1、沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向,所以在自然坐标系中所以在自然坐标系中,速度矢量可表示为速度矢量可表示为1 1质点在平面上的运动质点在平面上的运动3速度和加速度在自然坐标系中的分量速度和加速度在自然坐标系中的分量1加速度矢量为加速度矢量为2LBA(t)(t+t)当当 t0时时,点点B趋趋近近于于点点A,等腰等腰 O A B 顶角顶角0。O(t)(t+t)BA极极限限方方向向必必定定垂垂直直于于,指指向向轨轨道道凹凹侧侧,与法向单位矢量与法向单位矢量n一致，并且一致，并且3一般情况下一般情
2、况下,质点的加速度矢量应表示为质点的加速度矢量应表示为如果轨道在点如果轨道在点A的内切圆的曲率半径为的内切圆的曲率半径为 ,4R5例例.求平抛物体抛出求平抛物体抛出ts时该处轨迹曲线的时该处轨迹曲线的曲率半径，知平抛初速度为曲率半径，知平抛初速度为v0.6解：解：7二圆周运动二圆周运动匀速率圆周运动匀速率圆周运动变速率圆周运动变速率圆周运动8vRxS0,9角加速度角加速度圆周运动中圆周运动中矢量矢量1011例例质点作匀加速圆周运动，质点作匀加速圆周运动，知知，求求t时时刻刻质质点的角位置点的角位置解：解：12例例.半径为半径为1m的轮子以匀角加速度从静止的轮子以匀角加速度从静止开始转动，开始转
3、动，20s末的角速度为末的角速度为100rads-1。求求角加速度及角加速度及20s内转过的角度内转过的角度第第20s末轮边缘上一点的切向和法向加速度末轮边缘上一点的切向和法向加速度13解：解：14例例.已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为R和和 为常量。（为常量。（1）求其轨道）求其轨道形态和特征。（形态和特征。（2）在直角坐标系）在直角坐标系和自然坐标系中写出质点速度和自然坐标系中写出质点速度 和加速度和加速度15质点以质点以R为半径沿逆时针方向作匀速圆周运动为半径沿逆时针方向作匀速圆周运动匀速左旋运动匀速左旋运动164.相对运动相对运动17相对运动公式相对运动公式18例：飞机例：飞机
4、A以以vA=1000km/h的速率向南飞的速率向南飞行，同时另一架飞机行，同时另一架飞机B以以vB=800km/h的速的速率（相对地面）向东偏南率（相对地面）向东偏南30O飞行。求飞行。求A机机相对于相对于B机的速度与机的速度与B机相对于机相对于A机的速度机的速度19解：解：A相对于相对于B的速度的速度B相对于相对于A20第二章第二章质点动力学质点动力学1.牛顿运动定律牛顿运动定律2.力学量的单位和量纲力学量的单位和量纲3.力学中常见的力力学中常见的力4.牛顿定律应用举例牛顿定律应用举例5.伽利略相对性原理伽利略相对性原理6.非惯性参考系中的惯性力非惯性参考系中的惯性力21牛顿第二定律：牛顿第
5、二定律：22牛顿第三定律牛顿第三定律当物体当物体A以力以力 作用在物体作用在物体B上时，上时，B以以 作用于作用于A，与与 沿同一直线，大沿同一直线，大小相等方向相反小相等方向相反 牛顿第三定律指出物体间的作用总是相互的牛顿第三定律指出物体间的作用总是相互的,其中的一其中的一个力称为个力称为作用力作用力,另一个力称为另一个力称为反作用力反作用力。作用力和反作用力的特点：作用力和反作用力的特点：成对出现成对出现,同时产生同时产生,同同时消失；作用同一直线上时消失；作用同一直线上,但作用于不同的物体；性质但作用于不同的物体；性质相同。相同。23例例.作匀速圆周运动的质点，其法作匀速圆周运动的质点，
6、其法向加速度向加速度 与圆周半径与圆周半径R R、质点运质点运动速率动速率 的关系被某人忘掉了，的关系被某人忘掉了，请帮他很快找出线索来请帮他很快找出线索来24解：解：25例例.半径为半径为R R的小球在黏度系数的小球在黏度系数 的流体中以速度的流体中以速度 运动，受到黏性运动，受到黏性阻力。经分析阻力。经分析 有关，试有关，试用量纲分析发求可能的规律用量纲分析发求可能的规律26解：解：设阻力设阻力实验验证实验验证斯托克斯公式斯托克斯公式273.力学中常见的力力学中常见的力万有引力相互作用，电磁相互作用，强相互作用，弱相互作用28一一.万有引力和重力万有引力和重力开普勒三定律，表述为：开普勒三
