俄罗斯的数学课程.doc

1、俄罗斯的数学课程（姚芳首都师范大学）8 俄罗斯数学课程的一般理念8 俄罗斯的数学课程标准8 分析与思考从20世纪50年代初开始，前苏联的教育对中国的影响是全面而深入的。其教育模式包括教育理论、实践、教育管理、课程结构、教材等等全盘移植到中国并得到进一步的发展。从历史的角度来看，在新中国初建时期，我国的工业以及与其相关的科学、教育的发展都处于初级阶段，与传统的计划经济体制和粗放型经济增长方式相适应的前苏联模式对于我国的社会主义建设起到了重要的作用。因此，可以说50年代末以来中苏两国的数学教育课程发展和改革有着几乎相同的基础。数学教育的改革很难割断历史，其继承性很强，它的内容、方法及结构具有很大的

2、稳定性，要研究、总结建国以来中国数学教育的特点、优势和不足，就必须要关注和深入曾对我们产生过重大影响的俄罗斯数学教育的改革和发展。其次，社会的发展、中国的发展都已经有了很大的变化，作为社会发展基础的教育，要适应社会主义市场经济体制下现代化建设对各类高素质人才的需要，这种体系内部的改革也应该顺应这样的形势。事实上，一方面，俄国的教育也有了很大的发展和变化。虽然近十几年以来，俄罗斯的政治、经济、社会都发生了巨大变化，但是俄罗斯仍然是数学和数学教育强国，教育理论根基十分深厚，拥有众多优秀数学家和数学教育家、良好学术传统，同时，他们在数学教育改革方面也有许多大胆探索和新的尝试。另一方面，我国的数学教育

3、也发生了变化，从20世纪80年代的应试教育到目前大力提倡的素质教育，我们数学教育的观念、目的、课程结构、教材等都变了。过去，我们一直十分关注和了解前苏联的教育理论和各科教学情况，近几年，由于种种原因，只是表面的和局部的了解了俄罗斯的数学教育状况。如果说现在对他们的学术思想、教育改革做出评判还为时过早的话，那么去了解他们观念的更新，分析他们的教材和大纲和课程标准，熟悉他们的具体操作对于我们的数学教育研究和实践无疑是十分必要的。况且，政治、经济和社会体制的变化不可避免地使与之紧密相连的教育观念、教育体系和内容都发生变革，那么这种变革是如何具体进行的，也是一个值得我们关注的问题。目前我国的数学教育改

4、革，在理论观念和具体实践上都有新的发展。我们的目标是要建立、加强和巩固具有中国特色的数学教育体系和数学教育理论，使我国的数学教育在过去以基础知识牢固为主要特点向基础知识牢固并具有创新思维的阶段过渡。而作为数学教育研究，传统的理念必须更新，数学教育研究必须创新，必须为政府提供符合国情和民情、符合时代变化的教育改革理论依据和实践模式，必须具有前瞻性。实现这样的战略任务，创新是必须的、迫切的，也是艰难的。一方面，我们需要保留自己过去，在前苏联模式的基础上做出的优秀一面。另一方面，也需要深入研究分析别国的教育体系、思想，以便了解、借鉴别国的优秀经验。无论从哪一方面讲，俄罗斯目前的情况都是我们应该深入了

5、解和研究的。8 俄罗斯数学课程的一般理念 一、俄罗斯当前数学教育状况简介苏联属于中央集权制国家，其课程模式属于统一计划、统一大纲、统一教材。而20世纪80年代以来，无论是发达国家还是发展中国家，都开始了展望21世纪，改善充实基础教育，其中位于中心的是推行国家规模的中小学课程改革。俄罗斯的数学教育也进入了现代改革时期，特别是90年代以后，1991年苏联解体，俄国的数学教育开始从行政命令和强权思想中解放出来。数学教育从体制、教材编制、教学方法和教学形式等方面呈现出多样化、个性化和人道化发展的趋势。政府于1992年7月颁布了俄罗斯联邦教育法。与过去前苏联最大的不同之处在于，教育观念、办学方针、教育管

6、理方面都有了一定的灵活度，使教育机构、教育管理者、教师和学生都有了一定的自主权。单从学校角度看，现今的俄罗斯教育出现了国立、私立、公立学校之分，学校类型趋于多样化。于是也出现了不同的教学计划和大纲，教育水平也出现了差异。同时，在俄罗斯数学教育领域也随之产生了一份担忧。众所周知，虽然苏联的集权统治使教育从体制、思想等方面在很大程度上有一定的局限性，但是苏联的数学教育在世界数学教育领域具有很高的地位，受到各国专家、学者甚至数学家的广泛关注，这一点俄国人自己是非常清楚的。因此，有很多学者（包括数学家、数学教育家和中学教师）都很忧虑，他们担心改革带来的灵活多样和个性化从形式上与过去的苏联模式截然不同，

