1、第五章傅立叶变换应用于通信系统一滤波、调制与抽样学习目标1 .理解系统函数(j3)及傅里叶变换分析法，掌握无失真传输条件。2 .了解理想低通滤波器模型，系统的物理可实现条件，熟悉调制、解调的原理与实现。3 .掌握抽样信号的传输与恢复，熟悉频分复用与时分复用。教学重点难点重点掌握无失真传输条件。教学内容5.1引言本章初步介绍傅里叶变换方法应用于通信系统中的几个主要方面一滤波、调制和抽样。傅里叶变换形式的系统函数本章共8学时，其中，讲授7学削r(f)Mf)时，讨论课1学E()R时。w若e(f)E(或E(Jg)r()R(),或R(j)在授课过程中，要引入当今通(0-H或(j频率响应特性公系统的幅频特
2、性HO)=Io)|V),(co)cd：相频特性设激励为e(f)=3叫则系统的零状态响应为r(t)=h(t)*e(t)=f例Fd7=e%f()ej,rdJ-OOJ-8=7(jt0)ejftv(等于激励e(f)乘以加权函数7(jg)系统函数的物理意义系统可以看作是一个信号处理激励：E(jy)响应：H(j)E(j)(对信号各频率分量进行加权)E(j)=E(j明9H(jo)=H(J研，IRO)I=IEO)H0)1(片3)的幅度由H(砌加权)r()v()h()(曲口地相位由曲。修正)对于不同的频率。有不同的加权作用，这也是信号分解，求响应再叠加的过程。5.2利用系统函数(jG)求响应 系统的频响特性与7
3、7(三)的关系 正弦信号激励下的稳态响应 非周期信号激励下系统的响应一.系统的频响特性与H(三)的关系当”(s)在虚轴上及右半平面无极点：(r)=H(j?解：I(j0)Jl+2()=-arctan;sint:Jrsin(f-453)2Sin(2。:-Sin(2-63)sin(3Z):=sin(3-72)710例5-2-2下图所示RC电路，在输入端1-1加入矩形脉冲耳（“利用傅里叶分析方法求2t22端电压为（“O1=+R，向vc(.)三fiV分析:R(j)=H(j)E(j)w(j?)(r)F(r)MSs = r(0 =F-/?()解:H(S) =sC _ RC/? + 5 + SC RC工（池”
4、心激励信号v1 （r的傅里叶变换式为V1 (j6y) =ErSa 掾)e %-ejtyr响应岭卜）的傅式变换V2(j69)=(jty)V1(jd?) ErS a + j3.FjT=M(Me池求v2(r)以=&*=J-Ijfia+j七J)-Q-A)所以以，)=瓦(。一(一了)一卜5(。一e-*f(-7)=E(Ie-)w(f)-E,e-Mr)G)波形及频谱图如下:说明系统具有低通特性，半功率带宽为必输入信号在/=O急剧上升，f=T急剧下降，蕴含着高频成分。经低通后，以指数规律上升和下降，波形变圆滑。a=-,汇=RC称为时间常数，RCinaT,即带宽增加，允许黜J的RC频率分量通过，响应波形的上升，
5、下降时间就要缩豆。思考题：当输入信号为周期矩形脉冲信号时，输出如何？为描述方便，将原来的输入和输出标记为V10(0#V20(Oo匕=%(，)*&)匕(j0)=匕o(j&),l(-ni)l/f*C0匕G。)=匕(jo)(j)=V10(jfi)A(j)i(-ni)11sao=%(jo):皿b(=-0)匕(，)=.()*&(波形及频谱图输入为周期矩形脉冲时的输出正弦信号激励下系统的稳态响应设激励信号(r)=sin卬,若：H(j)=H。砌e前，求稳态响h(DVl(j)j(+a)0)-(-ii)V2(j)H(j)Vi(j)=|H(j)E)jnb(+0o)-b(-%)所以匕(jO)=阳(jo)麻(+/把-