7、定律，表述为：(1)所所有有行行星星都都沿沿椭椭圆圆轨轨道道绕绕太太阳阳运运动动，太太阳阳位位于椭圆轨道的两个焦点之一；于椭圆轨道的两个焦点之一；(2)太太阳阳到到行行星星的的矢矢径径在在相相等等的的时时间间内内扫扫过过相相等等的面积；的面积；(3)行行星星公公转转的的周周期期的的平平方方正正比比于于它它轨轨道道长长半半轴轴的立方的立方.29在在前前人人工工作作的的基基础础上上，牛牛顿顿研研究究发发现现星星体体之之间间的的引引力力与与地地球球上上各各物物体体之之间间的的引引力力是是有有相相同同的的性性质质，于于1687年年提提出出万万有有引引力力定定律律，并并首次表达了数学形式：首次表达了数学
8、形式：30关于万有引力应注意关于万有引力应注意1.1.适用于两个质点之间的相互作用适用于两个质点之间的相互作用2.2.如果两物体之间的距离远大于物体本身如果两物体之间的距离远大于物体本身的线度，这时两个物体可看成质点，直接的线度，这时两个物体可看成质点，直接用万有引力定律求其引力用万有引力定律求其引力3.3.如果两物体之间的距离与物体本身的线如果两物体之间的距离与物体本身的线度接近（或可相比时），这两个物体不能度接近（或可相比时），这两个物体不能看成质点看成质点3132例例.一质量为一质量为m的质点受一质量为的质点受一质量为M，半半径为径为R的均匀分布圆环的万有引力（的均匀分布圆环的万有引力（
9、m在在垂直于环的直线上）垂直于环的直线上）33解：解：线元线元34例例.一质量为一质量为m的质点位于，一质量为的质点位于，一质量为M、半径为半径为R、均匀分布的圆盘对称轴上（垂均匀分布的圆盘对称轴上（垂直于圆平面）上，求直于圆平面）上，求M对对m的引力的引力353637二、弹性力二、弹性力1.1.弹簧的弹性力弹簧的弹性力在弹簧伸长量不大（在弹簧形变范围内），在弹簧伸长量不大（在弹簧形变范围内），胡克（胡克（1635-17021635-1702）研究表明：）研究表明：k为劲度系数（倔强系数）为劲度系数（倔强系数）38例例.质量为质量为m的物体，拴在长为的物体，拴在长为 的弹的弹簧的一端，平放在转
10、盘上沿半径的槽内，簧的一端，平放在转盘上沿半径的槽内，弹簧的劲度系数为弹簧的劲度系数为k.另一端固定在转轴另一端固定在转轴上。当转盘从静止转到角速度为上。当转盘从静止转到角速度为 时，时，求弹簧对物体的作用力（设槽壁光滑，求弹簧对物体的作用力（设槽壁光滑，而物体与盘之间滑动摩擦系数而物体与盘之间滑动摩擦系数 ）39解：解：402.2.绳内张力绳内张力.张力存在于拉紧有形变的绳内张力存在于拉紧有形变的绳内张力的方向沿绳拉直的方向张力的方向沿绳拉直的方向如不计绳的质量如不计绳的质量T=Mg如计及绳的质量，且均匀分布，如计及绳的质量，且均匀分布，则则413.支撑力支撑力.支撑力于接触面垂直支撑力于接
11、触面垂直 支撑力的大小与施力物体上的力有关支撑力的大小与施力物体上的力有关 支撑力的大小还与物体的运动状态有关支撑力的大小还与物体的运动状态有关42三三.摩擦力摩擦力.两物体产生的阻碍相对运动的相互作用力称为摩擦力两物体产生的阻碍相对运动的相互作用力称为摩擦力431.1.静摩擦力静摩擦力.物体之间只有相对运动趋势便存在的摩擦物体之间只有相对运动趋势便存在的摩擦力，称为静摩擦力力，称为静摩擦力实验知最大静摩擦力的大小与正压力成正实验知最大静摩擦力的大小与正压力成正比：比：其中为其中为正压力，正压力，为最大静摩擦系数。为最大静摩擦系数。442.2.滑动摩擦力滑动摩擦力滑动摩擦力与正压力成正比，而与
12、两物滑动摩擦力与正压力成正比，而与两物体表观接触面积无关。体表观接触面积无关。为滑动摩擦系数，为滑动摩擦系数，为正压力为正压力454.牛顿定律应用举例牛顿定律应用举例“隔离物体法隔离物体法”选取参考系，隔离物体；选取参考系，隔离物体；简化模型；简化模型；分析受力；分析受力；建立坐标，列出方程；建立坐标，列出方程；求解结果，分析讨论。求解结果，分析讨论。46一一.牛顿定律在直线运动中的应用牛顿定律在直线运动中的应用.例例1.物物体体A和和B质质量量分分别别为为m1和和m2，设设A与与B之之间间，B与与桌桌面面之之间间的的摩摩擦擦系系数数分分别别为为1，2。若若以以水水平平恒恒力力拉拉物物体体B，
13、求求A的的加加速速度度和和绳绳中中张张力力。设设滑滑轮轮的的质质量量和和摩摩擦擦以以及及绳绳子子的的质质量都可忽略不计。量都可忽略不计。47解：选静止的桌子为参照系。由于滑轮质量和摩擦及绳子质量不计，所以可以认为绳上各部分的张力T相等。隔离A，B，分析受力48讨论：若则若则静止或匀速直线运动49例例.如如图图，忽忽略略摩摩擦擦，并并设绳子柔软不伸长，知设绳子柔软不伸长，知求求各自的加速度各自的加速度,绳中张力。绳中张力。50解：选悬挂顶点为参考点。设向下的加速度为对悬挂它的滑轮2的加速度向下为b.对O点的加速度为对O点为51例例.木板质量为木板质量为M，放在桌面上，其上再放放在桌面上，其上再放