7、如果对于改革的理解不够深刻，过于形式化就有可能导致苏联经过很多年的探索、积累和总结而形成的优秀传统因此丢失。于是，如何在改革时处理好继承和发展的关系，如何看待美国的数学教育问题，在俄罗斯引发了一场激烈的讨论，形成了数学教育中的改革派和保守派。改革派在政府官员的经济支持下，研制完成了比较激进地倾向于美国数学教育观念的数学课程标准：1993年莫斯科数学会中学组研制完成“国家数学教育标准”（讨论稿），刊登在杂志学校数学1993年第4期上。1998年出版了由俄罗斯教育科学院研制完成的联邦（国家）各科普通教育标准，其中包括数学教育标准。1998年，还出版了“莫斯科地区数学教育标准”。但是，这些数学教育标

8、准一经公开发表或出版，立即引起了社会各界的激烈反对。著名科学家（有获得过诺贝尔物理学奖的物理学家）、文学家（有获得过诺贝尔奖的文学家）、数学家（有科学院院士，莫斯科大学校长）、教育家纷纷以各种方式参加了讨论，对俄罗斯教育（包括数学教育）的前景表达了由衷的担忧。总统普金于2001年8月29日在俄罗斯联邦议会上发表讲话专门讨论俄罗斯的教育问题。普金在发言中指出，这场争论是激烈的和公开的，说明了教育问题实际上受到整个国家的关注。提到国家教育标准，他认为，研制国家教育标准不仅是政府主管部门的责任，广大的学者和教育家都应该积极参加。但是，对于由于资金匮乏而使俄罗斯的教育面临的问题，这位总统表示，应该使俄

9、罗斯的教育走向市场，充分利用教育资源本身来解决这个困难。上面提到的标准并没有在俄国实施。2002年下半年，由数学教育家（例如沙日金）、数学家（阿纳索夫院士、阿尔诺德院士、莫斯科大学校长萨朵乌尼奇院士等）、中学数学教师参加的数学国家教育标准研制组进行了紧张的工作，于2003年1月完成了初稿。3月定稿之后还要在社会各界，特别是数学教育领域进行讨论和试点。具体情况会怎样，我们时刻会关注。另外，俄罗斯的中小学学制经历了几次改革之后目前是11年制。其中前9年为普及义务教育阶段，儿童6岁入学后14年级是小学阶段，也称初等普通教育；59年级是不完全中等教育阶段，也称为基础普通教育；1011年级相当于我国的高

10、中。在俄罗斯，中小学教育称为普通教育，包括111年级的全部教育过程。世界各国一般都把普通学校分为小学、初级中学和高级中学三级，也有的分为基础学校、中等学校两级，而中等学校又分为初级中学和高级中学。尽管各种分法不尽相同，但总是把普通教育分成几个阶段，这些阶段是相对独立的，后一个阶段建立在前一个阶段的基础上，因而小学、中学也是独立设置。俄罗斯则不同，它的普通教育实施一贯制，普通学校的设置则根据地区的不同分为初等学校、不完全中学和完全中学。一般来说，只有19年级的学校称为不完全中学，设有111年级的学校称为完全中学；学制问题也在俄罗斯教育改革之例。向12年制学校过渡的问题经过研究讨论于2000年研制

11、和初步完成了基础教育中改革学制的方案，方案中包括在12年学制下数学教育的意义、目的、一般原则、内容及结构，并提出了在2005年实施12年学制的建议。关于12年学制，在俄罗斯目前还只是一个理论框架，会不会在2005年实施，还很难说。但是增加学制问题的提出从一个侧面也反映了俄罗斯基础教育中的课业负担。二、俄罗斯数学家对于数学教育的观点和对于美国数学教育的看法自古以来，在世界各个国家，数学家作为一个群体都直接参与到了国家的数学基础教育体系的改革和发展中。由于他们对于数学的深刻理解和对于数学发展的预见性有独特的见解，具有其他群体不可替代的作用。因此，数学家对于数学教育的看法和观念是了解、分析各国数学教

