1、哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学试题（理科）考试时间：120分钟 满分：150分第卷（选择题 共60分）一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，那么集合A B C D 2已知不共线的向量，则A B C D3等差数列中，则这个数列的前13项和为A13 B26 C52 D1564右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是A B C D 5将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于点对称，则的最小值是A B1 C D 26设，则 A B1 C3 D -17设是由正数组成的等比数
2、列，为其前项和，已知，则A B C D 8定义在上的奇函数满足且，则A-2 B0 C2 D4 9已知函数命题，则A是真命题， B是真命题， C是假命题， D是假命题， 10已知函数的值域为，则实数的取值范围是A B C D 11在中，角的对边分别是，若，则的形状是A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰或直角三角形 12已知函数，若，且对任意恒成立，则的最大值为A3 B4 C5 D6 第卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13等差数列中，则 14设为锐角，若则 15已知向量，在轴上存在一点使有最小值，则点的坐标是 16在平面直角坐标系中，使角的
3、顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合已知点是角终边上一点，定义对于下列说法：函数的值域是； 函数的图象关于原点对称；函数的图象关于直线对称； 函数是周期函数，其最小正周期为；函数的单调递减区间是其中正确的是 （填上所有正确命题的序号） 三、解答题（本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17（本题满分12分）已知数列的前项和为，且.（）求证：是等差数列；（）设，求数列的前项和.18（本题满分12分）已知向量函数（）求函数的图象的对称中心和单调递增区间；（）在中，角的对边分别是，且且，求的值19（本题满分12分）四棱锥P-ABCD中，直角梯形ABCD中，ADC
4、D，ABCD，APD=60，PA=CD=2PD=2AB=2，且平面PDA平面ABCD，E为PC的中点（）求证：PD平面ABCD；（）求直线PD与平面BDE所成角的大小20（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点（）求证：C1DD1E；（）在棱AA1上是否存在一点M，使得BM平面AD1E ? 若存在，求的值；若不存在，说明理由；（）若二面角B1-AE-D1的大小为90，求AD的长21（本题满分12分）设函数，其中（）当时，求曲线在原点处的切线方程；（）试讨论函数极值点的个数；（）求证：对任意的，不等式恒成立 请从下面所给的22 , 23 ,24
5、三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.22(本题满分10分）选修41：几何证明选讲 已知AB是半圆O的直径，AB=4，点C是半圆O上一点，过C作半圆O的切线CD，过点A作ADCD于D，交半圆于E，DE=1（）求证：AC平分BAD；（）求BC的长23(本题满分10分）选修44：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为（）求C的参数方程；（）设点D在C上，C在D处的切线与直线垂直，根据（）中的参数方程，确定点D的坐标24（本题满分10分）选修45：不等式选讲（）已知不等式的解集是，求实数的值；（）已知实数满足，求的最大
6、值哈师大附中2015-2016学年度高三上学期期中考试数学（理科）答案1-6：BABADC 7-12：BAACDB13、 6 14、 15、（3，0） 16、 17（1）当时，由，得 ，相减得： 当时， ， ，又 是首项为1，公差为1的等差数列. 6（2），则= 12 18、解：（1） 2令，对称中心为4令，增区间： 6（2）， 8，且， 1219、解：（1），又平面，平面平面，平面平面，平面 6（2），以分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，则，令，设直线与平面所成的角为，直线与平面所成的角为 1220方法一：证明：（1）连D1C，长方体中，EC平面DCC1D1，ECD
7、C1AB=AA1，正方形DCC1D1中，D1CDC1又ECD1C=C，DC1平面ECD1D1E面ECD1，C1DD1E 4解：（2）存在点M为AA1中点，使得BM平面AD1E证明：取A1D1中点N，连BM，MN，NB E为BC中点，ND1 BE四边形BED1N是平行四边形，BND1E又BN平面AD1E，D1E平面AD1EBN平面AD1EMN AD1，MN平面AD1E，AD1平面AD1EMN平面AD1EBNMN=N，平面BMN平面AD1EBM平面BMN，BM平面AD1E此时， 8方法二：证明：（1）以D为原点，如图建立空间直角坐标系D-xyz，设AD=a，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B
8、a,1,0)，B1(a,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E(,1,0)， ，C1DD1E4解：（2）设，则，设平面AD1E的法向量 ，则， 平面AD1E的一个法向量 BM平面AD1E， ，即，即在存在AA1上点M，使得BM平面AD1E，此时8解：（3）设平面B1AE的法向量 ，则，平面B1AE的一个法向量 二面角B1-AE-D1的大小为90， ， a0，a=2，即AD=2 12 21解：（1）当时，则， 曲线在原点处的切线方程为 2（），令当时，所以，则，所以在上为增函数，所以无极值点；当时，所以，则，所以在上为增函数，所以无极值点；当时，令，则，当时，此时有个极值点；当时
9、此时有个极值点；综上：当时，无极值点；当时，有个极值点；当时，有个极值点； 8 （）对于函数，令函数则，所以函数在上单调递增，又时，恒有即恒成立.取，则有恒成立，即不等式恒成立. 1222.解：(1)连接OC, 因为OA=OC,所以OAC=OCA因为CD为半圆O的切线,所以OCCD,因为ADCD,所以OCAD,所以OCA=CAD,OAC=CAD,所以AC平分BAD 5分 (2) 连接CE,有(1)知OAC=CAD,所以BC=CE.因A,B,C,D四点共圆,故ABC=CED,因为AB是半圆O的直径, 所以ACB是直角,RtCDE相似于RtACB,DE:CE=CB:AB,BC=2. 10分23. 解 (I)半圆C的普通方程为; 2分 半圆C的参数方程为 5分(II)设点D对应的参数为,则点D的坐标为且 由(1)可知半圆C的圆心是C(0,1), 因半圆C在D处的切线与直线垂直,故直线DC的斜率与直线的斜率相等, 8分 所以点D的坐标为 10分24.解 (I)由的解集是得(II)由柯西不等式得 当且仅当即,亦即时()
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