14、一个质量为一个质量为m的砝码，木板与桌面摩擦系数的砝码，木板与桌面摩擦系数为为1，砝码与木板间摩擦系数为砝码与木板间摩擦系数为2 2。今用今用一力一力F F水平作用在木块上，欲将其抽出，问水平作用在木块上，欲将其抽出，问F F要多大？要多大？52砝码受三个力，木块六个力解得欲使木板抽出，代入得53二二.牛顿定律在曲线运动中的应用牛顿定律在曲线运动中的应用.直角坐标系直角坐标系自然坐标系自然坐标系54例例.抛体运动抛体运动.yxv0055例例.质质量量为为m的的汽汽车车，以以速速度度v行行驶驶过过桥桥，桥桥为为上上凸凸下下凹凹，在在桥桥的的最最高高点点或或最最低低点点处处，桥桥的的曲曲率半径为率
15、半径为R，求汽车施与桥面压力的大小求汽车施与桥面压力的大小.56第三章第三章守恒定律与质点系动力学守恒定律与质点系动力学1、功和动能、功和动能2、势能、势能3、机械能和机械能守恒、机械能和机械能守恒4、动量守恒定律、动量守恒定律5、质心运动定律、质心运动定律6、球的碰撞、球的碰撞7、火箭的运动、火箭的运动571、功和动能、功和动能一、一、恒力对做直线运动的物体做的功恒力对做直线运动的物体做的功58注意：注意：此公式同样只适用于质点做直线运动此公式同样只适用于质点做直线运动 59二、变力对曲线运动物体所做的功二、变力对曲线运动物体所做的功606162三、功率三、功率反映了外力做功的快慢反映了外力
16、做功的快慢63四、动能，动能定理四、动能，动能定理1.质点的动能和动能定理质点的动能和动能定理64动能定理将功和动能变化建立了联系，这种联动能定理将功和动能变化建立了联系，这种联系表明：功是动能变化的量度，动能是由于运系表明：功是动能变化的量度，动能是由于运动而具有的做功本领。动而具有的做功本领。表明作用在质点上合外力做的功，等于质点动表明作用在质点上合外力做的功，等于质点动能的增量，称为质点的动能定理。能的增量，称为质点的动能定理。65例、例、牵牵引运引运动动。质质量量为为的列车由车站的列车由车站出发，如果牵引力出发，如果牵引力 ，而运行阻力系数，而运行阻力系数 。问列车在通过。问列车在通过
17、S=1 km的路程后速度的路程后速度的变化多大？的变化多大？662、质点系的动能定理、质点系的动能定理i jFiPi fi j fj i67N个质点组成的质点系，第个质点组成的质点系，第i个质点个质点 对对第第i个个质质点用点用动动能定理：能定理：对对i求和得到求和得到质质点系的点系的动动能定理：能定理：68692、势能、势能1.重力做功与重力重力做功与重力势势能能一、保守力和势能一、保守力和势能70只与初、只与初、终终位置有关，与路径无关，即位置有关，与路径无关，即沿任一闭合回路，保守力做功为零沿任一闭合回路，保守力做功为零 71保守力做的功的等于重力势能增量的负值保守力做的功的等于重力势能
18、增量的负值定定义义A点的重力点的重力势势能能为为 势能大小是相对势能大小是相对 722.万有引力的功和势能万有引力的功和势能73定定义义为为r处的万有引力势能，处的万有引力势能，则万有引力功亦等于势能增量的负值，同则万有引力功亦等于势能增量的负值，同样它与参考系有关。样它与参考系有关。万有引力做功与路径无关，只与起始、终了万有引力做功与路径无关，只与起始、终了位置有关。说明万有引力是保守力。位置有关。说明万有引力是保守力。743.弹簧弹性力的功和弹性势能弹簧弹性力的功和弹性势能弹性力做功只与始、终位置有关，明弹性力是保守力弹性力做功只与始、终位置有关，明弹性力是保守力定义弹性势能为定义弹性势能
19、为 75综综述以上三种保守力述以上三种保守力，注意：注意：真正有意义的是势能的差，而不是势能的绝对值真正有意义的是势能的差，而不是势能的绝对值 势能属于保守力作用的系统，因为只有保守力满足势能属于保守力作用的系统，因为只有保守力满足 做功与路径无关，才能定义势能。因此势能是保守做功与路径无关，才能定义势能。因此势能是保守 力做功的一种表示形式。力做功的一种表示形式。单位单位J（和功一样）和功一样）76三、由势能函数求保守力三、由势能函数求保守力为为x方向上方向上单单位距离的位距离的势势能能变变化称化称为势为势能梯度能梯度 77 质点在保守力作用下作三维运动质点在保守力作用下作三维运动 78例、