12、育中必须重视的一部分。俄罗斯的数学家在世界数学领域具有十分重要的地位，其雄厚的研究成果和强大的力量决定了他们在俄罗斯数学教育改革中的地位。同时，由于目前美国在全世界的霸主地位，使的它的数学教育也在世界数学教育中享有独特地位。美国的数学教育观念，特别是关于数学课程标准的理念引起了世界各国的关注。因此，俄罗斯数学家以数学家特有的敏锐和洞察力从数学的角度分析了本国传统数学教育的优势和对美国数学教育的看法。对这些问题，世界著名数学家、俄罗斯科学院院土阿尔诺德的观点就具有一定的代表性，1992年4月16日他对教育工作者开设题为“为什么我们要学习数学？关于这一点数学家是怎么想的”讲座，后经整理发表在杂志量

13、子（）1993年第一期上（pp 515）。下面摘译的一部分可以清楚地看出他对本国传统数学教育和美国数学教育的看法。在我国，最近一些年出现了数学教育的美国化。其基本原则是：只学对实际有用的东西。而如果有人认为他不需要数学，那么他就可以完全不学数学。在美国，大学预科的高年级，数学课程是选修课程。例如，三分之一的高年级学生不学代数。结果如何呢？下面用一个例子来说明。在测试中，请14岁的美国学生来进行判断（不是计算，而只是判断），从120中取出80，然后给出3种答案：1）增加了；2）还与原来一样；3）减少了。大约有30的被询问者在正确答案后打了“”。换句话说，学生在碰运气打“”，而谁也不知道结论。美国

14、教育方式的第二个特别之处是它的计算机化。计算机的增长本身并没有促进思维的发展，下面是另一个美国式测试的例子：在班上有26个学生，要组织他们进行一次乘坐汽车的旅游。在一辆汽车里可坐1名家长和4名学生，那么要请多少位家长帮忙？典型的答案是65位家长。计算机算出26：4 = 6.5。瞧！学生已经知道，如果在答案中需要整数，那么应该将十进小数的小数点进行处理，例如将它去掉。下面是一个从1992年对大学生的正式考试中选出的例子：以下的关系中，哪一种更像角和度数的关系：1）时间和小时；2）牛奶和夸脱；3）面积和平方英寸。答案：面积和平方英寸，因为度数是角的最低度量单位，平方英寸是面积的最低度量单位，而小时

15、还可以分成分钟。本题的出题者很清楚美国式的教学。我担心，我们也会落到这个水平。奇怪的是，美国有许多著名的数学家和物理学家（其实其中有许多是移民，美国大学生中最优秀的是中国人）。目前，我国的数学教育正在逐渐从欧洲体系转向美国化。和以往一样，我们迟到了，落后于欧洲约30年。因此，应该有所准备，带着实用主义、选修性和普遍计算机化的美国教育将会使我们走入死胡同。再过30年，为了从这样的死胡同中走出来，就得去挽救局面。我们传统的本国数学教育具有较高的水平，并且以算术化问题的技能为基础。20多年前在一些家庭里还保存了古代的商业习题，现在已经丢弃了。近来数学教育改革的代数化把学生变成了机器，而正是算术途径才

16、可以显示出我们所教的数学的丰富性。让我们来看一看以下例题：1有3个苹果，拿走1个，还剩几个？2需要锯几次才能将一根木头分为3个部分？3我的姐妹比兄弟多3个，那么在我们家姐妹比兄弟多多少？按照算术观念这完全是不同的题它们有不同的内容。用于解决这类问题的智力完全是不同的，虽然代数模型只有一个：3 - 1 = 2。数学中，首先让人感到惊讶的是其模型丰富的多面性及其在应用中不可思议的有效性。在枚举了大量数学发展对于社会经济、国家发展、人类进步具有重要作用的实例之后，他深刻地指出了数学教育的社会和文化功能以及数学教育改革应该持谨慎态度的原因：这种情况并不使不懂数学的人感到惊恐，因为一阶导数毕竟是正的（物

17、质财富在增长）。但是数学家知道，经常性的负导数（甚至是高阶的）最终会使一阶导数成为负的，即社会物质财富和生产的衰落，并且当显示出来时，这个变坏的过程将会加快。而由于系统的惯性，此时无论用任何方法也无法瞬时改变状态，因为任何类型的改变只能影响高阶导数的符号（对于我们的改革是三阶的甚至是四阶的）。因此，观察到的经济退化不是由不正确的新决策而是由早先在生产增长时期所犯下的错误引起的。遗憾的是，这些简单的数学知识很难向贫困中的、倾向于将一切不好的一面都归咎于改革的人民解释。任何的改革肯定会导致一些更坏的东西，甚至如果这种改革本身是正确的。制定计划通常要优化20年后（“到本世纪就够了”）的产品。数学家当

