1、专题十二创新题12.1选填题压轴一、集合1.(202204石景山一模15)已知非空集合AB满足：AU8=R,AIB=0,函数/U) =V XeA3x-2,xe .对于下列结论:不存在非空集合对(AB),使得/*)为偶函数；存在唯一非空集合对(AB),使得八幻为奇函数；存在无穷多非空集合对(AB),使得方程f(x)=0无解.其中正确结论的序号为.【答案】2.(202204房山一模10)已知U是非空数集，若非空集合人满足以下三个条件，则称(A，A)为集合U的一种真分拆，并规定(A，4)与(4,4)为集合U的同一种真分拆.Al2=0：AUA=U；Al.(i=1,2)的元素个数不是A中的元素.则集合U
2、1,2,3,4,5.6的真分拆的种数是A.5B.6C.10D.15【答案】A二、函数1.(202204西城一模15)已知函数/(幻=|2*-。|-依-3,给出下列四个结论：若a=l,则函数“力至少有一个零点；存在实数使得函数/(x)无零点；若a0,则不存在实数&,使得函数/(x)有三个零点：对任意实数%总存在实数使得函数/(x)有两个零点.其中所有正确结论的序号是.【答案】【解析】函数/()=2t-a-kx-3的零点的个数可转化为函数)，=|2,-与直线y=h+3的交点个数，从而作图，结合图像依次判断即可。若=,y=)2*7与恒过(0,3)的直线y=H+3至少有一个交点，故正确；当=-3,k
3、0时，y=2F3与直线没有交点，故正确；若0,例=3时，存在实数kv且足够大时，使得y=2-3与)，=履+3一定有三个交点，故不正确；对任意实数，由图像可知，总存在实数A使得)，=|2,-a|与y=h+3有两个交点，故正确.三、三角函数1. (202204海淀一模15)已知函数/(X)=等q，给出下列四个结论：/(X)是偶函数；/(x)有无数个零点；/(x)的最小值为-g；f(x)的最大值为1.其中，所有正确结论的序号为.【答案】【解析】正确，y=cosx与y=+l均为偶函数，所以f(x)为偶函数；正确，取TLV=工+E,攵Z即可；2错误，易知外)=，f（八）Jv2sinJ2xcos7tv2
4、P0所以/(1)=10又因为/)为连续函数，所以必存在毛O所以f(x)在(o,1)上单增，所以/(%)1所以l()l=l半7124/(?)=-y=sin-Sin(T-2，)=sinn-cos2w=sinw-(l-2sin2in)=2sin2/7?+sin/-1,z0,-1,4令/=sin,r-y-.ly=2r+1-f对于A,当e(乙)时，(0,l),2r=siv单调递减，)，=2+，-1单调递增，)随/的增大而增大，所以/(M在区间弓.兀)上为减函数，故A不正确；对于B,令/（zn）=O,可得（2Sinm-IXSiIIm+1）=0,所以Sinm=或sin/，二一1（舍）,2此时加=二或里66所
5、以恰有2个零点，故B正确；1Q对于C,当SinE=-W时，/（M取得最小值为-8,故C不正确；对于D,因/（M的定义域|0,史不关于/=逆对称，46所以f（m）的图象不关于点（亚,0）中心对称，故D不正确6四、数列1.（202204丰台-模10）对任意mwM,若递增数列“中不大于2Z的项的个数恰为？，0l+a2+an=1,则的最小值为C.10A.8B.9【答案】C五、立体几何1.（202204东城一模15）某学校开展“测量故宫角楼高度”的综合实践活动.如图1所示，线段48表示角楼的高，CRE为三个可供选择的测量点，点&C在同一水平面内，8与水平面垂直.现设计能计算出角楼高度的测量方案，从以下六
