1、专题九立体几何9.1 立体几何边域基础一、选择题1. （202205朝阳二模07）已知/,机是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，下面正确的结论是芾IHa,m11a贝!/mB.若TW夕，alp,则/n_LaC.若/_La,IA.in9则相D.若/J_，inA.inVa则/_La【答案】D2. （202205丰台二模05）已知两条不同的直线/,机与两个不同的平面区夕，则下列结论中正确的是A.若=,n/则m_LaB.若/_La,IHt则0_1_夕C.若z_La,ILtn,贝JD.若二_1_户，ILa,则，万【答案】B3. （202205房山二模07）已知/是两个不同的平面，直线z,且夕1.夕，那么
2、iiIHaif是的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B4. （202205昌平二模07）如图，在正四棱柱48C。-AgcA中，O是底面ABa）的中心，瓦厂分别是3综OR的中点，则下列结论正确的是.AyOHEFB.CAIo平面E”4DA1O,平面E4【答案】B9.2立体几何选填笈耕一、选择题1. （202205海淀二模10）在正方体ABC。-AQCT）中，七为棱Z）C上的动点，产为线段8Z的中点.给出下列四个结论：笈EJ_47；直线IyF与平面ABEA所成角不变；点F到直线AB的距离不变；点F到AR。,A四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号
3、为A.B.C.D.【答案】C2. （202205东城二模10）如图，已知正方体488-AAlGA的棱长为1，则线段AA上的动点?到直线AG的距离的最小值为A.lB.2C速D.B43【答案】D二、填空题1. （202205西城二模15）已知四棱锥P-ABa）的高为1,RAB和PCO均是边长为的等边三角形，给出下列四个结论：四棱锥P-ABQ可能为正四棱锥；空间中一定存在到P,ABCD距离都相等的点；可能有平面。_L平面ABC。；四棱锥尸-B8的体积的取值范围是.（33j其中所有正确结论的序号是.【答案】2. （202205朝阳二模15）如图，在正方体ABC。-AqGA中，瓦尸,G分别为棱AAAq,
4、4上的点（与正方体顶点不重合），过A作AH，平面瓦6，垂足为”.设正方体A8CD-AgG的棱长为1，给出以下四个结论：若瓦EG分别是AAABl,AA的中点，则AH=立;6若瓦EG分别是AAAq,AA的中点，则用平行于平面E尸G的平面去截正方体ABCD-AB1C1D1,得到的截面图形一定是等边三角形：石尸G可能为直角三角形；公Ill1r+rr=AiE2AiF2A1G2AyH2其中所有正确结论的序号是.【答案】9.3立体几何大题1. (202205海淀二模16)如图，已知四棱锥P-ABCD中，底面ABa)是边长为2的菱形，NABC=60。，7J底面A88,EA=2,点E是PC的中点.(I)求证：D
5、C平面ABE；(II)求力C到平面ABE的距离.【答案】解：(I)因为菱形AB8中，ABHCD、又因为83x-y = 031 nX+y+z = 022令X=1,则y=布，z=-y3,于是则OC到平面ABE的距离为公喘二密零2. (202205西城二模18)如图，在三棱柱ABC-A中，四边形AAGC是边长为4的菱形，AB=BC=JB,点。为棱AC上动点(不与AC重合)，平面局与棱AG交于点E.(I)求证：BBi/DE；(II)若丝=3,从条件、条件、条件这三个条件中选择两个条件作为已知，求AC4直线48与平面48。E所成角的正弦值.条件：平面ABCJ.平面AAGC；条件：NAAC=60。；条件：
6、AB=收.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】解：(I)在三棱柱ABC-A8G中，AAJ/BB,又BBl(Z平面4CeM,所以88J/平面ACGA又因为平面B/DE平面ACGA=OE，所以BB1HDE.4分(II)选条件.连接4。，取Ae中点O,连接AO,BO.在菱形ACGA中，幺AC=60。，所以AAtAC为等边三角形.又因为。为4C中点，所以AOLAC,又因为平面ABCJ_平面ACClAi,平面ABCI平面ACC1A1=AC,AOU平面ACGA,且Ao_lac,所以A。，平面ABC,所以AOl.08.又因为AB=BC,所以8O_LAC.以O为原点，以OB、OC