18、然清楚，这种类型的最优方案等计划到期时必将导致耗尽所有的资源（否则如果剩余的资源还可以利用，则方案就不是最优的）。幸运的是，这些方案被修改了并且没有实施，但是基本趋势仍在保留。因此，粗略地说，在改革的前夕，我们吃掉了我们所拥有的一切。尝试着去建立每天的详细的经济改革计划，就像试着建立全面的经济计划和试着为从莫斯科到圣彼得堡的汽车司机制定计划一样（在什么时刻应该向左转，什么时刻该向右转）。只有考虑到反馈回来的信息后才会达到目的，即需要的不是计划（轨道）。用数学术语说，是所在的系统空间的向量场，也就是说信赖现实所能达到的状态而采取决策的机制，不是日历上的时间。以上所说的有些内容对教育体制改革也有针

19、对性。我们的例子表明，“没有比好的理论更切合实际的了”。应该让我们的教育工作者不要追逐眼前的需要，而要永远看到社会的发展前景。8 俄罗斯的数学课程标准一、1998年正式出版的俄罗斯国家各门课程教育标准中数学课程标准实录（节选）俄罗斯学校教育标准初等普通教育，基础普通教育，中等普通教育（完全）国家普通教育标准（第二册 数学 自然科学科目 1998年） 前 言 读者注意，本书是联邦初等普通教育、基础普通教育和中等普通（完全）教育标准汇编。它是俄罗斯教育科学院中等普通教育研究所的研究人员六年的工作成果。如此规模的工作在俄罗斯还是第一次。而且，在某种意义上说，这是世界上第一个如此完整的普通教育标准汇编

20、当然有过前例，在前苏联，一般地说没有用过国家教育标准的概念，但是其角色是由统一的教学计划来完成的，这些教学计划下达到加盟共和国，是学校实际教学计划的基础。那些年的教学大纲和教学计划由于过分的理想化而有缺陷。实际上对教师的主动性、对学生按照自己的兴趣和能力学习的自由性都不利。尽管如此，还是首次在世界上实际检验了这种后来被表达成教育标准思想的想法。在其他国家使用“教育标准”或“教学标准”等术语。实际上每当提出关于教育质量问题的时候，总会涉及到它们：要知道质量，必须要求或者与样板（即标准）进行比较，或者与其他国家进行比较，这同样又需要标准。关于这一点，名称可以是各种各样的，例如，在英国就有过民族教

21、学计划的概念，1988年由议会通过。在这之前的几十年曾经进行过尖锐的斗争：要不要标准，如何具体体现它们。就在民族教学计划通过前不久，那里有一本名为不！部长的书问世，以书名表明了对待标准的态度。但是时代变了，越来越多地谈到欧洲的教育标准，酝酿相应的文件，讨论国际统一教育空间问题。在俄罗斯，由于地域广大和民族的多样性，对我们来说重要的是保留从前苏联得到的遗产统一的教育空间，但是同时还要把它提高到一个新的质量，使其适应新的经济、政治、管理条件。还有一点很重要，也是本书的重要任务之一，就是自然地，在不强迫新的独立国家自己的教育模式的同时，尝试着不要丢失那些在统一意义下前苏联教育内容中的好的东西。独联体

22、的关于这样的（普通）教育空间的协议正是以此为目标，它由独联体政府委员会签署于1997年1月17日。如果广泛讨论和出版的不但是标准的一般概念，而且要像文件草案那样出版和讨论标准本身都是可能的。经过了三个阶段的全俄国家教育标准研究的竞赛之后，本方案完成于1996年，是竞赛中的优胜者。中小学教育标准方案的研究是责任心很强的工作。曾经创建了专门的临时科研团体（），称为俄罗斯普通教育标准，编制定在俄罗斯教育科学院普通学校教育研究所（现在叫中等普通教育研究所）。组织审核和讨论了研究中的标准方案，收集和考虑了所有对方案的分析和对内容的补充意见。同时把目标定在标准的示范功能，定在实际意义，定在选择被建议的教学

23、和教学法的材料及其在学校范围内的方法的科学内容上。曾经出版过四个版本的标准，它们都是分别出版的。（出版之后）与中小学的教师、领导、教育部的工作人员进行了讨论。本方案是的研究人员研究了所有可行的建议和意见出版的。再一次指出，我们有过对教育的标准化的先例，但是将学校过渡到一个新的、教学过程的组织更自由的形式，许多学校章程的改变，引进新的教学计划使学校更自由地选择教学科目和最新的学习范围，选择教学大纲，采用选择的教科书，教师在教学材料的内容和教学方法的自由性，分水平和划分教学，创立新的教学技术等等所有这些都要求关注保持统一的基础教育空间，关注使中小学生在课程的学习中获得必要的基础知识，特别是在学习教

