正交多项式的性质及在科学计算中的应用.doc

1、正交多项式的性质及在科学计算中的应用摘要正交多项式是满足一定条件的多项式族。正交多项式是数学研究领域热点之一。许多数学理论的突破，如Bieberbach猜想的证明，数据拟合，数学物理、工程技术和函数逼近等领域的理论研究，都依赖于或应用了正交多项式的重要成果。现正交多项式被广泛应用于数学物理，工程技术，科学计算，回归分析，概率分布等领域。因此，对于正交多项式的研究具有重要的意义和价值。本文首先给出了正交多项式的定义，其次对勒让德（Legendre）多项式、切比雪夫（Chebyshev）多项式、拉盖尔(Laguerre)多项式、艾尔米特（Hermite）多项式的性质进行了探讨并对部分性质进行了证明

2、最后对正交多项式在数据拟合，最佳平方逼近以及在概率分析中的应用进行了讨论。关键词：正交多项式 勒让德（Legendre）多项式 切比雪夫（Chebyshev）多项式 拉盖尔(Laguerre)多项式 艾尔米特（Hermite）多项式 数据拟合 最佳平方逼近 概率分析IThe Character of Orthogonal Plynomial and its Application in Scientific ComputationAbstract Orthogonal polynomial is a polynomial that satisfies some conditions.Orth

3、ogonal polynomial is one of the hotspot in the field of mathematical research.Many mathematical theory, such as proof of the conjecture of Bieberbach, data fitting, mathematical physics, theory of engineering technology and function approximation are depends on the important achievements in the fiel

4、d or the application of orthogonal polynomials.Now the orthogonal polynomial is widely used in mathematical physics, engineering, scientific computing, regression analysis, probability distribution etc.Therefore, research orthogonal polynomials having great significance and value. Firstly, this pape

5、r gives the definition of orthogonal polynomials,.Moreover, it discusses on the Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial and proves some properties .Lastly, the orthogonal polynomial in data fitting, the best square approach and application in probability

6、 are discussed in this paper.Keywords: orthogonal polynomial, Legendre polynomials, Chebyshev polynomials, Laguerre polynomials, Hermite polynomial,data fitting,The best square approximation, probabilistic analysisII目录前言1第1章 正交多项式21.1 积分型正交多项式的定义和性质：21.2 正交多项式的构造：31.2.1 生成的集合31.2.2 施密特正交化31.3 正交多项式的

7、性质：4第2章 常用的正交多项式62.1 勒让德（Legendre）多项式62.1.1 首项系数62.1.2 性质72.1.3 Legendre微分方程82.2 切比雪夫（Chebyshev）多项式92.2.1 第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式92.2.2 第二类切比雪夫（Chebyshev）多项式132.3 拉盖尔(Laguerre)多项式142.3.1 定义：142.3.2 拉盖尔多项式的性质142.3.3 拉盖尔微分方程152.4 艾尔米特（Hermite）多项式152.4.1 定义152.4.2 性质152.4.3 Hermite微分方程16第3章 正交多项式在科学计算中的应

8、用173.1 正交多项式在数据拟合中的应用173.1.1 正交多项式最小二乘法拟合原理17III3.2 正交多项式在最佳平方逼近中的应用233.2.1 最佳平方逼近233.2.2 正交多项式的最佳平方逼近253.2.3 最佳平方逼近的MATLAB实现283.3 正交多项式在概率分析中的应用293.3.1 矩与概率分布的关系293.3.2 极限状态函数的矩293.3.3 极限状态函数的概率密度函数的正交多项式逼近303.3.4 计算失效概率31参考文献34IV前言正交多项式在国家数学研究中是一个非常活跃的领域，它与数学、物理以及其它科学领域都有着密切联系。许多科学理论山的突破都应用了正交多项式的

