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1、第 4 讲 比例线段初步知识总结归纳一 .平行线分线段成比例定理：如下图，如果 l1 l 2 l 3 ，则 BCEF， ABDE，ABAC ACDFACDFDEDFADl 1BEl 2CFl 3二 . 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC，则 ADAEDEABACBCAEADEBBC三 .平行的判定定理：如上图，如果有ADAE ，那么 DE BC ABAC四 . 两个常见模型：如图，已知直线EF BC ，直线 EF 分别与直线 AB 、则BD EGDC FGAFEFGBCADDCAC、AD相交于 E、F、G点，G EADC典型例题一. 比例式的计算【例 1】 已知 a
2、3 ，求（ 1） b ；（2） ab 的值b5ab【例 2】 已知 b5，则 ab 的值是（）a13abA 2B 3C3294D 497 ：3 ，求（ 1） a ；（2） ab22【例 3】 已知 ( ab) ：(a b)b2 bab【例4】 已 知xyz那 么3x y2z_ ； 若 ( x2 y：) y， 那 么42，2x3y5( x3y2： )x( 4 y二. 基础训练【例 5】 如图，已知直线a b c，直线 m 、 n 分别与 a 、 b 、 c 交于 A 、 C 、 E 、 B 、 D 、F 若 AC 4，CE6， BD3 ，则 BF _nmBaADCbEFc【例 6】 如图， l1
3、 l 2 ， AF ：FB2：5 ， BC ：CD4 ：1 ，则 AE ：EC _GAl1FEBC Dl 2【例 7】 如图， DE BC ，且 DBAE ，若 AB5，AC10 ，求 AE 的长ADEBC【例 8】证明下列各组问题，并对各组的两个图形进行比较：（1）如图，已知直线 EF BC ，直线 EF 分别与直线 AB 、 AC 、 AD 相交于 E 、 F 、G 点，求证： BDEG DCFGAFGEAEFGBDCBDC（2）如图，已知 DE BC ， EF CD ，求证： AD2AF ABAEDFADEFBCBC【例 9】如图，已知 ABC，作 DEBC 交 AB于 D ，交 AC
4、于 E ，连 CD 、 BE 交于点 F 求证：（1） DFAD；（ 2） BDEF1 CFABABBFADEFBC【例 10】 如图，已知 AD 为 ABC 的 BC 边上的中线，P 为线段 BD 上一点，过点P 作 AD 的平行线交 AB 于 Q ，交 CA 的延长线于 R 求证： PQPR2 AD RAQBDCP【例 11】 如图， ABBD，CDBD ，垂足分别为 B、 D，AC 和 BD 相交于点 E，EFBD ，垂足为 F 证明： 111 ABCDEFCAEBFD【例 12】 如图，在梯形 ABCD 中， AB CD ， AB12 ，CD9 ，过对角线交点 O 作 EF CD 交A
5、D ，BC 于 E ，F ，求 EF 的长DCEOFAB三. 巩固提高【例 13】 如图，在梯形ABCD 中，AD BC ，AD3 ，BC9 ，AB6，CD4 ，若EFBC，且梯形AEFD与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长ADEFBC【例 14】 如图，在 ABC 中， D 、 E 为 AC 、 AB 上的点， BD 、 CE 相交于 O ，取 AB 的中点F ，连结 OF 若 AD11CD， AEBE 求证： OF BC 22AEDFOBC【例 15】 如图， ABCD 中， AC 与 BD 交于 O 点，E 为 AD 延长线上一点， OE 交 CD 于 F ，EO的延长线交 AB 于
6、 G ，求证：ABAD2 DFDEEDFCOABG【例 16】 在四边形 ABCD 中， AC 、 BD 相交于 O ，直线 l BD ，且与 AB 、 DC 、 BC 、 AD 及 AC 的延长线分别相交于点 M 、 N 、 R 、 S和 P ，求证： PM PN PR PSABODClMNPRS【例 17】 已知，如图，四边形 ABCD ，两组对边延长后交于 E 、 F ，对角线 BD EF ， AC 的延长线交 EF 于 G 求证： EG GF ABDECGF【例 18】 已知 O 是平行四边形ABCD 内的任意一点，过点 O 作 EF AB ，分别交 AD 、BC 于 E 、F ，又过
7、 O作 GH BC ，分别交 AB 、CD 于G 、H ；连结 BE ，交 GH 于 P ；连结 DG ，交 EF 于 Q 如果 OP OQ ，求证：平行四边形 ABCD 是菱形AEDQGPOHBFC【例 19】 已知： P 为 ABC 的中位线上任意一点，BP 、 CP 的延长线分别交对边AC 、 AB 于D、E，求证： ADAE1DCEBAEDMNPBC思维飞跃【例 20】 如图，已知梯形 ABCD 中， AD BC （ AD BC ）， AC 和 BD 相交于 M ， EF AD ，且过 M ， EC和 FB交于 N，GH AD ，且过 N 求证： 1212 ADBCEFGHADEMFG
8、NHBC【例 21】 如图， AD 是 ABC 的中线，过 CD 上任意一点 F ，作 EG AB ，与 AC 和 AD 的延长线分别交于 G 和 E ，FH AC 交 AB于点 H ，求证： HGBE AHGBDCFE作业1. 已知 xyz ，求（ 1） x2z ；（2） 2 x3 y 4z 2382 yz5x2. 如下两个图中，已知 EF BC ， FG DC ，分别证明：DCGFAEBAEAG ABADCGEA B FD3. 已知：如图，在梯形 ABCD 中， AB CD ， M 是 AB 的中点，分别连接 AC 、 BD 、 MD 、MC，且 AC与MD 交于点 E，DB与 MC交于F
9、 （1）求证： EF CD（2）若 ABa ， CDb ，求 EF 的长AMBEFDC4. 在梯形 ABCD中， ABCD ， AC与 BD 交于 O， MON AB ，且 MON交 AD 、 BC 于 M 、N若 MN1，求11的值ABCD5.如已知 DE AB， OA2OC OE ，求证： AD BC CDEOAB6. 如图，已知 D 、 E是 AC 、 AB上的点， BD、CE 交于 O点，过 O点作 OFCB交 AB于F，AD11CD，AEBE ，求证： F 为 AB 的中点22AEDFOBC7. 设 D 为 ABC 的边 BC 的中点，过 D 作一条直线，交 AB 、 AC 或其延长线于 E 、 F ，又过 A作 AG BC，交 EF 的延长线于 G ，则 EG FDGF DE GAEBDCF