小学数学应用题的21种类型类打印版上课讲义.pdf

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1、精品资料 精品资料 小学数学应用题的21 种类型类，讲 解详细，内容全面，例题经典 1、归一问题 【含义】 在解题时，先求出一份是多少（即单一量），然 后以单一量为标准，求出所要求的数量。这类应 用题叫做归一问题。 【数量关系】 总量 份数 1 份数量 1 份数量 所占份数所求几份的数量 另一总量 （总量 份数）所求份数 【解题思路和方法】 先求出单一量，以单一量为标准，求出所要求的 数量。 例 1 买 5 支铅笔要 0.6 元钱，买同样的铅笔 16 支，需要多少钱？ 解（1）买 1 支铅笔多少钱？ 0.65 0.12（元） （2）买 16 支铅笔需要多少钱？0.1216 1.92 （元） 列

2、成综合算式 0.65160.1216 1.92（元） 答：需要 1.92 元。 2、归总问题 【含义】 解题时，常常先找出 “ 总数量 ” ，然后再根据其它 条件算出所求的问题，叫归总问题。所谓“ 总数 量” 是指货物的总价、几小时（几天）的总工作 量、 几公亩地上的总产量、 几小时行的总路程等。 【数量关系】 1 份数量 份数总量 总量1 份数量份数 总量 另一份数另一每份数量 【解题思路和方法】 先求出总数量，再根据题意得出所求的数量。 例 1 服装厂原来做一套衣服用布3.2 米，改 进裁剪方法后，每套衣服用布 2.8 米。 原来做 791 套衣服的布，现在可以做多少套？ 解（1）这批布总

3、共有多少米？3.2791 2531.2（米） （2）现在可以做多少套？ 2531.22.8 904（套） 列成综合算式 3.27912.8904（套） 答：现在可以做904 套。 3、和差问题 【含义】 精品资料 精品资料 已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多 少，这类应用题叫和差问题。 【数量关系】 大数（和差） 2 小数（和差） 2 【解题思路和方法】 简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通 后再用公式。 例 1 甲乙两班共有学生98 人，甲班比乙班多 6 人，求两班各有多少人？ 解甲班人数（ 986）2 52（人） 乙班人数（ 986）2 46（人） 答：甲班有 52 人，乙班有

4、 46 人。 4、和倍问题 【含义】 已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是 大数的几分之几），要求这两个数各是多少，这 类应用题叫做和倍问题。 【数量关系】 总和 （几倍 1）较小的数 总和较小的数较大的数 较小的数 几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式， 复杂的题目变通后利 用公式。 例 1 果园里有杏树和桃树共248 棵， 桃树的棵 数是杏树的 3 倍，求杏树、桃树各多少棵？ 解（1）杏树有多少棵？ 248 （31）62 （棵） （2）桃树有多少棵？ 623 186（棵） 答：杏树有 62 棵，桃树有 186棵。 5、差倍问题 【含义】 已知两个数的差及大数是小数

5、的几倍（或小数是 大数的几分之几） ，要求这两个数各是多少，这 类应用题叫做差倍问题。 【数量关系】 两个数的差 （几倍 1）较小的数 较小的数 几倍较大的数 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式， 复杂的题目变通后利 用公式。 例 1 果园里桃树的棵数是杏树的3 倍， 而且桃 树比杏树多 124 棵。求杏树、桃树各多少棵？ 解（1） 杏树有多少棵？ 124 （31） 62 （棵） 精品资料 精品资料 （2）桃树有多少棵？ 623 186（棵） 答：果园里杏树是62 棵，桃树是 186 棵。 6、倍比问题 【含义】 有两个已知的同类量， 其中一个量是另一个量的 若干倍，解题时先求出这个倍

6、数，再用倍比的方 法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题。 【数量关系】 总量 一个数量倍数 另一个数量 倍数另一总量 【解题思路和方法】 先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数。 例 1 100 千克油菜籽可以榨油40 千克，现在 有油菜籽 3700 千克，可以榨油多少？ 解（1）3700 千克是100 千克的多少倍？ 3700100 37（倍） （2）可以榨油多少千克？ 4037 1480（千克） 列成综合算式 40 （3700100 ）1480（千克） 答：可以榨油 1480 千克。 7、相遇问题 【含义】 两个运动的物体同时由两地出发相向而行，在途 中相遇。这类应用题叫做相遇问题。 【数