9、重要成果。这些正交多项式是当今数学研究中许多重要工作的有力支柱。另外在数学物理和工程技术的应用中常常遇到特殊函数，如勒让德、厄米尔、拉盖尔、切比雪夫等多项式，它们都满足正交关系。这些正交多项式不仅在应用方面，而且在理论研究上也有重要的作用。随着计算机的发展与普及，在科学研究与工程设计诸方面，以及科学实验之后，科学计算显得越来越重要。“计算”本身是一个古老又现代的话题。在电子计算机出现以前，人们为了“计算”而创造了许多工具。例如算盘，近代又研制了机械计算机。而早于这些计算机的出现，数值方法就已经出现了。几百年来，Newton，Gauss，Euler，Lagrange和Chebyshev等数学大师

10、为其做出了杰出贡献，尽管冠以这些数学家名字的许多理论与方法是后人逐步完善的。所以，任何关于科学计算的文章想摆脱他们是不可能的。因此，本文中仍研究了这些以名字命名的多项式。本文分为三章。第一章正交多项式，从整体上介绍正交多项式的性质。第二章主要介绍了四种常见的正交多项式。主要介绍了勒让德多项式，切比雪夫多项式，拉盖尔多项式以及额额米特多项式的性质，并对部分性质给出了证明。第三章主要介绍了正交多项式在科学计算中的应用，主要介绍了在数据拟合中的应用，在最佳平方逼近中的应用以及在概率分析中的应用。第1章 正交多项式1.1 积分型正交多项式的定义和性质：若为上的权函数，且 （1-1-1）则称与在上带权正

11、交。设在给定函数族且满足 （1-1-2）则称函数族为上带权的正交函数族。特别地，当时，则称该函数系为标准正交函数族。 例如，三角函数族 为上的正交函数族。 ，其他内积=0.定义： 设是上首项系数的次多项式，为上的权函数，若多项式序列，满足正交性（1-2），则称为以为权函数的上的正交多项式序列，称为以为权函数的上的次正交多项式。 只要给定上的权函数，由利用逐个正交化可得正交多项式序列： （1-1-3）1.2 正交多项式的构造：1.2.1 生成的集合 定义：设为中线性无关组，称集合 为由生成的集合。结论：（1） （2） 是的特例。1.2.2、施密特正交化定理：（1） 设；（2） 是权函数，则由基可

12、构造以为权函数的正交多项式组使得为首项（即项）系数是1的次多项式，即 （1-2-1）其中系数证明： 用递推法证明 （1）、令 (2）、构造且选取使 （正交性），即选取 （3）、设已构造，且满足： （a）是首项系数为1的次多项式； （b）,当由及组合构造，选择系数使，即于是为具有权函数的正交多项式组，即。1.3 正交多项式的性质：性质1、是具有最高次项系数为1的次多项式。性质2、任何次多项式均可表示为的线性组合。性质3、当时，且与任何一次数小于的多项式正交。性质4、成立递推关系 其中： （1-3-1） （1-3-2） 对区间为及权函数，求由正交化得到的正交多项式。解： 第2章 常用的正交多项式2

13、1、勒让德（Legendre）多项式定义 次多项式称为多项式，且有 （2-1-1）2.1.1 首项系数 的首项系数，若，则有 事实上， = 则 2.1.2 性质性质1 正交性 （2-1-2）证明： 当时，不妨做次分部积分 = 当时， 性质2 奇偶性 性质3 在内部有个互异的实零点。性质4 递推关系 （2-1-3） 可得 性质5 在所有最高项系数为1的次多项式中，勒让德多项式在上与零的平方误差最小。证：设是任意一个最高项系数为1的多项式，可表示为 于是 证毕。2.1.3 Legendre微分方程 2.2、切比雪夫（）多项式2.2.1、第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式（1）定义：当区间

