1、5.6 三角函数的图像及性质三角函数的图像及性质5.6.25.6.2余弦函数的图像和性质余弦函数的图像和性质 一、表达式：一、表达式：1、形如：、形如：y=cosx 的函数叫余弦函数的函数叫余弦函数.其中其中x是自变量是自变量.当当x是是角度制时可取一切角度，当角度制时可取一切角度，当x代表弧度制是可取一切实数，代表弧度制是可取一切实数，x R二、余弦函数的图像及画法：二、余弦函数的图像及画法：1、因为、因为cos(+2k)=cos,所以所以 y=cosx 是周期函数，是周期函数，且周期是且周期是2。2、只需要作出【、只需要作出【0，2】上的图像，然后根据周期性，】上的图像，然后根据周期性，扩
2、展到一切实数扩展到一切实数R范围。范围。3、作函数图像的步骤：在函数定义域内、作函数图像的步骤：在函数定义域内:（代数作图法）（代数作图法）书书P128 列表（算值）列表（算值）描点（建立坐标系）描点（建立坐标系）连连线线4、作余弦函数、作余弦函数y=cosx在在x【0 ,2】上】上的图象的图象xyy=cosx,x 0,2 o-11列表列表 x02y=cosx10.870.50-0.5-0.87-1-0.87-0.500.50.871描点描点连线连线如何在精确度要求不太高时在精确度要求不太高时作出余弦函数的图象？yxo1-1五点法五点法 观察发现：余弦函数观察发现：余弦函数 y=cosx在在0
3、2的图像上的图像上有有“五五”个重要的点，它是就是确定图像基本形状的关键点。个重要的点，它是就是确定图像基本形状的关键点。（0，1）（，0）（，-1）（，0）（2，1）例：用例：用“五点法五点法”作函数图像：作函数图像：1利用利用“五点法五点法”作函数作函数y=-cosx在【在【0,2】上的图像】上的图像OXy.解：列表列表 x 0 2 cosx 1 0 -1 0 1y=-cosx -1 0 1 0 -1描点描点2.1-1 请观察：请观察：y=cosx与与y=-cosx图像的区别与联系？图像的区别与联系？连线连线y=-cosx 的图像的图像y=cosx 的图像的图像y=cosx x0,2y=
4、cosx xR利用y=cosx 的周期为 将 y=cosx 图象向左或向右平移利用图象平移利用图象平移xy1-1y=1y=-1思考思考:观察余弦函数的图像，可得到哪些重要性质？观察余弦函数的图像，可得到哪些重要性质？-由由 知余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移知余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移 各单位长度而得到各单位长度而得到xy01-1想一想想一想:余弦函数又有什么样的性质呢？余弦函数又有什么样的性质呢？四、余弦函数的性质四、余弦函数的性质 y=cosx (x R)1、定义域、定义域：X R（或一切角）（或一切角）2、值、值 域：域：y-1,1（有界性）即有界性）即|cosx|1，
5、或，或-1 y 1其中：其中：当当x=(k z)时，时，y有最大值，有最大值，ymax =1当当x=(k z)时，时，y有最小值，有最小值，ymin =-13、周期性、周期性：y=cosx 是周期为是周期为2的周期函数的周期函数4、奇偶性：、奇偶性：是偶函数，是偶函数，y=cosx 的图像关于的图像关于y轴对称轴对称.或或cos（）cos，yxo-1234-2-31例题：例题：(根据函数的性质解题）根据函数的性质解题）1、已知：、已知：2cosx=a-4，求，求a的取值范围。的取值范围。解：根据正弦函数解：根据正弦函数y=cosx的有界性：的有界性：所以所以|a-4|2即即，-2 a-4 2解
6、得解得 2 a 6故故a的取值范围的取值范围a 2,6 2、求使函数、求使函数y=cos2x取得最大值的的集合，并指出最大值是多少？取得最大值的的集合，并指出最大值是多少？解：根据正弦函数解：根据正弦函数y=cosx的最大是的最大是1 ,设设 u=2x 则y=cos2x 化为化为 y=cos u因为因为|cosx|1即当即当u=时时(kz)，ymax=1即即 u=2x=解之解之x=(kz)所以集合所以集合x|x=,kz 函数函数y=cos2x取得最大值是取得最大值是1,|2cosx|2四、余弦函数的性质四、余弦函数的性质 y=cosx (x R)5、单调性：、单调性：在每一个区间【在每一个区间
7、k R）上都是增函数）上都是增函数在每一个区间在每一个区间【】（k R）上都是增减数）上都是增减数函数值函数值y由由-1（最小）（最小）增大到增大到 1（最大）（最大）函数值函数值y由由 1（最大）减小到（最大）减小到-1（最小）（最小）yxo-1234-2-31注意：注意：yxo-1234-2-31三、余弦弦函数的性质三、余弦弦函数的性质1 定义域:_2 值域：当x=_ 时，y 取到最大值_ 当x=_ 时，y 取到最小值_ 3 奇偶性：图像关于_ 对称，故为_函数4 周期：_5 单调性：单调增区间_ 单调减区间_6 对称轴：_xyo-1234-2-31练一练练一练:练一练练一练:y
8、xo-1234-2-31例1 利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小 (1)sin()与sin()又 y=sinx 在 上是增函数 sin()sin()(2)cos()与 cos()解：解：解：解：从而cos()=cos =cos cos()=cos =cos 又 y=cosx 在 上是减函数cos cos 即：cos cos 0 cos()cos()例例2 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量最小值时自变量x的集合的集合（2）令u=2x，使函数y=-3sinz，zR例3 求函数 的单调递增区间。解：令 ，函数 的单调递增区间是由 得设所以故此函数的单调递增区间是例5 达标检测1、比较大小 2、求使下列函数取得最大值的自变量的集合，并说出最大值是什么？（1）（2）3、求函数 的定义域 4、作业作业:练习册练习册 P128-140 教科书教科书 P136-137P136-137
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