6、小)一6(0把(利用频移特e-m2Tr6(。+。0)e02r演。-R)所以v2(O=JH(jg)je-加-刎外)*如e刎回=H(j6)sin所以K(jo)=KE(jo)e-W”因为 R(j0)=E(jo)H(jq)几点认识：要求幅度为与频率无关的常数K,系统的通频带为无限宽。相位特性与陶成正比，是一条过原点的负斜率直线。不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。不失真的线性系统其冲激响应也是冲激函数。相位特性为什么与频率成正比关系？H(j)=KeTerOKb(ETO)=放)只有相位与频率成正比，方能保证各谐波有相同的延迟时间，在延迟后各次谐波叠加方能不失真。延迟时间/0是相位特性的斜率：d)_d
7、d()d在满足信号传输不产生相位失真的情况下，系统的群时延特性应为常数。系统的无失真传输条件时域：h(t)=K(t-t0)频域：H(j)=Ke-M叫H(j8)=K,()=-ct0K和%均为实常数5.4理想低通滤波器 理想低通的频率特性 理想低通的冲激响应 理想低通的阶跃响应 理想低通对矩形脉冲的响应一.理想低通的频率特性(co)=-t为截止频率，称为理想低通滤波器的通频带，简称频带。-0Og的低频段内，传输信号无失真(只有时移f0)o二.理想低通的冲激响应因为h(t)H(j)所以h(t)=FTM(jo)=*口(jWdo=(匚JeT*e刖d1 P2 J-Jed。).rJ也2 j(-0)1IeS-
8、一(IO)v sin= .Sac(r0)波形彷a几点认识1.比较输入输出，可见严重失真;5(f)-1信号频带无限宽，而理想低通的通频带(系统频带)有限的(0g)当6(。经过理想低通时，g以上的频率成分都衰减为0,所以失真。系统为全通网络，可以无失真传输。2.理想低通滤波器是个物理不可实现的非因果系统原因：从看，XO时已有值。三.理想低通的阶跃响应激励e(t)=u(t)()-(0=系统l.ejf0mc响应r(=w(r)*(r)所以R()=b(。)+ejmz(一。Cc)1.J牝r()=F1/?()=5(lsinfi)U-ft)1111C(Io)SinX1=-+-d=-+dx22rJ。TrJOX正弦
9、积分psinrSg)=I丁d”1 .下限为0；2 .奇偶性：奇函数。3 .最大值出现在最小值出现在阶跃响应波形小，则响应波形上升与下降时间连在一-起完全失去了激励信号的脉冲形象。吉伯斯现象：跳变点有9%的上冲。改变其他的“窗函数”有可能消除上冲。(例如：升余弦类型)5.5系统的物理可实现性、佩利一维纳准则-一种可实现的低通佩利-维纳准则一.种可实现的低通理想低通游波器在物理上是不可实现的，近似理想低通灌波器的实例时，且令4=h(t)=h(t)u(t)公式推导二.佩利一维纳准则物理可实现的网络时域特性h(t)=h(t)u(t)因果条件频率特性d0Hg)=-jsgn(0)=(j90fi)-jsgn
10、o)=：结论具有系统函数为-jsgn(G)的网络是一个使相位滞后弧度的宽带相移全通网络。同理可得到：若系统冲激响应为Mf)=90。 090Mf)心!jsgn输出信号/(r)=0*(r)=(r)*f-1It)利用卷积定理F=，()jsg)=:1.Jo结论具有系统函数为jsgn(o)勺网络是一个使相位滞后T弧度的宽带相移全通网络。希尔伯特变换希尔伯特正变换叩(，)=沏=汜理政沏=/(，)*希尔伯特反变换H-皿m4匚理d,/0=70二.可实现系统的网络函数与希尔伯特变换可实现系统是因果系统，其冲激响应h(t)=h(tu(t)即Mf)=Ot)+X()i +J- jx(-K(.j0)JG)所以 R(M
11、)+jX(jo)=瓢。吗。普族IJ X(j。)-r)d2 i -根据实部与实部相等，虚部与虚部相等，解得w=j)dl7 T结论x(j。)，网迎2jo-4因果系统系统函数”(jy)的实部与虚部满足希尔伯特变换约束关系。例题三.常用希尔伯特变换对N)%)costsin%sin%-cos0r=b(+叫)+(-tt)则希尔伯特变换的频谱函数为户(。)=F()-jsgn()=jb(G+&o)+(-j-即：F()=yn(+0)-(-fi0)沌)=SinfiV方法3：直接用希尔伯特变换定义式Hcosfi0/=-osfl?0r(=sinlJ-ot-r例5-6-2已知h(r)=er,证明Fh(t)的实部与虚部满