14、为权函数时，由序列正交化得到的正交多项式就是第一类切比雪夫（Chebyshev）多项式。它可表示为 （2-2-1）若令当在上变化时，对应的在上变化，其可改写成 具体表达式为 是首项系数为的次多项式。（2） 性质 性质1 递推关系 这主要由三角恒等式 令，既得。性质2 对零的偏差最小。即在区间上所有最高项系数为1的一切次多项式中，与零的偏差最小，其偏差为证：由于 且点 是的切比雪夫交错点，区间上在中最佳逼近多项式为即是与零的偏差最小的多项式。证毕。性质3 的首项的系数为 性质4 在上有个不同的点 轮流取得最大值1和最小值-1，称为交错点组。定理： 设是首项系数为1的切比雪夫多项式，则 （2-2-

15、2）且 定理表明在所有首项系数为1的次多项式集合中，所以是中最大值最小的多项式，即 ： 求在上的最佳2次逼近多项式。解：最佳逼近多项式应满足 由上述定理知，当即 当时，与零偏差最小，故 就是在上的最佳2次逼近多项式。由于切比雪夫多项式是在区间上定义的，对于一般区间，要通过变量替换变换到，可令 则可将变换到性质5 切比雪夫多项式在区间上带权正交，且 （2-2-3）令则于是 性质6 只含的偶次幂，只含的奇次幂。性质7 在区间上有个零点 （2-2-4）可用的线性组合表示，其公式为 其具体的表达式为 （3） 第一类chebyshev微分方程 2.2.2、第二类切比雪夫（Chebyshev）多项式（1）

16、 定义： 在区间上带权的正交多项式称为第二类切比雪夫多项式，其表达式为 （2-2-5）由可得 即是上带权的正交多项式族，还可得到递推关系式 （2） 第二类Chebyshev微分方程 2.3、拉盖尔(Laguerre)多项式2.3.1 定义：称下面多项式为拉盖尔（Laguerre）多项式 （2-3-1）2.3.2 拉盖尔多项式的性质性质1 是的次多项式，其首项系数为 性质2 是上带权的正交多项式系，满足正交关系 （2-3-2） 用乘 得 用乘 用乘 两式相减 分部积分 = 性质3 满足递推公式 （2-3-3）2.3.3 拉盖尔微分方程 2.4、艾尔米特（Hermite）多项式2.4.1 定义 称

17、下面的多项式为艾尔米特（Hermite）多项式 （2-4-1）2.4.2 性质 性质1 是的次多项式，其首相系数为 性质2 是上带权的正交多项式系，有 （2-4-2） 设为定义在上的函数，且满足（1） 在任何有限区间内都是分段光滑的函数；（2） 则必能展成如下形式的级数 在连续处有 在不连续处有 其中 性质3 满足递推公式 （2-4-3）2.4.3 微分方程 ， 第3章 正交多项式在科学计算中的应用3.1、正交多项式在数据拟合中的应用3.1.1、正交多项式最小二乘法拟合原理 不要求拟合函数经过所有点，而只要求在给定点上残差按照某种标准达到最小，通常采用欧式范数作为衡量标准。这就是最小二乘法拟合

18、根据作为给定节点及权函数,造出带权函数正交的多项式。注意,用递推公式表示，即 （3-1-1）这里的是首项系数为1的次多项式，根据的正交性，得 （3-1-2） 根据公上式逐步求的同时，相应计算系数 （3-1-3）并逐步把 累加到中去，最后就可得到所求的拟合函数曲线 （3-1-4）： 给定一组实验数据如下：1.22.84.35.46.87.92.111.528.141.972.391.4利用正交多项式求最小二乘拟合函数.解 根据图3-1，可取幂函数 作拟合函数，其中为待定参数。令 求使 （是正实数的集合）。由极值必要条件得方程组 这是关于的非线性方程组.我们也可以将问题转化为线性问题求解，对两边