20、例、793、机械能和机械能守恒、机械能和机械能守恒 质质点系点系总总的机械能的机械能 一、质点系的功能原理一、质点系的功能原理80二、机械能守恒定律二、机械能守恒定律外力和非保守内力对体系都不做功时，则质点外力和非保守内力对体系都不做功时，则质点系的机械能守恒。这时质点系内部动能、势能系的机械能守恒。这时质点系内部动能、势能可以互相转化。机械能也可以从一个质点转移可以互相转化。机械能也可以从一个质点转移到另一个质点，但机械能的总量保持不变，此到另一个质点，但机械能的总量保持不变，此即质点系的机械能转换和守恒定律。即质点系的机械能转换和守恒定律。81例、例、劲劲度系数度系数为为k的的弹弹簧下挂一
21、簧下挂一质质量量为为m的砝的砝码码后达到后达到平衡，平衡，试证试证明：砝明：砝码码在平衡位置附近沿在平衡位置附近沿竖竖直方向位移直方向位移长长度度为为a，重力重力势势能和能和弹弹性性势势能的能的总总增量增量为为证明证明82向下伸向下伸a，83向上向上压压a 即证即证 844、动量守恒定律、动量守恒定律一、动量和冲量，质点动量定理一、动量和冲量，质点动量定理冲量85作用在质点上合外力的冲量等于该段时间内作用在质点上合外力的冲量等于该段时间内质点动量的增量，称之为质点的动量定理。质点动量的增量，称之为质点的动量定理。86例、例、质质量量为为的铁锤，从高的铁锤，从高h=1.5 m处处 自由自由下落打
22、击在锻件上，如果打击时间下落打击在锻件上，如果打击时间 ，求锻件受到的平均冲力。求锻件受到的平均冲力。解：解：(一一)87（二）开始就用（二）开始就用动动量定理量定理88（三）此题也可用牛顿第二定律解（三）此题也可用牛顿第二定律解 讨论：讨论：重力可以忽略不计重力可以忽略不计 89i jFiPi fi j fj i二、质点系的动量定理和动量守恒定律二、质点系的动量定理和动量守恒定律质点系由质点系由N个质点构成个质点构成 90质点系所受合外力的冲量，等于相应时间内质点系所受合外力的冲量，等于相应时间内质点系的总动量的增量，质点系的动量定理质点系的总动量的增量，质点系的动量定理 t时刻质点系的总动
23、量时刻质点系的总动量时刻质点系的总动量91内力的冲量与体系动量的变化无关。并非内力无内力的冲量与体系动量的变化无关。并非内力无冲量，只是内力成对出现，冲量亦相互抵消。冲量，只是内力成对出现，冲量亦相互抵消。将动量定理在直角坐标系中分解将动量定理在直角坐标系中分解 92质点系的动量守恒定律质点系的动量守恒定律*有一些问题，由于内力有一些问题，由于内力外力，外力可以忽略，外力，外力可以忽略，而内力不影响体系的总动量，此时可近似用动量守而内力不影响体系的总动量，此时可近似用动量守恒来解决体系内动量的转换问题。说明内力虽不改恒来解决体系内动量的转换问题。说明内力虽不改变总动量，但却影响动量在体系内的分
24、布。如爆炸、变总动量，但却影响动量在体系内的分布。如爆炸、打击时的重力作用（外力）。打击时的重力作用（外力）。931.动量守恒不一定是整个体系的总动量的守动量守恒不一定是整个体系的总动量的守 恒，可以其中某个分量守恒恒，可以其中某个分量守恒 2.通用范围：同一惯性系中的质点系通用范围：同一惯性系中的质点系 94例例.见图见图，质质量量为为m的人站在的人站在质质量量为为M的的车车上，上，开始开始时时一起以速率一起以速率沿光滑水平面向右沿光滑水平面向右运动，现在人以相对于车为运动，现在人以相对于车为u 的速率向左跑，的速率向左跑，试求车的速率。试求车的速率。95解解:由于由于车车在水平方向不受外力
25、因此在水平方向不受外力，因此车车和人和人组组成的系成的系统统在在该该方向方向动动量守恒。在地面参照系中，取量守恒。在地面参照系中，取方向为正方向为正 设人跑动后车的速率为设人跑动后车的速率为v 96例：有一面为例：有一面为1/4凹圆柱面（半径凹圆柱面（半径R）的物体（质量的物体（质量M）放置在光滑水平面，一小球（质量放置在光滑水平面，一小球（质量m），），从静从静止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小球从止开始沿圆面从顶端无摩擦下落（如图），小球从水平方向飞离大物体时速度水平方向飞离大物体时速度v，求：求：1）重力所做的）重力所做的功；功；2）内力所做的功。）内力所做的功。RMm解：重力只