7、量关系】 相遇时间总路程 （甲速乙速） 总路程（甲速乙速） 相遇时间 【解题思路和方法】 简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后 再利用公式。 例 1 南京到上海的水路长392 千米，同时从 两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船 每小时行 28 千米，从上海开出的船每小时行21 千米，经过几小时两船相遇？ 解392 （2821）8（小时） 答：经过 8 小时两船相遇。 8、追及问题 【含义】 两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一 地点而不是同时出发， 或者在不同地点又不是同 时出发）作同向运动，在后面的，行进速度要快 些，在前面的，行进速度较慢些，在一定时间之 内，后面的追上前

8、面的物体。这类应用题就叫做 追及问题。 【数量关系】 精品资料 精品资料 追及时间追及路程 （快速慢速） 追及路程（快速慢速） 追及时间 【解题思路和方法】 简单的题目直接利用公式， 复杂的题目变通后利 用公式。 例 1 好马每天走120 千米，劣马每天走75 千米，劣马先走12 天，好马几天能追上劣马？ 解（1） 劣马先走 12 天能走多少千米？ 7512 900（千米） （2）好马几天追上劣马？ 900 （12075）20 （天） 列成综合算式 7512（12075）90045 20 （天） 答：好马 20 天能追上劣马。 9、植树问题 【含义】 按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个

9、 量之间，已知其中的两个量，要求第三个量，这 类应用题叫做植树问题。 【数量关系】 线形植树棵数距离 棵距 1 环形植树棵数距离 棵距 方形植树棵数距离 棵距 4 三角形植树棵数距离 棵距 3 面积植树棵数面积 （棵距 行距） 【解题思路和方法】 先弄清楚植树问题的类型，然后可以利用公式。 例 1 一条河堤 136 米， 每隔 2 米栽一棵垂柳， 头尾都栽，一共要栽多少棵垂柳？ 解1362 168169（棵） 答：一共要栽 69 棵垂柳。 10、年龄问题 【含义】 这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特 点是两人的年龄差不变，但是，两人年龄之间的 倍数关系随着年龄的增长在发生变化。 【数量

10、关系】 年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切 联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的，要 紧紧抓住 “ 年龄差不变 ” 这个特点。 【解题思路和方法】 可以利用 “ 差倍问题 ” 的解题思路和方法。 例 1 爸爸今年 35 岁，亮亮今年 5 岁，今年 爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢？ 解355 7（倍） 精品资料 精品资料 （35+1） （5+1）6（倍） 答：今年爸爸的年龄是亮亮的7 倍， 明年爸爸的年龄是亮亮的6 倍。 11、行船问题 【含义】 行船问题也就是与航行有关的问题。解答这类问 题要弄清船速与水速， 船速是船只本身航行的速 度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水 流的速

11、度， 船只顺水航行的速度是船速与水速之 和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。 【数量关系】 （顺水速度逆水速度）2 船速 （顺水速度逆水速度）2 水速 顺水速船速 2 逆水速逆水速水速2 逆水速船速 2 顺水速顺水速水速2 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一只船顺水行 320 千米需用 8 小时，水 流速度为每小时15 千米，这只船逆水行这段路 程需用几小时？ 解由条件知，顺 水速 船速 水 速 3208，而水速为每小时 15 千米，所以，船速为 每小时 32081525（千米） 船的逆水速为 251510（千米） 船逆水行这段路程的时间为32010 3

12、2（小时） 答：这只船逆水行这段路程需用32 小时。 12、列车问题 【含义】 这是与列车行驶有关的一些问题，解答时要注意 列车车身的长度。 【数量关系】 火车过桥：过桥时间（车长桥长） 车速 火车追及：追及时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速） 火车相遇：相遇时间（甲车长乙车长距离） （甲车速乙车速） 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 一座大桥长 2400 米，一列火车以每分钟 900 米的速度通过大桥，从车头开上桥到车尾离 开桥共需要 3 分钟。这列火车长多少米？ 解火车 3 分钟所行的路程，就是桥长与火 车车身长度的和。 （1）火车 3 分钟行多少米

13、？ 9003 2700（米） （2） 这列火车长多少米？ 27002400300 （米） 精品资料 精品资料 列成综合算式 9003 2400300（米） 答：这列火车长300米。 13、时钟问题 【含义】 就是研究钟面上时针与分针关系的问题，如两针 重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60 度等。时钟问题可与追及问题相类比。 【数量关系】 分针的速度是时针的12倍， 二者的速度差为11 /12。 通常按追及问题来对待， 也可以按差倍问题来计 算。 【解题思路和方法】 变通为 “ 追及问题 ” 后可以直接利用公式。 例 1 从时针指向 4 点开始，再经过多少分钟 时针正好与分针重合？ 解钟面