19、取对数有 令 ， 上式化为 由可得到相应的有如下数据表：0.07920.44720.63350.73240.83250.89760.32221.06071.44871.62221.85911.9609可得如下法方程组： 解得 从而 即为所求。比较拟合值、实验值并算出个点的误差如下表：1.22.84.35.46.87.92.111.528.141.972.391.42.09911.57427.47243.47369.17593.576-0.0010.074-0.6281.573-3.1252.176 需要指出的是，拟合一组数据可以采用不同的函数，然后按误差大小或问题的实际背景决定是否使用计算的结

20、果或改变拟合函数。3.1.2、算法实现流程图开始读取点集x,y和n数据YNsize(x)=size(y)提示x,y维数不匹配利用x点集数据构造范德蒙德系数矩阵V调用QR分解函数求的多项式系数输出多项式系数P结束算法计算 input output step1 set step2 for set step3 for do steps 49 step4 set step5 for set step6 if then do step 79 step7 set step8 for set step9 set step10 output(); stop.过程：clearx = 0.5000 1.0000

21、1.5000 2.0000 2.5000 3.0000y=1.75 2.45 3.81 4.80 8.00 8.60x1=0.5:0.05:3.0;p=mypolyfit(x,y,2)y1=p(3)+p(2)*x1+p(1)*x1.2;plot(x,y,*)hold onplot(x1,y1,r)3.2正交多项式在最佳平方逼近中的应用3.2.1、最佳平方逼近 函数的最佳平方逼近是内积空间最佳逼近的一个特殊情况。设表示在区间上的关于权函数平方可积的函数空间 其中为权函数。设引入内积 内积导出的范数为 中的最佳逼近问题是：设对求，使对于任何，都有 这时称为在区间关于权函数的最佳平方逼近，简称为最佳

22、平方逼近。由内积空间最佳逼近理论知，这时求的正规方程组为 （3-2-1）一般方法：设函数列在上线性无关，则在上的最佳平方逼近为寻求一个，使其满足 （3-2-2）是上的权函数。称为最佳平方逼近基函数。系数由法方程组 = （3-2-3）即 = （3-2-4）确定。 求在区间上的最小二乘一次式。 解 设在区间上的最小二乘一次式，则按照方程，注意有 因之，正规方程组为 解得 ， 故 其误差 但对上述得的一次多项式，逼近的一致范数 大于相应的最佳一次一致逼近误差0.035557318. 3.2.2、正交多项式的最佳平方逼近在正则方程，中，如果取以为权的正交多项式，则系数矩阵元素和自由项满足 （3-2-5

23、利用的正交性，当时，。于是，正则方程的系数矩阵呈对角线型，可直接解未知量 （3-2-6）回避了求解病态系数矩阵的线性方程组。其次，上式的左端与有关，而右端表达式与无关，只是下表的取值范围在。因此，用代替仍有 于是，在计算出来之后，只需计算和就可以得到。当逼近多项式的次数预先不能确定时，使用上式对计算十分方便。省略的上标，得 可以得到正交多项式的三项递推关系 （3-2-7） 计算式中 得正交多项式的最佳平方逼近公式 （3-2-8） 用勒让德展开求在上的最佳平方逼近多项式（取）解： 先计算： 由（3-2-8）可算出 于是可得 且 在上按勒让德多项式展开求三次最佳平方逼近多项式。 由勒让德多项式展

24、开公式得： ，其中 由得由得由得由得因此所求三次最佳平方逼近多项式为 3.2.3、最佳平方逼近的MATLAB实现通过实例来说明在MATLAB环境下，对正交多项式进行最佳平方逼近。 给定函数，对比多项式拟合的一般方法和最佳平方逼近方法其MATLAB程序代码如下：function fp0=zhengjiao(W,a,b,f,n)syms x;B=zeros(n+1,1);for i=1;n+1B(i)=int(f*W*x(i-1),x,a,b);end A=zeros(n+1); for i=1;n+1 for j=i;n+1; A(i,j)=int(x(i+j-2)*W,x,a,b); end