26、对小球做功解：重力只对小球做功水平方向无外力，系统保持水平方向无外力，系统保持水平方向动量守恒。水平方向动量守恒。D Dsmg D Dh97对对m，内力所做的功内力所做的功对对M，内力所做的功内力所做的功*本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。本例中实际内力对两个物体分别所做功互相抵消。985、质心运动定律、质心运动定律由由N个质点组成的体系个质点组成的体系 一、质心一、质心99xyzmircri称这个位矢确定的称这个位矢确定的C点为体系的质心点为体系的质心100注意：注意：直角坐标系中直角坐标系中 体系中只含有一个体系中只含有一个质质点点体系中含有两个体系中含有两个质质量相同的量相同的
27、质质点：点：101质点体系的质量是连续分布质点体系的质量是连续分布 在直角坐在直角坐标标系中系中102如果物体质量均匀分布如果物体质量均匀分布 线线分布：分布：面分布：面分布：体分布：体分布：103例例1、两、两质质点分点分别别位于位于x轴轴上上处处 ，质量分别为质量分别为 ，。求它的质心。求它的质心。解：解：104例例2、将、将N个个质质点点组组成的成的质质点体系分成两点体系分成两组组，各，各组组质质量分量分别为别为，各组质心分别为各组质心分别为 和和 ，求证：总质点体系的，求证：总质点体系的质心在质心在 处，而处，而证明：证明：105由此题可知，求质点体系的质心，可以先由此题可知，求质点体
28、系的质心，可以先求出部分体系的质心，然后以这些质心为求出部分体系的质心，然后以这些质心为质点（质量为该部分的总质量），再求总质点（质量为该部分的总质量），再求总体系的质心。体系的质心。106例例3、求质量均匀分布的细棒的质心、求质量均匀分布的细棒的质心解：解：107例：求例：求圆圆心角心角为为的一段均匀圆弧的质心的一段均匀圆弧的质心解解：108例：求半例：求半圆圆形均匀薄板的形均匀薄板的质质心心解：解：109110圆圆心角心角为为111二、质心运动定律二、质心运动定律质点系的总动量表达式有：质点系的总动量表达式有：质点系的总动量质点系的总动量 质心的速度质心的速度112说明质心的加速度只决定于
29、质点系受的合外力，说明质心的加速度只决定于质点系受的合外力，其大小可以设想外力全部集中在质心，全部质其大小可以设想外力全部集中在质心，全部质量也集中在质心时所产生的加速度，加速度的量也集中在质心时所产生的加速度，加速度的方向和合外力的方向相同。这一结论为质心运方向和合外力的方向相同。这一结论为质心运动定律。动定律。113例例1、射出的炮弹在空中爆炸，问质心如何运动、射出的炮弹在空中爆炸，问质心如何运动解解：空空中中炮炮弹弹的的爆爆炸炸，无无论论在在何何时时何何处处，其其内内部部有有何何种种作作用用力力，都都是是内内力力，唯唯一一的的外外力力是是重重力力。设设炮炮弹的质量为弹的质量为M，以初速度
30、以初速度射出。建立如图坐标系射出。建立如图坐标系114质心运动定律在质心运动定律在x、y方向分别为方向分别为115其轨迹为其轨迹为 即炮弹爆炸前后，质心一直沿抛物线运动即炮弹爆炸前后，质心一直沿抛物线运动 116117三、质心参考系三、质心参考系 选取一个参考系，随质心一起运动，就是质心参选取一个参考系，随质心一起运动，就是质心参考系。而质心参考系的坐标系，总把坐标的原点考系。而质心参考系的坐标系，总把坐标的原点放在质心上，坐标轴的方向与某一惯性系坐标轴放在质心上，坐标轴的方向与某一惯性系坐标轴方向保持平行，是一个平动的坐标系，称为质心方向保持平行，是一个平动的坐标系，称为质心坐标系。坐标系。
31、选一个惯性系选一个惯性系K，及一个质心系及一个质心系C，且，且C相对于相对于K以以 速度运动。速度运动。118如如果果一一个个质质点点体体系系中中第第i质质点点在在K系系中中速速度度为为，在，在C系中速度为系中速度为，二者之间满足，二者之间满足:整个质点体系在整个质点体系在K系中动能总和为：系中动能总和为：119即质点系相对于质心系的动能即质点系相对于质心系的动能 即即K系中看到的质心速度系中看到的质心速度在质心系中在质心系中 克尼希定理克尼希定理 120讨论一个特殊情况：两质点体系，质点速度、质量分讨论一个特殊情况：两质点体系，质点速度、质量分别为别为 ，(K系中），两质点相对速度系中），两
32、质点相对速度 在在C系中质点速度为系中质点速度为 ，121折合质量折合质量122如果质点系受如果质点系受 ，则质心加度，则质心加度 ，即即 ，质心参考系是惯性系。以质心为，质心参考系是惯性系。以质心为原心的质心系中，质心速度原心的质心系中，质心速度 ，因此在，因此在质心系中研究碰撞和爆炸等问题就十分方便。质心系中研究碰撞和爆炸等问题就十分方便。例：炮弹以速度例：炮弹以速度 与水平方向成与水平方向成 角射出，角射出，达到最高点时爆炸，水平分裂为质量是达到最高点时爆炸，水平分裂为质量是m和和M的两块，炮弹转化为机械能的能量的两块，炮弹转化为机械能的能量 ，求，求落地时两碎片的距离。落地时两碎片的距