6、组几何量中选择三组进行测量，则可以选择的几何量的编号为.（只需写出一种方案）Co两点间的距离；CE两点间的距离；由点C观察点A的仰角;由点。观察点A的仰角夕； ZACE和ZAECi ZAz）E和ZAEDD.11【答案】（答案不唯一）2.（202204朝阳一模10）在通用技术教室里有一个三棱锥木块如图所示，以PB,VC两两垂直，VA=VB=VC=I（单位:dm）,小明同学计划过侧面EAC内任意一点P将木块锯开，使截面平行于直线期和AC,则该截面面积（单位：dm2）的最大值是a1r244C.-D.-44【答案】B3. （202204丰台一模15）如图，在棱长为2的正方体A8CO-CA中，M,N分别
7、是棱4综4。的中点，点尸在线段CM上运动，给出下列四个结论:平面CWV截正方体A88-A4G所得的截面图形是五边形;直线4A到平面CAW的距离是等：存在点P,使得NBJA=90。；PZ）A面积的最小值是述.6其中所有正确结论的序号是.【答案】4. （202204门头沟一模15）如图，已知四棱锥P-A68的底面是边长为2的菱形，且NDAB=三,PD=AD,3PDJ_平面ABCO,EO分别是A4,8f）的中点，E是线段距上的动点，给出下列四个结论：ACXOE;FC=PO; AEC面积的取值范围是直线PO与底面AHC。所成角的正弦值为日;其中所有正确结论的序号是.【答案】5. （202204房山一模
8、15）如图，正方体A8CD-4与的棱长为2,点O为底面AA8的中心，点P在侧面88CC的边界及其内部运动.给出下列四个结论：5（Do_LAC:-Ti存在一点尸，D1O/B1P:A1/；Z1若D0J_。尸，则面积的最大值为石；p若P到直线AG的距离与到点8的距离相等，则P的轨迹为抛物线的一部分.a上1其中所有正确结论的序号是.【答案】6.（202204平谷一模15）设棱长为2的正方体A8C-48CQ,E是4）中点，点MN分别是棱A8,GA上的动点，给出以下四个结论：存在ENllMG；存在MNl,平面ECG；存在无数个等腰三角形EMN；三棱锥C-MNE的体积的取值范围是2.33_则所有正确结论的序
9、号是.【答案】六、解析几何.（202204朝阳一模15）在平面直角坐标系Xo），中，设抛物线C:9=4x的焦点为尸，直线1.y=G（X-I）与抛物线C交于点A,且点A在X轴上方，过点A作抛物线C的切线与抛物线C的准线交于点P,与X轴交于点给出下列四个结论：OEA的面积是G；点”的坐标是（-G0）;在X轴上存在点。使AQPQ=O;1.UlUUU以彼为直径的圆与y轴的负半轴交于点N,则A/=2FN.其中所有正确结论的序号是.【答案】1 .（202204石景山一模10）设AB为抛物线C:y=f上两个不同的点，且直线AB过抛物线C的焦点F,分别以A8为切点作抛物线C的切线，两条切线交于点P.则下列结论
10、点P一定在抛物线。的准线上；PFJ-AB；aPAB的面积有最大值无最小值.其中，正确结论的个数是A.0B.lC.2D.3【答案】C七、数学应用1. （202204海淀一模10）甲医院在某段时间内，累计留院观察的某病例疑似患者有98人，经检测后分为确诊组和排除组，患者年龄分布如下表：年龄（岁）0,20)20,40)40,60)60,80)80,+)总计确诊组人数0374014排除组人数7411519284为研究患病与年龄的关系，现采用两种抽样方式.第一种：从98人中随机抽取7人，第二种：从排除组的84人中随机抽取7人.用X,Y分别表示两种抽样方式下80岁及以上的人数与80岁以下的人数之比.给出
11、下列四个结论： 在第一种抽样方式下，抽取的7中一定有1人在确诊组； 在第二种抽样方式下，抽取的7人都小于20岁的概率是0；X,Y的取值范围都是0,马；E(X)O,可能发生；错误，所抽7人均小于20岁的概率为导0,可能发生；正确，两种抽法，80岁及以上可能被抽到的人数均为0,1,2；正确，分别写出X,丫分布列X0625P.CBC74Y0_625PGCLCl计算量较大，会占用过多时间。可结合对概率的理解，因为80岁及以上的人在两种抽样中均为2人，所以总人数越多，抽到的概率越小。故有E(X)E(Y).2.(202204东城模10)李明开发的小程序在发布时已有500名初始用户，经过f天后，用户人数4f
