《线性规划的图解法》PPT课件.ppt

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1、1,第二章线性规划的图解法,1问题的提出 2图解法 3图解法的灵敏度分析,2,第二章线性规划的图解法,在管理中一些典型的线性规划应用 合理利用线材问题：如何在保证生产的条件下，下料最少 配料问题：在原料供应量的限制下如何获取最大利润 投资问题：从投资项目中选取方案，使投资回报最大 产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大 劳动力安排：用最少的劳动力来满足工作的需要 运输问题：如何制定调运方案，使总运费最小,线性规划的组成： 目标函数 max f 或 min f 约束条件 s.t. (subject to) 满足于 决策变量 用符号来表示可控制的因素,3,1问题的提出,例1. 某工厂

2、在计划期内要安排、两种产品的生产，已知生产单位产品所需的设备台时及A、B两种原材料的消耗、资源的限制，如下表： 问题：工厂应分别生产多少单位、产品才能使工厂获利最多？,线性规划模型： 目标函数：max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件：s.t. x1 + x2 300 2 x1 + x2 400 x2 250 x1 , x2 0,4,1问题的提出,建模过程 1.理解要解决的问题，明确在什么条件下，要追求什么目标； 2.定义决策变量（ x1 ，x2 ， ，xn ），每一组值表示一个方案； 3.用决策变量的线性函数形式写出目标函数，确定最大化或最小化目标； 4.用一组决策变量的等式或

3、不等式表示解决问题过程中必须遵循的约束条件 一般形式 目标函数： max （min） z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bm x1 ，x2 ， ，xn 0,5,例1.目标函数： max z = 50 x1 + 100 x2 约束条件： s.t. x1 + x2 300 (A) 2 x1 + x2 400 (B) x2 250 (C) x1 0

4、(D) x2 0 (E) 得到最优解： x1 = 50， x2 = 250 最优目标值 z = 27500,2图 解 法,对于只有两个决策变量的线性规划问题，可以在平面直角坐标系上作图表示线性规划问题的有关概念，并求解。 下面通过例1详细讲解其方法：,6,2图 解 法,(1)分别取决策变量X1, X2 为坐标向量建立直角坐标系。在直角坐标系里，图上任意一点的坐标代表了决策变量的一组值，例1的每个约束条件都代表一个半平面。,7,2图 解 法,（2）对每个不等式(约束条件)，先取其等式在坐标系中作直线，然后确定不等式所决定的半平面。,x1,x1,x2,x2,8,2图 解 法,（3）把五个图合并成一

5、个图，取各约束条件的公共部分，如图2-1所示。,x1,x2,9,2图 解 法,（4）目标函数z=50 x1+100 x2，当z取某一固定值时得到一条直线，直线上的每一点都具有相同的目标函数值，称之为“等值线”。平行移动等值线，当移动到B点时，z在可行域内实现了最大化。A，B，C，D，E是可行域的顶点，对有限个约束条件则其可行域的顶点也是有限的。,10,2图 解 法,线性规划的标准化内容之一：引入松驰变量（含义是资源的剩余量） 例1 中引入 s1， s2， s3 模型化为 目标函数：max z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3 约束条件：s.t. x1

6、+ x2 + s1 = 300 2 x1 + x2 + s2 = 400 x2 + s3 = 250 x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0 对于最优解 x1 =50 x2 = 250 ， s1 = 0 s2 =50 s3 = 0 说明：生产50单位产品和250单位产品将消耗完所有 可能的设备台时数及原料B，但对原料A则还剩余50千克。,11,2图 解 法,重要结论： 如果线性规划有最优解，则一定有一个可行域的顶点对应一个最优解； 无穷多个最优解。若将例1中的目标函数变为max z=50 x1+50 x2，则线段BC上的所有点都代表了最优解； 无界解。即可行域的范围延伸到无穷远，目标