24、学计划的联邦部分的课程时。因此，为了在基本普通教育大纲内容中，对不同年龄的孩子们确立充分的基础知识，为了教学工作量的充分利用，为了确立对掌握基础普通教学大纲的毕业生基础知识的要求，就提出了关于教育标准的问题。中学教育标准的方针是建立俄罗斯联邦统一的教育空间，不仅要在地理意义上，而且保证使所有公民在任何合法的教育机构中获得完全教育的各种可能性。国家教育标准使每一个公民实现受教育的权利，保证俄罗斯的全民教育质量不低于国际水准，这里是指在国际计分中，用与占据领先地位的国家教育标准建立恒定比值的途径。就像已经指出过的，关于标准的工作不是一时的活动，它的过程不能一次完成。这里说的不仅是标准的周期性革新的

25、立法要求。虽然数据的名称是各种各样，科学信息的急速增长在继续。可以理解，科学中出现的新东西不可能是简单的机械的补充，甚至在严格选择的条件下，问题永远都不是用汇总的方法组成的，而是上升到一个新的高度。我们关于标准和评价尺度的概念是在不断的变化（顺便说一下，这一点是正在出版的这个标准的重要成分）。因此，可以说，工作将继续进行下去。作者将衷心感谢任何积极的意见，并且希望特别注意其积极性。再一次回来时，就已经是决定了的和实现了的事。当然，随时都可以进行学术讨论。但是，我们别忘了，正在很快变化中的一代代中学生将要掌握知识、本领、技能和各种关系，他们将向前发展，也许并不是根据最新的科学知识那样。作者的目的

26、是为了使很多学校、大纲、教科书成为“好的和各种各样的”，为了教师不受拘束，而是自由的和积极创造的，为了使学生拥有同样的自由。但是近期的经验表明，我们的教育现实发展的积极的一面将可能会化为乌有，任何情况下，都可能因为缺乏协调的、有内容的基础而很痛苦。让我们一起去寻找，没有别的出路。数 学 1一般理念11 作为教育领域的数学，数学的教育目的中小学数学教学的内容和在中小学其他科目体系中的地位是由数学科学在创立和发展人类文明中的重要性，个人的数学活动在形成他的理性世界和情感世界中的作用，在日常生活中获得知识的重要性，为了学习其他相邻科目、人文系统科目的必要性决定的。因此自然地形成了数学教育目的的两个方

27、面：实际的和精神的。实际的一面与创立和应用人的富有成效的活动中所必须的工具相联系；精神的一面与人的思维相联系，与掌握确定的认识和改造世界的方法数学方法相联系。数学的实际益处是以下列几点为条件的：现实世界的基本组成是它的对象，空间形式和数量关系，从最简单的由人的直接经验所掌握的，到比较复杂的为了发展科学和技术所必须的。没有具体的数学知识很难理解建立和应用现代技术的原则，领会科学知识，认识和解释各种社会、经济、政治信息。每一个人在他的日常实际活动中必须要完成比较复杂的计算，运用大家通常使用的计算技术，会在手册中查找和应用需要的公式，应用实际的几何学和几何测量方法，读取以数表、图表和图像形式给出的信

28、息，理解随机事件的概率性质，组成不太复杂的算法等等。没有基本的数学水平就不可能确立现代人的教育，中小学数学是学习其他相关科目的基础科目。在我们的时代，中学毕业之后，要求有充分的基本的义务教育基础的（包括数学）继续教育就成为实际的必要。还有更多的要求有高水平教育的与不断应用数学的专家（物理、化学、技术、信息学、生物学、心理学、商业活动、金融和其他）。所以中学生的圈子扩大了，数学对他们成为具有职业意义的重要科目。以上所说的首先是与数学教学的一般科学和实用主义观点相联系，同时正在形成的一种观点是，在成长中的人的培养中，作为教学科目的数学，其潜能对于中小学教育体系具有决定性的意义。因此，中学数学课程的

29、地位是很特别的。它建立在数学方法的特殊性的基础上，建立在数学科学的很高的人文潜能的基础上，同样地，也给予作为一般教学科目的数学教学人文科学定向的可能性和这个科目在人的思维发展中的倾向性。正是课程在人文科学方面的倾向性在很大程度上决定着数学教学在普通教育学校的现代目的，在这些普通教育学校中，学生的思维发展具有基本的和优先的意义。在数学活动过程中，归纳和演绎、概括和具体化、分析和综合、分类和系统化、抽象、类比都以自然的方式列入到人类思维方式和方法库中，数学推理和它们的构造规则的对象揭示了逻辑学说的机械性，训练出建立、论证和证明判断的能力。因此发展了人的逻辑思维。在算法思维的形成中，在给出和构造新的