12、)=40)e”,其中&为常数.已知小程序发布经过10天后有2000名用户，则用户超过50000名至少经过的天数为A.31B.32C.33D.34【答案】D3.(202204门头沟一模10)新型冠状病毒肺炎(COViDT9)严重影响了人类正常的经济与社会发展.我国政府对此给予了高度重视，采取了各种防范与控制措施，举国上下团结-心,疫情得到了有效控制.人类与病毒的斗争将是长期的，有必要研窕它们的传播规律，做到有效预防与控制，防患于未然.已知某地区爆发某种传染病，当地卫生部门于4月20日起开始监控每日感染人数，若该传染病在当地的传播模型为/)=-2-(/(r)表示自4月20日开1+9e始M单位:天)
13、时刻累计感染人数，i(z)的导数表示，时刻的新增病例数，ln9=2.1972),根据该模型推测该地区新增病例数达到顶峰的日期所在的时间段为A.4月30日5月2日B.5月3日5月5日C.5月6日5月8日D.5月9日5月11日【答案】A4. (202204平谷一模10)生物学家认为，睡眠中的恒温动物依然会消耗体内能量，主要是为了保持恒温.根据生物学常识，采集了一些动物体重和脉搏率对应的数据，经过研究，得到体重和脉搏率的对数线性模型：ln=ln攵-等(其中/是脉搏率(心跳次数/min),体重为W(g),a为正的待定系数).已知一只体重为300g的豚鼠脉搏率为300/min,如果测得一只小狗的体重50
14、0Og,那么与这只小狗的脉搏率最接近的是A.130/minB.120minC.HO/minD.100/min【答案】B12.2解答压轴题一、数列1. (202204海淀一模21)设机为正整数，若无穷数列an满足aikaik+/|(i=l,2,必=1,2,)，则称6为2数列.(I)数列是否为R数列？说明理由；(II)己知其中Sj为常数，若数列q为R数列，求SJ；U，为偶数，(III)已知6数列q满足q0,%=2,a6k所以/=2,即/=-1.当&为偶数，A:+1奇数时，I/I=4+11，ISI=Ir+11=综上所述，t=-1,5=0.(III)因为4为A数列，所以有I%I=Iak+1,a2zH/
15、21Ja3k+3Ha3k+3.因为=2=|+21,所以缘=T或O.当4=T时，Iql=I%+3|,即g=1.另一方面，|6|=|6+1|,即%=3,矛盾.所以4=。因为阳+6,所以4%0.若。6人+3=a6k3则k=阳，与%Y4+6矛盾，故1+3=%+3.若+6=Fa+3_3=-a6k-6,与。6氏+6矛盾，故/+6=+6.即3=+3.若。3+1=a3k1则rtU+2=仁，因为OU0.所以生+1=4+3,%*+1*%.+3,矛盾,所以外+1=aik+L若%t+2=-+l-1=a3k2，则1+3=a3k+1或TtT，与%+3=%+3矛盾,2.(202204西城一模21)如果无穷数列q是等差数列
16、且满足： /,yN*,3N*,使得aiaj=ak； WAN,3/,JN*,使得ajaj=ak,则称数列/是“数列”.(I)下列无穷等差数列中，是“”数列”的为；(直接写出结论)a：13,5,:0,2,4,cn：0,0,0,dlt:-1,0,1,（三）证明：若数列为是“H数列”，则4eZ且公差dN;(III)若数列仅“是“”数列”且其公差dwN为常数，求4的所有通项公式.【解析】(I)&，%(II)当d=0时，设a”=。，则有2=a,即/=0或q=1符合题意.当d0时，若fl0恒成立，则存在am=a2a30f矛盾，因此存在a”0.若dv,则a为心中的最大项，此时存在4-1,%4,矛盾.因此，0