7、OA为X轴、y轴、Z轴建立空间直角坐标系,则O(0,0,0),A(0,-2,0),A(0,0,2J),6(3,0,0),)(0,1,0).所以 8。= (一3,1,0)DE = AAl=(0,2,2.设平面B1BDE的一个法向量为 = C,M,Z),a所以 DE = O.-31 + y1 = 0, 2y1 + 23z = 0.令 ZI= -6,则 y=3, x1 =1,故 = (1,3,-JJ).Uiai又因为 AB = (3,2,0),sin = cos(, w)um IABfi913o所以直线AB与平面BIBDE所成角的正弦值为2.13选条件.连接AC,取AC中点。，连接AO, BO.在
8、菱形 ACGA 中，NAAC = 60。,所以AA1AC为等边三角形.又。为AC中点，故AO，AC,且Ao = 26.又因为08 = 3, AB =4.所以AO2+08?=A出，所以4OJO8.又因为ACLO8=0,所以A。J平面ABC.以下同选.选条件取AC中点O,连接30,A1O.在ZA6C中，因为AA=8C,所以8O_LAC,且AO=2,OB=3.又因为平面ABCJ_平面4CC4,平面ABcll平面ACGA=AC,所以30_L平面4CGA.因为OAU平面ACGA，所以5OJQA1.在RtZ8Q4中，OA=26.又因为OA=2,AA=4,所以。4j2+042=AA2t所以AOLAO.以下同
9、选.14分(19)(共15分)3. (202205东城二模18)如图，平面EAC_L平面ABC,ABA.BC,AB=BC,分别为必AC的中点，AC=S,PA=PC=5.(I)设平面PBCI平面80。=/,判断直线/与PC的位置关系，并证明；(II)求直线所与平面BQD所成角的正弦值.【答案】【解析】(1);。、。分别为Q4、Ae的中点，在AAPC中，DO/PC,。U平面80。，PC(Z平面80。，,PC平面80D,.PCU平面P8C,平面PBCn平面BoQ=/,根据线面平行的性质定理可知PC/;(2)YAB=BC,。是Ae中点，：.BOAC,：平面PACj平面ABC,平面HAC平面ABC=AC
10、8。U平面A8C,8。_1_平面人尸。，同理YAP=PC.P0_LAGP。垂直平面ABC故。8、OC。三线两两垂直，故可以。为原点建立如图所示的空间直角坐标系.由题可知AC=8,B=BC=42，OA=OC=OB=4,OP=3,则4(0,-4,0),4(4,0,0),P(0,0,3),则3尸二(T,0,3),08=(4,0,0),OQ=(O，2,1)设平面BOD的法向量为m=(x,y,z),mOB4x=0则J3，取z=4,则y=3,则而=(0,3,4),wOD=-2y+-Z=OCOSV?，BP =m-BP12_12wP-5525直线P8与平面80。所成角的正弦值一.正方形，DD1=4,E尸分别
11、是CG,8C的中点.(I)求证：A尸平面AEA；(II)设”在棱8片上，且BHN为CD的中点,求证：M/_L平面AE；并求直线ATV与平面AEA所成角的正弦值.【答案】解：(1)连接4。，设4。Aq=O,连接OE,F,4C在长方体ABaGA中，因为A与C。，且入用=8，所以四边形Aqc。是平行四边形.所以A。qc,且4。=线。.因为E,尸分别是CG,4G的中点，所以FEBlC,且FE=B1C.在矩形AAr中,。是Ao的中点，所以AOFE,且AyO=FE.所以四边形AOE”是平行四边形.所以A尸OE.因为AFa平面AER,OEU平面AEDr所以A/平面AER5分(II)建立如图所示的空间直角坐标
12、系。-冲z,则D(0,0,0),A(2,0,0),R(0,0,4),(0,2,2),(N2,1),N(OJO).所以A。二(-2,0,4),D1E=(0,2,-2).设平面AEDi的一个法向量为/n=(x,y,z)则WAA=O,即(-2x+4z=0,/WD1E=O,2y-2z=0.令z=l,则x=2,y=1.所以m=(2Jl).因为AW=(2,1,1),所以NH=m.所以M7_L平面AE因为n=(2,l,l),NA=(2,-1,0).设AN与平面AEA所成角为，则.a”1m4-l+030sin=|cos|=L=_l!=-.IMAIII/4+14+l+l10即AN与平面AEDi所成角的正弦值为噜