30、算式进行运作能力的培养中，数学是起主导作用的。在数学课上的基本教学活动解题过程中，思维创造的一面和应用的一面都向前发展了。数学的应用和自然的一些数学语言给了学生发展认识精确、精练和信息语言的机会，给了学生形成表达思维能力的机会，为此，同时还要选择更合适的语言方式（包括图表的和符号的）。中小学生对作为确定的世界观方法的认识，对数学与现实辩证关系的理解的形成，对关于数学方法和课程的概念，对它与自然和人文科学方法的区别，对关于数学的模型都为成长中的人的全面培养作出了自己的贡献。当对美的和优雅的数学推理的认识形成时，当帮助认识几何形状、掌握对称的思想时，学习数学能促进人的美学素养。数学课能发展空间想像

31、能力。数学知识发展的历史是以思想的戏剧性和鲜明的个性而丰富的，给中小学生充实积累科学史知识的机会，使他们形成了关于数学是全部人类文化一部分的观念。认识数学科学产生和发展中基本的里程碑，认识伟大发明的机缘和创造了科学的人的名字是每一个有文化人的理性知识不可分割的一部分。数学基础知识在现代人的普通教育中的作用确定了中小学数学教学的以下目的：掌握具体的在实际生活中、与学习其他邻接科目和继续教育必须的数学知识；学生智力的发展，数学活动所特有的和人在社会中为了胜任工作而必须的思维能力的形成；建立数学思想和方法的观念，建立作为现实的认识方法和描述形式的数学的观念；建立数学作为一般人类文化一部分的观念，理解

32、数学对于社会进步的意义。12 中小学数学教学计划数学课程的普通教育在11年制中是从一年级开始的。在每一个教学阶段小学、初中和高中，都具有自己优先的任务并且要在各年级之间保证建立必要的衔接。小学数学课程的任务（略）。初中数学课程的任务（略）。高中数学课程的任务：扩充函数的一般知识并使之系统化；扩充和完善在初中所形成的数学工具（式、方程、不等式，包括新形式的函数的计算）；认识作为研究函数工具的微分和积分计算的基本知识，解决应用问题；学习空间物体的性质，培养应用这些性质解决实际问题的能力；丰富和加深数学作为人类文化的组成部分、在实际和科学知识中应用的观念（认清数学概念、理论、方法的多样性和将它们应用

33、到人类活动的各个领域的实例）。我们所呈现的数学教育标准与过渡的教学计划相适应，在被这个计划所确定的学习数学的时间范围内具有实现的可能性。在高中，标准的实现相对于10年级和11年级以每周4.5和4学时为目标。同时，在标准中提出的对必要的基础知识水平的要求，考虑了他们在最少的周学时内（10和11年级按每周3学时）所能完成的可能性，这里所指的最少是指按照基础教学计划在一些具有专业知识特色的学校能够实现的周学时，例如，在具有文科特色的学校。13 数学课程的内容体系现行学校的数学课程的内容围绕着几个核心部分分类：数和计算，式和式的变换，方程，函数，几何图形、几何量的度量。这个组成反映了教授数学的长期经验

34、它事实上与现实充分相符。只有随机部分是个例外，它与概率论和数理统计相联系，并且在已经变化的和正在日新月异变化着的现代社会的条件中成为非常迫切的部分。它被体现在世界数学教育体系中，并且在近期内就应该进入到我们的中小学数学课程中。以一般教育的观点来看，从所列出课程的基础系列中，集中了数学知识的数、函数和几何系列是中心，也是现代社会每一个人应该掌握的，是必须的。首先，在日常生活中，需要解决产生在实际中的计算任务，需要在周围空间定向，需要在社会和周围环境中进行基本的交流。数学科学本身的性质确定着两个其余内容（式和式的变换、方程）被中学生所掌握的必要性，它以形成数学工具为方针，没有它就不能研究数学内部

35、的问题，就不能解决实际问题和应用性质的问题。下面将全部课程系列中所列出的、具有丰富内容的每一个按照教学阶段的发展展开。数和计算（小学和初中部分略） 在高中阶段计算技能进一步引进新的运算，进一步加深代数值、指数、对数、和三角式的计算。式和式的变换（小学和初中部分略） 在高中阶段将与无理式、指数式有关系的对数式和三角式的材料集中起来。方程（小学略） 在初中引进带变量的等式和不等式的基本概念和术语，其核心是掌握基本形式的有理方程、不等式、方程组、不等式组的算法。在高中教学阶段，由于引进新的函数形式，所研究的方程类别扩大了，发展了解方程、不等式、方程组、不等式组的一般解法的概念。函数（小学和初中部分略