7、函数值可以无穷大或无穷小。一般来说，这说明模型有错，忽略了一些必要的约束条件； 无可行解。若在例1的数学模型中再增加一个约束条件4x1+3x21200，则可行域为空域，不存在满足约束条件的解，当然也就不存在最优解了。,图解法 无界解,线性规划存在无界解，即无最优解的情况。对下述线性规划问题： 约束条件： max z=x1+x2； x1-x2 1 -3x1+2x2 6 x1 0, x2 0,12,图解法 无界解,用图解法求解结果，如图所示，可以看到，该问题可行域无界，目标函数值可以增大到无穷大，成为无界解，即为无最优解。,13,1,2,3,4,-1,-2,1,2,3,4,-1,z=0=x1+x2

8、,z=1=x1+x2,z=3=x1+x2,14,进 一 步 讨 论,例2 某公司由于生产需要，共需要A，B两种原料至少350 吨（A，B两种材料有一定替代性），其中A原料至少购进125 吨。但由于A，B两种原料的规格不同，各自所需的加工时间 也是不同的，加工每吨A原料需要2个小时，加工每吨B原料需 要1小时，而公司总共有600个加工小时。又知道每吨A原料的 价格为2万元，每吨B原料的价格为3万元，试问在满足生产需 要的前提下，在公司加工能力的范围内，如何购买A，B两种 原料，使得购进成本最低？,15,进 一 步 讨 论,解：目标函数： min f = 2x1 + 3 x2 约束条件： s.t.

9、 x1 + x2 350 x1 125 2 x1 + x2 600 x1 , x2 0 采用图解法。如下图：得Q点坐标（250，100）为最优解。,16,3图解法的灵敏度分析,线性规划的标准化 一般形式 目标函数： max （min） z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （ =, ）b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （ =, ）b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （ =, ）bm x1 ，x2 ， ，xn 0 标准形式 目标函数： max z = c

10、1 x1 + c2 x2 + + cn xn 约束条件： s.t. a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2 am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bm x1 ，x2 ， ，xn 0，bi 0,17,3图解法的灵敏度分析,可以看出，线性规划的标准形式有如下四个特 点： 目标最大化； 约束为等式； 决策变量均非负； 右端项非负。 对于各种非标准形式的线性规划问题，我们总可 以通过以下变换，将其转化为标准形式:,18,3图解法的灵敏度分析,1.极小化目标函数的问题： 设目标函数为 min f

11、= c1x1 + c2x2 + + cnxn (可以)令 z -f ， 则该极小化问题与下面的极大化问题有相同的最优解， 即 max z = - c1x1 - c2x2 - - cnxn 但必须注意，尽管以上两个问题的最优解相同，但它们 最优解的目标函数值却相差一个符号，即 min f - max z,19,3图解法的灵敏度分析,2、约束条件不是等式的问题： 设约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi 可以引进一个新的变量s ，使它等于约束右边与左 边之差 s=bi(ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn ) 显然，s 也具有非负约束，即s0， 这时新的约束

12、条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn+s = bi,20,3图解法的灵敏度分析,当约束条件为 ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi 时， 类似地令 s=(ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn)- bi 显然，s 也具有非负约束，即s0，这时新的约 束条件成为 ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn-s = bi,21,3图解法的灵敏度分析,为了使约束由不等式成为等式而引进的变量s,当不等式为“小于等于”时称为“松弛变量”；当不等式为“大于等于”时称为“剩余变量”。如果原问题中有若干个非等式约束，则将其转化为标准形式时，必须对各个约束引进不同的松弛变

13、量或剩余变量。,3.右端项有负值的问题： 在标准形式中，要求右端项必须每一个分量非负。当某一个右端项系数为负时，如 bi0，则把该等式约束两端同时乘以-1，得到：-ai1 x1-ai2 x2- -ain xn = -bi。,22,3图解法的灵敏度分析,例：将以下线性规划问题转化为标准形式 min f = 2 x1 -3x2 + 4 x3 s.t. 3 x1 + 4x2 - 5 x3 6 2 x1 + x3 8 x1 + x2 + x3 = -9 x1 , x2 , x3 0 解：首先,将目标函数转换成极大化： 令 z= -f = -2x1+3x2-4x3 其次考虑约束，有2个不等式约束，引进松