12、足希尔伯特变换的约束关系。证明因为尸(，)二/e-%Q)二a+y即系统函数“(切)=-7-j-A-T=Xi。)+j(jo)a+a+。式中实部K(j)=产Qa+2虚部X(j。)=-一界0a+2现在求X(jG)的希尔伯特变换”(j0)=:匚普d“=H二0+3KY严(2+2)(fi)-)-jaA+ja-可求出各分式系数_14=Nq,C=-a+ya+则1hIxM=7Qv+7VdAj九Jy(-ja-ja)(+jaXA+ja)a2-)229(0-j0)(4-jr)+j0)(4+ja)+(02+a2-)_1q2_g4+Tr(O2+02)1_尤+22-ga-=2Ctarctanln(,+0)+oIn(=而Ea
13、l-0+0，2+aR(G)例5-6-3试分析下面系统可以产生单边带信号乘法播COS卬(力乘法器I(0八G(s)Aco移相-Sin卬(0已知信号g(。是带限信号，其频谱函数为GGy)图中系统函数(j0)=-jsgn(aGOtn解：由调制定理可知MO=g(f)csG/为带通信号其频谱函数K)=x3)=；gS+0o)+；g(-4)如)是g(r)的希尔伯特变换信号其频谱尸/（）=63）=-jG（j）Sgn（O）则城）=如）（一疝卬）其频谱函数户民（0=丫2（。）=；i*W（-%）一（+%）=-G（-。）Sgn（O-创）+jG（+0）sgn（d）+O0）即U（3）=gG（。一例）sgn3-g）gG（3+
14、o）sgn（G+0o）输出信号XO=y+%其频谱为Y（）=YX）+Y2（）频谱图如下所示丫（口）是带通信号（上边带调幅信号）的频谱。5.7调制与解调调制原理调幅、抑制载波调幅及其解调波形一.调制原理在通信系统中，信号从发射端传输到接收端，为实现信号的传输，往往要进行调制和解调。 高频信号容易以电磁波形式辐射出去 多路信号的传输频分复用相关课程中讲解“调制与解调”的侧重点不同： ，信号与系统，应用傅里叶变换的性质说明搬移信号频谱的原理； “通信原理”一研究不同的调制方式对系统性能的影响； “通信电子电路“一调制/解调电路的分析。1 .调制调制：将信号的频谱搬移到任何所需的较高频段上的过程。调制
15、的分类按载波正弦型信号作为载波脉冲串或一组数字信号作为载波连续性模拟(连续)调制数字调制模拟调制是数字调制的基础。幅度调制(抑制载波的振幅调制，AM-SOg(t)/U)=g(f)cos叫fA相乘ACOSO0/g(f):调制信号/(0：已调信号分析欧拉公式gg(f)L如+eT卬Q) = gQ)cos%)F3) = ；G( -690) + G( + g)f(D=g(f)cos(M52.解调，-G(M*kS(3-g) + 7c5(s+Go)Z将己调信号恢复成原来的调制信号的过程。综ry+2jfi)1002频响特性口2U=.(g+100Xg-100)2+JI0+1008功I(频率在。=IOo附近)H(
16、)faJr7l+j()-100)利用此式分别求系统对RS(IOor),氐08(1010白08(99”三个信号的响应，为此写出：(jioo)=H(jl01)=e-j45H(j99)=*响应v2(r)H(jl)=lH(jl01)=-ej45”(j99)=ej45于是写出响应2(，咸达式为v2(Z)=cos(l00/)+cos(101-45)+cos(99/+45)222r-=cos(l00z)+COS(IoOf)cos(z-45)2r-=1+-CoS(E-45)cos(100)2曲线激励信号频谱-ioo)Ib(O-99)nm-+4)-11()=f却开34r.0当。为其它值由此可求出:4a si 丸
17、) =1 F2 V 0系统功能当网mva4a当。为其他值4 2 0 2 34 (O*由4(o图形可见，此系统功专是理想带通滤波，中颜率火当参变量。改变时，可调节此带通滤波器中心频率与带宽： 增大。则中心频率降低、带宽变窄； 减小a则中心频率移至高端，带宽加宽。 但在变化过程中，这一系列的带通滤波器之带宽与频率之比保持不变，即B(JeO=5.9从抽样信号恢复连续时间信号由抽样信号恢复原信号孙yFSg)零阶抽样保持一.由抽样信号恢复原信号理想低通滤波器11-s%I妹flS-fln.H()=久HOCTS/=fM3)c/)=(，)*的)滤除高频成分，即可恢复原信号1从时域运算解释I一“时域运算以理