33、离。123解：爆炸时在水平方向上，合外力为零，以质心为解：爆炸时在水平方向上，合外力为零，以质心为参考系（惯性系），则体系的动量守恒。参考系（惯性系），则体系的动量守恒。设设m和和M相对质心的速度为相对质心的速度为，（由于水平分裂）（由于水平分裂）均在水平方向，则均在水平方向，则124两弹片在水平方向上的相对速度两弹片在水平方向上的相对速度 的大小的大小 在竖直方向上弹片从最高点下落的时间在竖直方向上弹片从最高点下落的时间 两弹片落地时相距两弹片落地时相距 125碰撞现象碰撞现象正碰：正碰：完全弹性碰撞，完全弹性碰撞，完全非弹性碰撞，完全非弹性碰撞，非完全弹性碰撞。非完全弹性碰撞。碰撞：正碰，
34、碰撞：正碰，斜碰斜碰6、球的碰撞、球的碰撞126一、正碰一、正碰 1271、完全弹性碰撞、完全弹性碰撞 弹性碰撞是指碰撞前后的机械能守恒弹性碰撞是指碰撞前后的机械能守恒 碰后两球的分离速度等于碰前两球接近速度碰后两球的分离速度等于碰前两球接近速度 128利用能量、动量二方程解出利用能量、动量二方程解出 讨论：讨论：1292、完全非弹性碰撞、完全非弹性碰撞 碰撞后质点以相同的速度运动而不分开碰撞后质点以相同的速度运动而不分开 130损失的机械能：损失的机械能：131例例：冲冲击击摆摆是是一一种种测测量量子子弹弹速速度度的的装装置置。质质量量为为M的的砂砂箱箱挂挂在在轻轻绳绳（绳绳长长不不变变）的
35、的下下端端。当当质质量量为为m的的子子弹弹以以速速度度水水平平射射入入砂砂箱箱与与其其一一起起运运动动使使摆摆升升高高h，求子弹速度求子弹速度的大小。的大小。132解：解：从子弹射入砂箱，到与砂箱一起运动是碰撞过程，这段从子弹射入砂箱，到与砂箱一起运动是碰撞过程，这段时间很短暂，摆悬线偏转可以忽略，砂箱子弹体系水平时间很短暂，摆悬线偏转可以忽略，砂箱子弹体系水平方向不受外力，这是典型的完全非弹性碰撞。动量守恒方向不受外力，这是典型的完全非弹性碰撞。动量守恒 将地球考虑进体系，重力为保守力，体系机械能守恒：将地球考虑进体系，重力为保守力，体系机械能守恒：选原位置处为重力势能零点有选原位置处为重力
36、势能零点有 1333、非完全弹性碰撞、非完全弹性碰撞 介于完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。即介于完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞之间的碰撞。即碰撞后小球的形变不能完全恢复，但两球又能分开碰撞后小球的形变不能完全恢复，但两球又能分开。完全弹性碰撞：完全弹性碰撞：完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：非完全弹性碰撞：非完全弹性碰撞：恢复系数恢复系数 134135136二、斜碰二、斜碰两球碰撞前的速度不沿它们的连心线两球碰撞前的速度不沿它们的连心线 137动量守恒，机械能也守恒，分别列出为动量守恒，机械能也守恒，分别列出为138139解：设碰撞后两球速度解：设碰撞后两球速度由动量守恒由动量守恒两边平方
37、两边平方由机械能守恒（势能无变化）由机械能守恒（势能无变化）两球速度总互相垂直两球速度总互相垂直例：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，例：在平面两相同的球做完全弹性碰撞，其中一球开始时处于静止状态，另一球速度其中一球开始时处于静止状态，另一球速度v。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。求证：碰撞后两球速度总互相垂直。1407、火箭的运动、火箭的运动质点系动量定理的一个应用，变质量问题质点系动量定理的一个应用，变质量问题 设设t时时刻刻火箭主体的火箭主体的质质量量为为M，速度速度为为，动量为动量为 相相对对于主体以于主体以喷出去的一部分气体（将这喷出去的一部分气体（将这部分称为附体）质量为部分称为附体