14、弛变量或剩余变量x4，x5 0。 第三个约束条件的右端值为负，在等式两边同时乘-1。,23,3图解法的灵敏度分析,通过以上变换，可以得到以下标准形式的线性规划问题： max z = - 2x1 + 3 x2 - 4x3 s.t. 3x1+4x2-5x3 +x4 = 6 2x1 +x3 -x5= 8 -x1 -x2 -x3 = 9 x1 ,x2 ,x3 ,x4 ,x5 0 * 变量无符号限制的问题*： 在标准形式中，必须每一个变量均有非负约束。当某一个变量xj没 有非负约束时，可以令 xj = xj- xj” 其中 xj0，xj”0 即用两个非负变量之差来表示一个无符号限制的变量，当然xj的符号

15、 取决于xj和xj”的大小。,24,3图解法的灵敏度分析,灵敏度分析：建立数学模型和求得最优解后，研究线性规 划的一个或多个参数（系数）ci , aij , bj 变化时，对最优解产 生的影响。 3.1 目标函数中的系数 ci 的灵敏度分析 考虑例1的情况，ci 的变化只影响目标函数等值线的斜率， 目标函数 z = 50 x1 + 100 x2 在 z = x2 (x2 = z 斜率为0 ) 到 z = x1 + x2 (x2 = -x1 + z 斜 率为 -1 )之间时，原最优解 x1 = 50，x2 = 100 仍是最优解。 一般情况： z = c1 x1 + c2 x2 写成斜截式 x2

16、 = - (c1 / c2 ) x1 + z / c2 目标函数等值线的斜率为 - (c1 / c2 ) ， 当 -1 - (c1 / c2 ) 0 （*） 时，原最优解仍是最优解。,25,3图解法的灵敏度分析,假设产品的利润100元不变，即 c2 = 100，代到式（*）并整理得 0 c1 100 假设产品的利润 50 元不变，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得 50 c2 假若产品、的利润均改变，则可直接用式（*）来判断。 假设产品、的利润分别为60元、55元，则 - 2 - (60 / 55) - 1 那么，最优解为 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交点

17、 x1 = 100，x2 = 200 。,26,3图解法的灵敏度分析,3.2 约束条件中右边系数 bj 的灵敏度分析 当约束条件中右边系数 bj 变化时，线性规划的可行域发生 变化，可能引起最优解的变化。 考虑例1的情况： 假设设备台时增加10个台时，即 b1变化为310，这时可行 域扩大，最优解为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交点 x1 = 60，x2 = 250 。 变化后的总利润 - 变化前的总利润 = 增加的利润 (5060+ 100250) - (50 50+100 250) = 500 ，500 / 10 = 50 元 说明在一定范围内每增加（减少）1个台时

18、的设备能力就 可增加（减少）50元利润，称为该约束条件的对偶价格。,27,3图解法的灵敏度分析,假设原料 A 增加10 千克时，即 b2变化为410，这时可行域 扩大，但最优解仍为 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交点 x1 = 50，x2 = 250 。此变化对总利润无影响，该约束条件的对偶 价格为 0 。 解释：原最优解没有把原料 A 用尽，有50千克的剩余， 因此增加10千克值增加了库存，而不会增加利润。 在一定范围内，当约束条件右边常数增加1个单位时 （1）若约束条件的对偶价格大于0，则其最优目标函数值得 到改善（变好）； （2）若约束条件的对偶价格小于0，则其最优目标函数值受 到影响（变坏）； （3）若约束条件的对偶价格等于0，则其最优目标函数值不 变。,