13、14分5. (202205丰台二模16)如图，在正三棱柱ABC4与G中，AAy=AB,。为BC的中点，平面AGol平面ABC=I)尸.(I)求证：A,ClDP;(II)求平面AGD与平面夹角的余弦值【答案】证明：(I)因为正三棱柱A8C-A4G,所以平面AMG平面ABC又因为AGU平面AqG,所以4G4平面A8C.因为平面AGO平面他c=0P,AGU平面ag。，所以4G/OP6分(Ii)设MG的中点为马，连接则DAcg.因为正三棱柱ABC-ABiG,所以CG_L平面ABc,且底面ABC为等边三角形，所以。Aj_平面ABC,ADlBC,由此得OA_LBC,DD11DA.以点D为坐标原点，DA,D
14、B,。所在直线分别为X轴、y轴、Z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。-XyZ.设AA=2,易知O(0,0,0),4(6,0,2),G(。,一1,2),所以矶=(6,0,2),万4=(0,1,2).设平面AGO的一个法向量为=(局y,Z),iinDA1=0,y3x+2z=0,则所以VnDCi=0,-y+2z=0.令X=?,贝Uy=-2J,z=-J,于是=(2,-25,-6)易知防=(Ojo)是平面AAl。的一个法向量.设平面AGO与平面A41D的夹角为。,则cos=cos,丽I=,丽=,l11DB19所以平面4G。与平面夹角的余弦值为迫13分196. (202205昌平二模16)如图，在棱长为2
15、的正方体ABC。-AqGA中，点M是Be的中点.(I)求证：ABl_L平面ASM；(II)求二面角8-4加-G的大小;(III)求点A到平面AMG的距离.【答案】证明：(/)在正方体4?8-4与GR中，因为8C_L平面A4,43,AqU平面AA所以BCj_A4，即8M_LAq.因为四边形/84是正方形，所以A,/，A0.因为ABn8M=8,AxB,BMU平面A8M，所以A4_L平面A1HM.解：()如图，建立空间直角坐标系。-型，则A(2,0,0),8(2,2,0),4(2,2,2),A(2,0,2),M(,2,0),Cl(O,2,2),所以ABl=(0,2,2),AG=(-2,2,0),GM
16、1,0,-2),由(/)知，平面ABM的一个法向量为Aq=(0,2,2),设平面AMG的一个法向量为=(x,y,z),力AC=-2x+2y=0,由则.所以=y,=2z,nClM=X-22=0,令x=2,贝Jy=2,z=l,所以=(2,2,1),所以cos=.1HAAl2由图可知，二面角4-am-g为钝角，所以二面角3-AM-G的大小为135；(III)设点到平面AiMCi的距离d.AAx=(0,0,2),则公*号所以点A到平面AMG的距离为I.7. (202205房山二模17)如图，在四棱锥尸-AeCD中，底面ABCD在底面ABCD中，BC/AD,CDAD,AD=CD=I,BC=2.(I)
17、求证：ACJ_平面RIB；(II)若平面R48与平面PcD的夹角等于色，求点8到平面PC。的距离.3【答案】解：(/)证明：以O为坐标原点，DA,QC所在直线为X,，轴，过点。作平面AeC。的垂线为Z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设4=,则A(l,0,0),C(0,1,0),3(2,1,0),P(l,0,),aAP=(O,0,a),AB=(，1，0)，AC=(-1,1,0),.APAC=O+O+O=O),ABAC=O+O+O=O,.APAC,ABACf.ACAP,ACLAB,又481=A,ABU平面APU平面Q4B,.AC_L平面Q4B.()由(/)可知人。=(-1,1,0)为平面PAB的一个法向量,由(/)知。(0,0,0),.OP=(1,0,),OC=(O,1,0),设平面PZ)C的一个法向量为=(,y,z),.平面尸。C的一个法向量为=（-。，0,1）,SnACa.cos=z；i，IIlACl7?Xa2+1又平面PAB与平面的夹角等于工，3.1，1=cos,解得=l,.平面H)C的一个法向量为=(-1,0,1),又C8=(2,0,0),二.点B到平面28的距离为d=华3=.HI11
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