17、此时4为凡中的最小项，若41,使得存在ai=4aiq,矛盾因此可O恒成立.当4=O时，若/1，则存在Clin=2l,则存在aia.=a2,因为,吗21，所以q4,矛盾.因此=1，=/I-1符合题意.当4/0时，若修1,则存在am=1,则存在aia.=al,因为q,%ql,所以q%q,矛盾.因此l=1.因为存在=出，gpi+(w-l)J=(l+)2=J2+2J+1,所以d=n-3N(III)由（三）知，4=0或1.当q=O时，生=1，4=1，容易验证。“为“”数列”.当q=l时，an=l+(n-l)d,下面验证/为“”数列”.a,a.=(+(i-)d)(+(j-)d)=+(i-j+2)d+(i
18、)(j-l)d1=l+(-y+2+(-l)(7-lW=q52+w)d，满足令i=l,j=k,则q吗=%=q,满足.所以。为“数列”.因此q=-I或.6r=1+n-)d.3.(202204东城一模21)设数列Aq,%,q52).如果41,2,(，=1,2一)，且当iJ时，aia.(ijn)f则称数列A具有性质。对于具有性质P的数列A,定义数列T（八）Mn,z，其中%(I)对T（八）:0,1,1,写出所有具有性质?的数列A；（三）对数列氏外2,*52),其中G0,l(i=l,2,1),证明：存在具有性质P的数列A,使得7（八）与石为同一个数列；(III)对具有性质P的数列A,若k-%|=1(/5
19、)且数列7(可满足=证明：这样的数列A有偶数个.I,/为偶数解：(I)4,1,2,3:3,1,2,4;2,1,3,4.(4分)(II)由于数列七:4勺，1其中qw0,l(i=12几，不妨设石:电，中恰有S项为1，若$=0,则4：,/,符合题意；若S二-1,ROAl,2,/?符合题意；若OVSV则设这S项分别为气,气,ek(kik2kx)t构造数列A:%M2，。“，令或“，。，吗+1分别为一s+l,-s+2,n,数列A的其余各项%,%,(小吗见一)分别为一5,一STJ经验证，数列A符合题意.(9分)(III)对于符合题意的数列A:%g,atl(n.5).当为奇数时，存在数列4:勺,为”吗符合题意
20、且数列A与4不同，T（八）与T（八）相同.按这样的方式可由数列4构造出数列A.所以为奇数时，这样的数列A有偶数个.当=3时，这样的数列A也有偶数个.当为偶数时，如果n,n-是数列中不相邻的两项，交换n与n-得到数列A符合题意，且数列A与4不同，T（八）与T（八）相同.按这样的方式可由数列4构造出数列A.所以这样的数列A有偶数个.如果,-1是数列4中的相邻两项，由题设知，必有q1=，卬=-1,4=-2.除这三项外，心，仆，4.2是一个小3项的符合题意的数列A.由可知，这样的数列八有偶数个.综上，这样的数列A有偶数个.(15分)4.(202204石景山一模21)若数列qr中存在三项，按一定次序排
21、列构成等比数列，则称an为“等比源数列”.(I)已知数列%为431,2,数列也为1,2,6,24,分别判断凡,也是否为“等比源数列”，并说明理由；(Il)已知数列,的通项公式为r=2+l,判断t是否为“等比源数列”，并说明理由；(HI)已知数列“为单调递增的等差数列，且4工0,0.因为4Z则41,且dZ,所以数列4中必有一项4”0.为了使得dj为“等比源数列”，只需要4中存在第项，第4项(女)，使得d；=dmdk成立，即dm+(n-m)d2=dmdm+(k-rn)d,即(-ni)2dm+(n-m)ddm(k-ni)成立.当=drn+m,k=2dm+(n-rn)d+zzl,上式成立.所以dj中存