36、 在高中年级，函数系列的发展在下列观念下进行：研究函数的新性质（周期性、极大值和极小值点的存在）；学习新的函数类型三角、指数、对数函数；引进在解答各种与研究函数、物理等习题中广泛应用的导数、原函数、积分的概念。几何图形、几何量的度量（小学和初中部分略） 在高中教学阶段扩充平面几何学的知识，但还是将基本的注意力放到了研究空间图形和物体上，放到了空间中的几何量和关系的研究上。对于在普通教育学校的新的随机（概率统计）系列，它也应该是在近期进入到数学课程中，可以以自然的方式将它的内容分成三个方向：其中之一，在某种程度上应该出现在中小学的所有阶段：统计领域的基础知识目的是为解概率习题，为学生逻辑的发展

37、为确定实际地熟悉数学活动的重要形式创造工具；形成与方法、概念、分析、和数据的解释相联系的能力；形成随机事件概率的观念和解概率习题的能力。这个系列的材料在本标准方案中没有反映。14 标准的结构数学标准确定了教育内容的必要的基础知识和对中学生的数学基础知识分教学阶段的总要求：小学（14年级），初中（59年级），高中（1011年级）。这个材料体现于文献的以下两个中心部分（部分2和3）。部分2（教育内容的必要的基础知识）给出了在中小学学习必须的问题清单。其内容按照上面内容系列划分，这个内容系列从总体上占据了中小学数学课程的核心：数和计算，式和式的变换，方程，函数，几何图形和几何量的度量。所指出的这些

38、系列是相通的，但不是所有的都可以清楚地分到每一个阶段：如果某一个系列的材料具有初步的和从属的特点，那么在这个阶段它就属于内容连续相关的系列。部分3（对学生数学基础知识的要求）与部分2的结构相适应，其中对于所指出的内容系列按照不同教学阶段提出总的要求体系。对中小学学生的数学基础知识的要求提出两个水平。第一个确定了学校有义务提供给学生可以掌握的数学课程的机会。这种情况体现了学习普通教育的学生愿意并且能够努力达到的程度。他的成绩应该由教科书的内容和相应教学质量来保障。给学习顺利的学生提供所希望的基础知识的同时还要给出对提高内容水平的必须的要求。第二个是必须的基础知识水平，它体现的应该是所有的学生都能

39、够达到的必须的基础知识，并且给定数学教育结果所允许的下界。必须的基础知识的水平用标准题型的范例具体化了，这可以帮助那些与教学过程有联系的所有人准确地理解它，并且能够连续地检验他的成绩。我们注意到，在大纲和教科书的主要内容保持不变，而细节发生比较重要变化的情况下，中小学数学教育标准在各种组织形式中能够达到。在保证一定的统一的基础知识的同时，标准允许建立灵活的教学大纲，引导分阶段教学，展示学生可能的范围。在部分4（完成教育标准的评价）中，研究确定检查中小学生数学基础知识内容的途径和在引进标准的条件下它的组织形式。在这一部分的附录中附上各种类型检验工作的范例。2教学内容中必修的基础知识（高中部分）式

40、及其变换数值变量的正弦、余弦和正切及其性质。三角函数基本值表，化简公式，基本三角恒等式。和的公式及其推论，三角式的恒等变换。n次方根和有理指数幂，它们的性质。无理指数幂的概念，含方根和幂的式子的恒等变换。对数及其性质。 方 程三角方程、无理方程、指数方程和对数方程。指数不等式和对数不等式，区间法解不等式。 函 数 数值函数及其性质，数值变量的正弦、余弦、正切。三角函数的周期性，三角函数的图像。指数和对数函数，幂函数，它们的性质和图像。导数，它的几何和力学意义。初等函数的导数表。两个函数和、积和商的导数。y = f(kx + b)型函数的导数。增函数和减函数的特征。函数的极值。原函数，原函数表。

41、求原函数的简单法则。积分的定义。定积分的几何意义，牛顿莱布尼茨公式。 几何图形、几何量的度量 空间的点、线、面。直线的相交、平行、异面。直线与平面的平行性，直线与平面平行的性质。直线垂直于平面。平面的垂线和斜线，三垂线定理。平面间的平行和垂直，平行平面间平行线段的相等。两个平行平面与第三个平面交线的平行性。二面角。棱柱，它的基本组成。直棱柱、正棱柱。平行六面体。棱锥，它的基本组成。正棱锥。正圆柱，它的基本组成。圆柱的轴截面。正圆锥，它的基本组成，圆锥的轴截面，平行于圆锥底面的截面。球和球体，球的截面，球切面。直线和直线所成的角，直线和平面所成的角。二面角的平面角。点到平面的距离。平面与平面间的