38、质量为动动量量为为主体主体质质量量变为变为，速度变为速度变为 141主体和附体一起，从主体和附体一起，从t到到t+dt时间元过程用动量定理时间元过程用动量定理 142为简单考虑忽略阻力，火箭垂直于地面向上发射为简单考虑忽略阻力，火箭垂直于地面向上发射（以向上为正）并假定（以向上为正）并假定g=const 143主体质量随附体往上增加而质量增加的问题主体质量随附体往上增加而质量增加的问题 变质量问题的基本方程变质量问题的基本方程 144例例1、货车货车以以速度速度 前进，其车厢正在装煤，煤前进，其车厢正在装煤，煤的质量增长率为的质量增长率为 ，求需要用多大的牵引力才，求需要用多大的牵引力才能维
39、持货车匀速前进？能维持货车匀速前进？145以前以前进进方向方向为为坐坐标轴标轴正向正向,考虑货车速度恒定考虑货车速度恒定为为所装的煤相所装的煤相对货车对货车的速度，的速度，它的水平分量在它的水平分量在车车前前进进方向的投影方向的投影为为146习题习题.如如图图所示，将一根柔所示，将一根柔软软均匀，均匀，质质量量线线密度密度为为的的绳子悬吊起来，下端刚好触及地面。绳子悬吊起来，下端刚好触及地面。求证：绳子自静止释放后自由下落长度为求证：绳子自静止释放后自由下落长度为y时，地面受时，地面受到绳子的压力到绳子的压力147方法一：根据牛顿第三定律，dm以大小的力压地面；同时，已落地的绳以大小的力压地面
40、148方法二：变质量运动方程为149已落地的已落地的绳绳子子对对地面的地面的压压力力为为150第四章第四章角动量守恒角动量守恒.刚体力学刚体力学1力矩和角动量力矩和角动量2质点角动量定理和角动量守恒定律，质点角动量定理和角动量守恒定律，质点系角动量定理和角动量守恒定律质点系角动量定理和角动量守恒定律3刚体运动学刚体运动学4刚体动力学刚体动力学5刚体平衡条件刚体平衡条件6陀螺的旋进陀螺的旋进1511.力矩和角动量力矩和角动量一一.力矩力矩.坐标系原点为参考点坐标系原点为参考点152大小大小M=F d=F r sin力矩力矩单位单位牛顿米牛顿米(Nm)量纲量纲方向方向右手定则右手定则yxzO d
41、注意：注意：力矩和参考点的选择有关系力矩和参考点的选择有关系153作用在质点上的合力作用在质点上的合力 对参考点的力矩对参考点的力矩154定义对轴的力矩概念定义对轴的力矩概念对对z轴的力矩为轴的力矩为155二、角动量二、角动量.用叉积定义用叉积定义角动量角动量vrma a角动量方向角动量方向角动量大小角动量大小156质点相对于参考点的角动量质点相对于参考点的角动量157例例.质点被悬挂在质点被悬挂在B点绕点绕A作匀速率为作匀速率为v的的圆周运动，称为圆锥摆，设圆周运动，称为圆锥摆，设S为悬线长，为悬线长，见图，试求质点对见图，试求质点对A点和点和B点参考点的角点参考点的角动量动量158解：解：
42、对对A点点对对B B点点1592.质点角动量定理和角动量守恒定律，质质点角动量定理和角动量守恒定律，质点系角动量定理和角动量守恒定律点系角动量定理和角动量守恒定律.一一.质点角动量定理质点角动量定理作用在质点上的合力对某个参考点的力矩等作用在质点上的合力对某个参考点的力矩等于对同一参考点角动量对时间的变化率，此于对同一参考点角动量对时间的变化率，此称为质点的角动量定理称为质点的角动量定理角动量定理角动量定理的积分形式的积分形式160161例例.A点点的的坐坐标标为为(b,0)，质质量量为为m的的质质点由点由A点静止自由落下，试求某时刻点静止自由落下，试求某时刻t 作用在质点上的力对原点的力矩；
43、作用在质点上的力对原点的力矩；质点对原点的角动量，并由此验证质点对原点的角动量，并由此验证 162163二、质点角动量守恒定律二、质点角动量守恒定律.若对参考点来讲作用在质点上（合）外力若对参考点来讲作用在质点上（合）外力矩为零，质点对该参考点的角动量守恒，矩为零，质点对该参考点的角动量守恒，此称为质点的角动量守恒定律。此称为质点的角动量守恒定律。164例例.说明圆锥摆对说明圆锥摆对A A点角动量守恒，对点角动量守恒，对B B点角动量是不守恒的点角动量是不守恒的原因。原因。165三、有心力和角动量守恒三、有心力和角动量守恒.某作用力，其大小和方向均随时间变化，但力某作用力，其大小和方向均随时间
44、变化，但力总通过某一固定点，这种力称为有心力，该固总通过某一固定点，这种力称为有心力，该固定点称为力心。定点称为力心。行星运动时行星运动时1.1.行星的轨道，必在同一平面内行星的轨道，必在同一平面内2.2.从太阳到行星的矢径，在相等时间内扫从太阳到行星的矢径，在相等时间内扫 过相等的面积。过相等的面积。166角动量守恒角动量守恒167例例.用用绳绳系系一一小小物物块块使使之之在在光光滑滑水水平平面面上上作作圆圆周周运运动动，圆圆半半径径为为，速速率率为为.今今缓缓慢慢地地拉拉下下绳绳的的另另一一端端，使使圆圆半半径径缩缩至至时，小物块的速率时，小物块的速率是多大？是多大？解：解：168i jF