14、的一周分为60 格，分针每分钟走一 格，每小时走60 格；时针每小时走5 格，每分 钟走 5 /601/12 格。每分钟分针比时针多走（1 1 /12）11/12 格。4 点整，时针在前，分针在 后，两针相距 20格。所以 分针追上时针的时间为20 （11/12）22 （分） 答：再经过 22 分钟时针正好与分针重合。 14、盈亏问题 【含义】 根据一定的人数，分配一定的物品，在两次分配 中，一次有余（盈），一次不足（亏），或两次都 有余，或两次都不足，求人数或物品数，这类应 用题叫做盈亏问题。 【数量关系】 一般地说，在两次分配中， 如果一次盈， 一次亏， 则有： 参加分配总人数（盈亏） 分

15、配差 如果两次都盈或都亏，则有： 参加分配总人数（大盈小盈） 分配差 参加分配总人数（大亏小亏） 分配差 【解题思路和方法】 大多数情况可以直接利用数量关系的公式。 例 1 给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3 个 就余 11 个；若每人分 4 个就少 1 个。问有多少 小朋友？有多少个苹果？ 解按照 “ 参加分配的总人数（盈亏） 分配差 ” 的数量关系： （1）有小朋友多少人？（111） （43） 12（人） （2）有多少个苹果？ 312 1147（个） 精品资料 精品资料 答：有小朋友 12人，有 47个苹果。 15、工程问题 【含义】 工程问题主要研究工作量、 工作效率和工作时间 三者之间的

16、关系。这类问题在已知条件中，常常 不给出工作量的具体数量，只提出“ 一项工程 ” 、 “ 一块土地 ” 、“ 一条水渠 ” 、“ 一件工作 ” 等，在解 题时，常常用单位 “1”表示工作总量。 【数量关系】 解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”，这 样，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位 时间内完成工作总量的几分之几），进而就可以 根据工作量、工作效率、工作时间三者之间的关 系列出算式。 工作量工作效率 工作时间 工作时间工作量 工作效率 工作时间总工作量 （甲工作效率乙工作效 率） 【解题思路和方法】 变通后可以利用上述数量关系的公式。 例 1 一项工程，甲队单独做需要10 天完成，

17、 乙队单独做需要15 天完成，现在两队合作，需 要几天完成？ 解题中的 “ 一项工程 ” 是工作总量，由于没有 给出这项工程的具体数量，因此，把此项工程看 作单位 “1”。由于甲队独做需10 天完成，那么每 天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15 天完 成，每天完成这项工程的1/15；两队合做，每天 可以完成这项工程的（ 1/101/15） 。 由此可以列出算式： 1 （1/101/15）11 /66 （天） 答：两队合做需要6 天完成。 16、正反比例问题 【含义】 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着 变化，如果这两种量中相对应的两个数的比的比 值一定（即商一定） ，那么这两种量

18、就叫做成正 比例的量，它们的关系叫做正比例关系。正比例 应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运 用。 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着 变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一 定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系 叫做反比例关系。 反比例应用题是反比例的意义 和解比例等知识的综合运用。 【数量关系】 判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关 键。许多典型应用题都可以转化为正反比例问题 去解决，而且比较简捷。 精品资料 精品资料 【解题思路和方法】 解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转 化为比，应用比和比例的性质去解应用题。 正反比例问题与前面讲过的倍比问题基本类似。

19、例 1 修一条公路，已修的是未修的1 /3，再修 300 米 后，已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是 多少米？ 解 由条件知，公路总长不变。 原已修长度总长度1（ 13） 14 312 现已修长度总长度1（ 12） 13 412 比较以上两式可知， 把总长度当作 12 份，则 300 米相当于（ 43）份，从而知公路总长为300 （43）12 3600（米） 答：这条公路总长3600 米。 17、按比例分配问题 【含义】 所谓按比例分配， 就是把一个数按照一定的比分 成若干份。这类题的已知条件一般有两种形式： 一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的 份数，另一种是直接给出份数。 【数量

20、关系】 从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题 看，求几个部分量各是多少。总份数比的前后 项之和 【解题思路和方法】 先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几， 把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总 量的几分之几（以总份数作分母，比的前后项分 别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少 的计算方法，分别求出各部分量的值。 例 1 学校把植树 560棵的任务按人数分配给五年级三 个班，已知一班有47 人，二班有 48 人，三班有 45 人，三个班各植树多少棵？ 解总份数为 474845140 一班植树 56047 /140188（棵） 二班植树 56048 /140192（棵） 三班植

21、树 56045 /140180（棵） 答：一、二、三班分别植树188 棵、192 棵、180 棵。 18、百分数问题 【含义】 精品资料 精品资料 百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的 数。百分数是一种特殊的分数。分数常常可以通 分、约分，而百分数则无需；分数既可以表示 “ 率” ，也可以表示 “ 量” ，而百分数只能表示 “ 率” ； 分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分 子可以是小数；百分数有一个专门的记号“% ”。 在实际中和常用到 “ 百分点 ” 这个概念，一个百分 点就是 1%，两个百分点就是2%。 【数量关系】 掌握“ 百分数 ” 、“ 标准量 ”“比较量 ” 三者之间的