22、在d,”，d“，&成等比数列.所以，数列4为“等比源数列”.15分5.(202204门头沟一模21)素数又称质数，是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数.早在2000多年前，欧几里得就在几何原本中证明了素数是无限的.在这之后，数学家们不断地探索素数的规律与性质，并取得了显著成果.中国数学家陈景润证明了“1+2”，即“表达偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和“，成为了哥德巴赫猜想研究上的里程碑，在国际数学界引起了轰动.如何筛选出素数、判断一个数是否为素数，是古老的、基本的，但至今仍受到人们重视的问题.最早的素数筛选法由古希腊的数学家提出.1934年，一名印度数学
23、家发明了一种素数筛选法，他构造了一个数表A,具体构造的方法如下：A中位于第i行第j列的数记为%,首项为3i+1且公差为2i+1的等差数列的第j项恰好为%，其中i=l,2,；J=1,2,请同学们阅读以上材料，回答下列问题：(I)求心；(II)证明：aij=aji；(III)证明：若S在A中，则2y+1不是素数；若S不在A中，则为+1是素数.解：(I)a5l=160(w=l,2,3)；对任意的正数都存在正整数N,使得册6.(1)若见=2+1,以=2+88()5=1,2,3,),判断数列叫，也是否是无界数列;（三）若q=2+1,是否存在正整数使得对于一切几3都有幺+血+&4%成立？若存在，求出攵的范
24、围；若不存在，说明理由；(III)若数列/是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m,使得幺+g+Avm-L(I)为是无界数列；也丕是无界数列.（三）存在满足题意的正整数h且上4.当4时,因为一+义+.a2 44+J_ 2-i . % 一2 , a,+ an十十 十一(In)因为数列q,是单调递增的无界数列，所以勺0,4。2 q/+所以 幺+ & + , +-v1- a2 a3z7JV,+12=二二+。+11,572+357911所以存在正整数-%4),a2对于i切Z,有幺+&+2Y-1成立.由定义可知4是无穷数列，考察数列叫旬+2，+3,，显然这仍是一个单调递增的无界数列，同上理由可知存在正整
25、数必，使得4+%+.+&(怡一乂)ciN+2aNi+30M+22故存在正整数明，使得即存在正整数0=/W,使得幺+ &+ +乌加一1成立.二、集合1.(202204朝阳一模21)对非空数集XI,定义X与Y的和集X+Y=x+yxX,yw4.对任意有限集A,记IAl为集合A中元素的个数.(I)若集合X=0,5,10,y=-2-1,0,1,2),写出集合X+X与X+Y；(II)若集合X=对再,%”满足MVfVVXf,n3t且X+Xv2X,求证：数列(In)设集合X=%,工2,5满足XWV兀，w3,且茗eZ(i=l,2,)，集合B=ke7-mkm(m2,mN),求证：存在集合A满足Al+ij且X=A+
26、3.解：(I)X+X=0,5,10,15,20,X+y=-0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,K)JLI2.4分(II)因为百+七VX+工2g+MVx+xX2+v11x11A+xn,所以X+X中至少包含2-1个元素，所以X+X.因为IXI=，由题得X+X2”,又因为X+X是整数，所以|X+X-所以|X+X|=21.所以X+X中的所有元素为x+X,X+x2,x+,x+Xn,X2+xnx3+X，X+xn-又因为+,超+X,2+x2,2+XT,X2+%,X3+X”，/+/是X+X中的2-1个元素，且x1+XX2+xX2+X22+xn_X2+xnXj+xn所以数列再,x2,天是等差数列.9分(II