25、end for j=1;n+1 for i=j+1;n+1 A(i,j)=A(j,i); end end C=AB; fp0=0;for i=1;n+1 Fp0=fp0+C(i)*x(i-1);endfp0; ffp0=sym2poly(fp0)E0=int(f-fp0)2*W,x,a,b);s=double(E0)t=a:(b-a)/20:b;z=subs(f,x,a:(b-a)/20:b);zz=subs(fp0,x,a:(b-a)/20:b);plot(t,z,b)hold onplot(t,zz,*)3.3正交多项式在概率分析中的应用3.3.1、矩与概率分布的关系定理：假设矩存在，并且

26、对于对概率分布的特征函数有可积，那么，由特征函数泰勒展开的有限项经傅里叶逆变换得到的对于存在，且当时关于一致地有 （3-3-1）此处为正态分布，为一个只依赖于矩而不依赖于和的实多项式。此定理表明：概率密度函数可用高阶矩的展开式逼近，而且展开式为正态分布乘一修正系数，所以，可以展开为带权的多项式。的前两项为 （3-3-2）其中，为艾尔米特正交多项式。3.3.2、极限状态函数的矩已知极限状态函数为随机向量的概率密度函数为，则的各阶原点矩为 （3-3-3）将极限状态标准化，采用作为新的极限状态函数，则其各阶原点矩与中心距相同， 这里的为偏度系数，为峰度系数。如果为某些特定的分布类型，可将其视为权函数

27、采用相应类型的高斯积分点，效率和精度较高。正如正态分布、指数分布、均匀分布，权函数类型为，可分别选择相应的高斯积分点。3.3.3、极限状态函数的概率密度函数的正交多项式逼近设权函数为，相应区间上的正交多项式为 (3-3-4)式中为确定常数。由正交多项式性质，有 (3-3-5)用带权的正交多项式逼近极限状态函数的概率密度函数，函数为 (3-3-6)式中，为待定系数，由下式确定： (3-3-7)以艾尔米特正交多项式为例，权函数取为或采用标准化极限状态函数，权函数取为积分区间为，多项式的最高次项系数为1，前五项及递推公式为：这里取前五项进行拟合，得到待定系数的前五项：3.3.4、计算失效概率计算失

28、效概率时，对应着记可靠指标积分界限为失效概率为： (3-3-8)式中，为标准正态分布函数。上式右边的第一项反映了标准正态分布时的失效概率，第二项反映了高阶矩对第一项的修正。采用四阶矩计算 (3-3-9)参考文献1、施吉林,刘淑珍，陈桂芝.计算机数值方法M.北京:高等教育出版社,2007.2、李庆杨,关治,白峰杉.数值计算原理M.北京:清华大学出版社,2000.3、林成森.数值计算方法(第二版)M.北京:科学出版社,2005.4、关治,陆金甫.数值分析基础M.北京:高等教育出版社,1998.5、程正兴,李水根.数值逼近与常微分方程数值解M.西安:西安交通大学出版社，2000.6、李粉菊.关于拉盖

29、尔多项式的一些恒等式J.咸阳师范专科学校学报，2001,20(7):56-58.7、刘端森,李超.拉盖尔多项式系数的绝对值和及其性质J.纺织高校基础科学学报,2003,16(1):32-33.8、王青宁.利用正交性定义Hermite多项式J.青海大学学报,2004,12(8):12-14.9、常锦长,赵龙.基于正交多项式的数据拟合方法J.2011,13(2):23-24.10、于万征,毕复志.正交多项式的数值计算J.辽宁师范大学学报，1982,23(2):12-13.11、张红芹.正交多项式在最佳平方逼近中的应用J.网络财富,2009,30(12):30-31.13、汤保新.正交多项式拟合概率密度在可靠度计算中的应用J.泰州职业技术学报,2006,34(3):10-11.14、凌迎春,徐令毅.正交多项式在概率密度研究中的应用J.浙江农业大学学报,2005,32(20):23-24.