42、距离。长方体、直棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球的体积。圆锥、圆柱的侧面积、球的表面积。棱柱和棱锥的表面积。3对学生数学基础知识的要求（高中部分）式及变换 学习大纲中所规定的材料使学生：拓广开方和乘方运算的概念，全面、熟练掌握任意变量的正弦、余弦、正切和对数的概念。掌握对数、方根、幂的性质，并且学会充分广泛的三角公式系统，全面、熟练掌握它们在恒等变换应用中技巧的发展，完善有理式的变换技能。加深和明确恒等式和式的恒等变换的理论知识。在解题中学会使用备查的材料来查找所需的公式。学会使用关于根式、幂、对数、三角式的公式来进行相应的计算。学会将一些字母变换成另一些字母表示的变换公式。学生必须：在定义的基础

43、上，求出不复杂情况下的方根、幂、对数、三角式的值。在一般情况下借助计算技巧及表格求近似值。在运用已建立的与幂、对数、三角函数有联系的一系列公式时，能完成不太复杂的变换式（允许使用备查的材料）。完成下列题型的能力是必须的：不用计算器计算（111题）：1；2；34；4()-；5log39；6log1；7log2 0.5；81g0.01；9sin2 ；10cos(-p)；11tanp。查表或利用计算器计算，精确到0.01（1217题）：12；137；141g 25；151g 0.003；16sin2.1；17tan 0.3。计算下列各式的值（1825题）：18；19；203-32.5；21-；228

44、23log63 + log62；241g 200lg2；252log36 - log34。利用化简公式和三角函数值表计算（2629题）：26sin；27cos；28tan；29cot(-)。将因子从根式下移出来（3032题）：30；31；32。将下列各式表成 的形式（3336题）：332；34；356；365-。化简各式（3741题）：37；38(x + 2)-(x + 2)3；39log2 x + log25x - log25；40sin(p - x) + cos( + x)；41tan(p + x)cos(p - x)。证明等式的正确性：(sin x + cos x)2 = 1 + si

45、n 2x。方 程学习大纲中所规定的材料使学生：全面、熟练掌握解方程和不等式的一般方法（因式分解、置换、函数性质的应用等）；全面、熟练掌握解方程、不等式，包括方根、幂、对数、绝对值、三角函数的方程组的解题技能。全面、熟练掌握用区间法解不等式。掌握解方程、不等式、带参数的方程组的解题格式。将几何观念用于解决和分析方程、不等式、方程组。建立用逼近法解方程的概念，熟练掌握其中最简单的内容。学生必须：会解最简单的无理、指数、对数和三角方程；会解最简单的指数和对数不等式；利用区间法求解不复杂的有理不等式；形成用图式法求解方程和不等式的观念。完成以下题型的能力是必须的：1图1是函数y = 2x和y = -4

46、x + 1的图像。解不等式2x-4x + 1。yx1p2y = sin x3p2-pp2p3p2y = x2yx1114y = -4x + 12图2是函数y = sin x和y = x2的图像。求出下列方程的近似正根：sin x = x2。3图3是函数cos x和y = x2的图像。确定方程 = x2有多少根。yx1p2y = cos x3p2-pp2p3p2y = x24在下列方程中选出具有无穷解集的方程：3x + 1 = 4；x2 - 8x + 1 = 0；2x = 16；()x = x；cos x = 。5在下列方程中选出具有惟一解的方程：sin x = ；tan 2x = -1；log

47、 x = -2；10x = 0.1。6下列各数-1，0，1，2，4，8中哪些是方程log2x = x - 2的根？7下列各数-3，0，1，2中哪些是方程2x = x + 2的根？解方程（814题）：823x - 1 = ；93 = 1；10logl6 x = 2；11log(x + 2) = 1；12Log2(2x - x2) = 0；13log3(x - 1) = log3(2x + 1)；14= x。解不等式（1520题）：152x16；16()x 27；175x + 2 ；18log3 xlog35；191og0.4 x 0。解方程并指出哪些方程具有两个根（2123题）：21sin x = ；22Cos x = - ；23Tan 2x = 0。利用区间法解不等式（2425题）：240；25 0。 函 数学习大纲所规定的材料使学生：系统化和发展以下知识：作为重要数学模型的函数、解题方法和数值函