45、iPi fi j fj i四、质点系的角动量定理和角动量守恒定律四、质点系的角动量定理和角动量守恒定律.由由N个质点组成的质点系个质点组成的质点系169由由N个质点组成的质点系个质点组成的质点系170171作用在质点系上的外力矩等于质点系对同一参作用在质点系上的外力矩等于质点系对同一参考点的总角动量对时间的变化率，称为质点系考点的总角动量对时间的变化率，称为质点系的角动量定理的角动量定理具有对轴的性质具有对轴的性质172质点系受的合外力矩在直角坐标系某轴上的质点系受的合外力矩在直角坐标系某轴上的分量为零时，质点系总角动量在该轴上的分分量为零时，质点系总角动量在该轴上的分量守恒，这就是质点系角动
46、量守恒定律的分量守恒，这就是质点系角动量守恒定律的分量式。说明角动量的分量可以各自守恒量式。说明角动量的分量可以各自守恒173例例.有有一一根根轻轻绳绳，绕绕过过一一个个质质量量可可以以忽忽略略的的定定滑滑轮轮，绳绳一一端端悬悬一一重重物物，质质量量为为m m，另另一一端端爬爬着着一一只只同同样样质质量量的的猴猴子子。当当猴猴由由静静止止向向绳绳上上爬爬时时，相相对对于于绳绳的的速速度度为为vv，求重物对地的速度。求重物对地的速度。174即体系对即体系对O点角动量守恒点角动量守恒设猴一边的绳相对地下落的速度为设猴一边的绳相对地下落的速度为则猴对地的速度为则猴对地的速度为重物对地的速度重物对地的
47、速度解：175例例.在在光光滑滑水水平平桌桌面面上上，放放有有一一质质量量为为 的的木木块块，它它与与弹弹簧簧相相连连，弹弹簧簧另另一一端端固固定定在在桌桌面面上上的的O O点点，弹弹簧簧的的劲劲度度系系数数k k，质质量量为为m m的的子子弹弹平平行行于于水水平平面面垂垂直直于于弹弹簧簧以以速速度度 射射入入木木块块后后嵌嵌在在其其内内一一起起运运动动。弹弹簧簧原原长长为为 ，木木块块拉拉着着弹弹簧簧并并转转过过9090时时，弹弹簧簧伸伸长长到到 ，求求该该时时刻刻木木块速度的大小和方向。块速度的大小和方向。176子弹射入木块，忽略木块与桌面摩擦，x方向不受外力，动量守恒解：体系机械能守恒对
48、力心O角动量守恒：177178五、质心系角动量定理五、质心系角动量定理.1.质质点点系系角角动动量量定定理理及及角角动动量量守守恒恒定定律律是是对对惯惯性性系系中中同同一一固固定定参参考考点点而而言言,如如果果在在非非惯惯性性系系中中，必须把惯性力的力矩当作外力矩考虑进来。必须把惯性力的力矩当作外力矩考虑进来。179如如果果使使用用质质心心为为原原点点的的质质心心系系，若若为为非非惯惯性性系系，对质心的角动量表现为对质心的角动量表现为质质心心系系中中质质心心角角动动量量定定理理的的形形式式，不不管管质心系是否为惯性系均为上式质心系是否为惯性系均为上式1802 2对对惯惯性性系系中中固固定定参参
49、考考点点O O的的角角动动量量与与对对质质心心系系质心为参考点角动量之间的关系质心为参考点角动量之间的关系181质心角动量体系对质心的角动量质点系对惯性系固定参考点的角动量，等于质心对同质点系对惯性系固定参考点的角动量，等于质心对同一参考点的角动量与体系对质心的角动量之和一参考点的角动量与体系对质心的角动量之和1823.刚体运动学刚体运动学.忽略物体的大小和形状对运动的影忽略物体的大小和形状对运动的影响，而简化采用质点的概念响，而简化采用质点的概念刚体是指大小和形状不能忽略，但其大刚体是指大小和形状不能忽略，但其大小和形状的变化可以忽略的物体小和形状的变化可以忽略的物体描述刚体运动的部分称为刚
50、体运动学；描述刚体运动的部分称为刚体运动学；涉及刚体运动变化的原因部分称为刚体涉及刚体运动变化的原因部分称为刚体动力学动力学183平动和转动，可以描平动和转动，可以描述所有质元（质点）述所有质元（质点）的运动。的运动。平动平动（translation）时，时，刚体上所有点运动刚体上所有点运动都相同。都相同。刚体质点间的相对运刚体质点间的相对运动只能是绕某一轴转动只能是绕某一轴转动（动（rotation）的结果。的结果。o ooo184一一.刚体的平动刚体的平动.描述刚体的平动时可以用刚体上的一个点描述刚体的平动时可以用刚体上的一个点来代表，因此我们只要知道了这个点的轨来代表，因此我们只要知道了
免费区 