27、I)因为B=伙WZlTkmt所以B=2m+l.设XzI-Xl=(2?+l)q+r,其中q,rwN,滕卜2z.设q是首项为3+m,公差为26+1的等差数列,即q=百+m+(il)(2z+l),/N*.令集合A=%,%,i,%+/，则 IAl=I+ 4 = 1 +2tn + IBI所以A+B=x1,x1+l,x1+2,x1+(2w+)q+2m,即A+8=fZx微xi+(2m+l)q+2m.因为xn=x+(2m+Dq+r,x1+Qm+)q+2tn,所以A+83GZlXI图x,Jn,X2,不).所以XUA+8.15分2.(202204丰台一模21)已知集合S=1,2,(3且N*),4=知出,4”,且A
28、S.若对任意qeA,ajeA(iijm)f当4+%T时，存在eA(l火m),使得ai+aj=ak,则称4是S的切元完美子集.(I)判断下列集合是否是S=1,2,3,4,5的3元完美子集，并说明理由；A=1,2,4；4=2,4,5.(11)若A=4，生吗是S=1,2,7的3元完美子集，求q+生+%的最小值；(III)若4=%,%，%是S=L2,53且mN*)的机元完美子集，求证：4+二则罗，并指出等号成立的条件.解：(I)因为l+2=35,又3任A，所以A不是S的3元完美子集.因为2+2=4W5,且44,而5+54+54+42+52+45,所以A2是S的3元完美子集.4分(II)不妨设a27,
29、符合题意，此时ai+a2+ai=2.若q23,则q+q26,于是224,6,所以4+生+%213.综上，4+出+%的最小值是12.8分(III)证明：不妨设4/Lam.对任意1iz,都有ci7,+l.,2+1,否则，存在某个i(lWiWm),使得+a,+T由4%L4,得4Vq+44+&Vaiam+-in-所以+4,4+4，4+分+”,是A中/n+1i个不同的元素，且均属于集合+1，4+2,L,4z,该集合恰有m-i个不同的元素，显然矛盾.所以对任意1iTM，都有Cli+/+I2+1.于是2(4+电+L+am+an)=(ai+am)+(a2+am,l)+L+(am,x2)+(am+)m(n1).
30、川(+1)即a+a2+L+am等号成立的条件是4=篙M且q=*(2iWn).14分3.(202204平谷一模21)已知S.=XX=3,%M)4=0或l,i=12,(n2),对于A=(4,4，)，=(,)S,1,A-B=(al-bl,a2-b2,-ian-),定义A与B之间的距离为dA,B)=Zk-伪II-I(I)若UWeS写出一组Uw的值，使得d(U,V0=2;（三）证明:对于任意的UW,W5d(U-W9V-W)d(UtV)i(11D若U=(Ol,吗,4),若VeS“，求所有d(U,V)之和.解：(I)(/=(0,1,0,0),U=(Ll,0,1)(答案不唯一).4分（三）证明：设A=,%，
31、4)，V=(h,b2,b3,btt),W=(C0勺，C,)Szf,因为,ciO,1),所以Iq-CjIO,1,(/=1,2,.,h)WWW.ks从而U-W=(14-c,&-GI,l4-J)wSn,同理V-W=(Ib-c,也-G，也-Gl)wSfl,U-V=(ial-bi,02-an-bn)eSrt.6分又d(U-W-W)=X1.-.-bi-ciIl,I=I由题意知,bi,ci0,l(1=l,2,.,w).当q=0时，Ilq-qIT4-qIHI4Il;当q=l时，Ilq-ql-也-qIHIq-II-也一IiI=I(I-4)-(1-4)I=Iq-4I所以d(U-W,V_W)=fIai-bi=d(U,V).9分j三1(HI)解：易知S“中共有2”个元素，分别记为K(Z=I,2,2rt),10分对于V(bx,b2,byb.),4=0的匕共有2t个，4=1的匕共有2”t个.12分如(UM)=*=1(2,tz,-0+2-1a1-II+2rt-,2-0+2,e2-l+2,n-0+2Tn-l)=22Zd(UM)=小2。hl
免费区 