18、想抽样为例时域:(O=W=f(nTs)(t-nTs)频域：KF(O)*P=；反尸(0一4)2不/I=-CO理想低通滤波器，频域：=,fJ：；C时域:Mf)=Ts=Sa/tf)=fS(OM)=(匐烦”阳蜂等如q=7L(s)Sak(-wTs)-8说明/(O=rs-/Ws)Sa%()江=连续信号/)可以展开成Sa函数的无穷级数，级数的系数等于抽样值11Ts)o也可以说在抽样信号力的每个抽样值上画一个峰值为大八)的Sa函数波形，由此合成的信号就是人。当生=2综，则有，=Z%A此时/3=(s)Sak(r-nTs)j(01 4干干o Ts，必)演示二.零阶抽样保持在实际电路与系统中，要产生和传输接近万函数
19、的时宽窄且幅度大的脉冲信号比较困难。为此，在数字通信系统中经常采用其他抽样方式,如零阶抽样保持。O(r)*o(0=L忸(。一的一4)d=W)-W(,一川)波形及频谱图补偿低通滤波器5.10脉冲编码调制(PCM)引言，利用脉冲序列对连续信号进行抽样产生的信号成为脉冲幅度调制(PAM)信号，这过程的实质是把连续信号转换为脉冲序列，而每个脉冲的幅度与各抽样点信号的幅度成正比。在实际的数字通信系统中，除直接传送PAM信号之外，还有多种传输方式，其中应用最为广泛的一种调制方式称为脉冲编码调制(PCM)o在PCM通信系统中，把连续信号转换成数字(编码)信号进行传输或处理,在转换过程中需要利用PAM信号。P
20、CM通信系统简化框图接收端量化量化的过程是将信号转换成离散时间离散幅度的多电平信号。/(f)V”编码原理示意图数字二进制等效数字脉冲编码波形I-I00000l10001n20010I-I3OOII11I-I40100n50101nrn60110n7Ollln81000nn91001101010111011J-Lnj-121100TTTTJ-L131101J-LJ-L-11TT14111015HllPCM的优缺点 提高了信噪比：模拟通信系统一中继器一噪声累加;PCM数字通信系统一再生器一噪声不会累加；合理设计AD,DA变换器可将量化噪声限制在相当微弱的范围内。 组合多种新源传输时具有灵活性； 便
21、于实现各种数字信号处理功能。缺点：PCM信号传输时占用频带加宽，例如语音信号3003400Hz4kHz抽样率8kHz8位脉冲编码64kHz5.11频分复用与时分复用 频分复用 时分复用 防止码间串扰的方法一.频分复用复用：在一个信道上传输多路信号。频分复用（FDM）时分复用（TDM）码分复用（码分多址）（CDMA）波分复用（WDM）频分复用：就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通信的传输体制。（frequencydivisionmultiply）复用T攵信端收信端：带通滤波器，分开各路信号，解调。G(O)小频分复用解调分析带宽二归零码先利用一个带通滤波器（带宽外-练 陶 +%,）滤出叫附近的分码速:f=量，再同步解调。胤。)=fa(c2M=(+cos(2aO=(f)+(f)cos(2fiV)GaS)=；居S)+；居3+现)+K(0-2g)再使用低通滤波器，完成解调。优点 时分复用传送PCM信号，传输PCM信号所具备的优点在十分复用都得以体现。 产生与恢复各路信号的电路结构相同，而且以数字电路为主，比频分复用系统的电路更容易实现超大规模集成，电路类型统一，设计、调试简单。 容易控制各路信号之间的干扰（串话），合理设计码脉波形可使频带得到
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