22、数 量关系： 百分数比较量 标准量 标准量比较量 百分数 【解题思路和方法】 一般有三种基本类型： （1）求一个数是另一个数的百分之几； （2）已知一个数，求它的百分之几是多少； （3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数。 例 1 仓库里有一批化肥，用去720 千克，剩 下 6480 千克，用去的与剩下的各占原重量的百 分之几？ 解（1）用去的占 720 （7206480）10% （2）剩下的占 6480 （7206480）90% 答：用去了 10%，剩下 90%。 19、“ 牛吃草 ” 问题 【含义】 “ 牛吃草 ” 问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫 “ 牛顿问题 ” 。这类问题的特点在

23、于要考虑草边吃 边长这个因素。 【数量关系】 草总量原有草量草每天生长量 天数 【解题思路和方法】 解这类题的关键是求出草每天的生长量。 例 1 一块草地，10头牛 20 天可以把草吃完， 15 头牛 10 天可以把草吃完。问多少头牛5 天可 以把草吃完？ 解草是均匀生长的，所以，草总量原有草 量草每天生长量 天数。求“ 多少头牛 5 天可以 把草吃完 ” ，就是说 5 天内的草总量要5 天吃完 的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1， 按以下步骤解答： （1）求草每天的生长量 因为，一方面20 天内的草总量就是10 头牛 20 天所吃的草，即（ 11020） ；另一方面， 20 天内 的

24、草总量又等于原有草量加上20天内的生长量， 所以 11020原有草量 20 天内生长量 同理 11510原有草量 10 天内生长量 精品资料 精品资料 由此可知（ 2010）天内草的生长量为 110201151050 因此，草每天的生长量为50 （2010）5 （2）求原有草量 原有草量10 天内总草量10 内生长量 11510510 100 （3）求 5 天内草总量 5天内草总量原有草量5天内生长量 100 55 125 （4）求多少头牛 5 天吃完草 因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛 5 天吃 草量为 5。 因此 5 天吃完草需要牛的头数1255 25（头） 答：需要 5 头牛 5 天

25、可以把草吃完。 20、鸡兔同笼问题 【含义】 这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多 少只和多少只脚，求鸡、兔各有多少只的问题， 叫做第一鸡兔同笼问题。 已知鸡兔的总数和鸡脚 与兔脚的差，求鸡、兔各是多少的问题叫做第二 鸡兔同笼问题。 【数量关系】 第一鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数（实际脚数 2 鸡兔总数） （42） 假设全都是兔，则有 鸡数（ 4 鸡兔总数实际脚数） （42） 第二鸡兔同笼问题： 假设全都是鸡，则有 兔数（ 2 鸡兔总数鸡与兔脚之差） （42） 假设全都是兔，则有 鸡数（ 4 鸡兔总数鸡与兔脚之差） （42） 【解题思路和方法】 解答此类题目一般都用假设法，可

26、以先假设都是 鸡，也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡，然 后以兔换鸡；如果先假设都是兔， 然后以鸡换兔。 这类问题也叫置换问题。通过先假设，再置换， 使问题得到解决。 例 1 长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里。数数头有三 十五，脚数共有九十四。请你仔细算一算，多少 兔子多少鸡？ 解假设 35 只全为兔，则 鸡数（ 435 94） （42）23（只） 兔数 352312（只） 精品资料 精品资料 也可以先假设 35只全为鸡，则 兔数（ 94235 ） （42）12（只） 鸡数 351223（只） 答：有鸡 23 只，有兔 12 只。 21、方阵问题 【含义】 将若干人或物依一定条件排成正方形（简称

27、方 阵） ，根据已知条件求总人数或总物数，这类问 题就叫做方阵问题。 【数量关系】 （1）方阵每边人数与四周人数的关系： 四周人数（每边人数1）4 每边人数四周人数 4 1 （2）方阵总人数的求法： 实心方阵：总人数每边人数 每边人数 空心方阵：总人数（外边人数）?（内边人 数）? 内边人数外边人数层数2 （3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算， 则： 总人数（每边人数层数） 层数4 【解题思路和方法】 方阵问题有实心与空心两种。实心方阵的求法是 以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答 方法应根据具体情况确定。 例 1 在育才小学的运动会上，进行体操表演 的同学排成方阵，每行22 人，参加体操表演的 同学一共有多少人？ 精品资料 精品资料 解 2222 484（人） 答：参加体操表演的同学一共有484 人。