概念;(3)在剖析函数概念时,将需要关注中,请学生思考;(4)在巩固函数概念时,提供类型丰富的题目(如表格对应、图根据学生程度,设计有梯度的练习。67、什么是数学表达能力?请在算法的教学中举一例说明如何培养学生的数学表:参考答案:参考答案:

19、所谓数学表达能力,是指将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程等然语言、数学图形语言、数学符号语言等)准确流畅地表达出来的能力。数学语言根据其表达形式的不同,可分为自然语言、图形语言和符号语言。习中,扮演着各自不同的作用。自然语言易表达,图形语言直观形象,而符号语冷握好这三种语言各自的特点,使培养他们的数学表达能力的基本条件。根据这三种语言的各自特点,使学生由易而难,依次掌握不同的数学语言是土在算法教学中,我们可以用自然语言叙述算法,也可以用程序框图表示算法,计算机执行算法。自然语言描述的算法步骤、程序框图和程序是不同形式的算法,框图,再到算法语句,这体现了算法逐渐“精确”的过程。例:设计一

20、个计算l+2+3+100的值的算法,并画出程序框图。(高中人教首先,用自然语言表达:写出1之后,先算1+2,所得的和再加3,所得的不I类推,一直加到100o即,步步步步12 3 4rJ小弓 yJ小弓“身笋笋”身,0+1=1.,1+2=3.,3+3=6.,6+4=10.第100步,4950+100=5050.其次,用顺序结构程序框图表示,并认识到对此进行简化的必要性。如下图到这里,教师引导学生寻找规律,提出能否简化顺序结构框图。根据学生的t循环结构的概念。最后,画出普修构框图标音口/输出S /结束通过以上由易而难的教学程序,能使学生更好地理解所学的算法结构,也为L68、写出自然数(皮亚诺)公理系统的内容。参考答案:给定公理系统如下:O是一个自然数;O不是任何其他自然数的继数;每一个自然数a都有一个继数;如果a与b的继数相等则a与b亦相等;若一个由自然数组成的集合S包含有0,又若当S包含有某一数a时,它一定t体自然数。这一S公理系统才“皮克言若公理”,标志着当时的数学分析算术化的终结

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