年全国初中数学联合竞赛试题数2.pdf

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1、资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 1. 用x表示不超过x的最大整数， 把xx称为x的小数部分 . 已知 1 23 t ，a是t 的小数部分，b是t的小数部分，则 11 2ba （） .A 1 2 .B 3 2 .C1.D3 2. 三种图书的单价分别为10 元、 15 元和 20 元，某学校计划恰好用500 元购买上述图书 30 本，那么不同的购书方案有（） .A9种.B10种.C 11种.D 12种 3(A) . 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为 “和谐数” . 如： 3333 21( 1) ,2631 ,2和26均为“和谐数”.那么，不超过

2、2016的正整数中， 所有的“和谐数”之和为（） .A 6858.B 6860.C 9260.D 9262 3(B）. 已知二次函数 2 1(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0). 当 ab为整数时，ab（） .A 0.B 1 4 .C 3 4 .D2 4. 已知O的半径OD垂直于弦AB, 交AB于点C，连接AO并延长交O于点E, 若 8,AB2CD,则BCE的面积为（） .A 12.B 15.C16.D 18 5. 如图，在四边形 ABCD中， 0 90BACBDC，5ABAC,1CD, 对角 线的交点为M，则DM ( ) .A 3 2 .B 5 3 .C 2 2 .D

3、1 2 6. 设实数, ,x y z满足1,xyz则23Mxyyzxz的最大值为 ( ) .A 1 2 .B 2 3 .C 3 4 .D 1 二、填空题（本题满分28 分，每小题 7 分） ( 本题共有4 个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1. 【1(A) 、2（ B） 】 已知ABC的顶点A、C在反比例函数 3 y x （0 x）的图象 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 上， 0 90ACB, 0 30ABC,ABx轴，点B在点A的上方， 且6,AB则点C的坐 标为 . 1(B). 已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分， 3AD, 则AM

4、. 2(A) . 在 四 边 形ABCD中 ，BCAD,CA平 分BCD,O为 对 角 线 的 交 点 ， ,CDAO,BCOD则ABC . 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰 好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 3(B) . 若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 . 4(A). 将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个5行 5 列的表格内（每 格填入一个数） ，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这 5 个和的最小值为M,则M的

5、最大值为 . 第二试 ( 3 月 20 日上午 9:50 11:20) 一、 （本题满分20 分） 已知,a b为正整数，求 22 324Maabb能取到的最小正整数值. 二、 （本题满分25 分） ( A). 如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D, 点E在BD上，,AEAC 四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N. 证明 :FNDE. ( B). 已知：5,abc 222 15,abc 333 47.abc 求 222222 ()()()aabbbbccccaa的值 . 三、 （本题满分25 分） ( A). 已知正实数, ,x y z满足：1xyyzzx , 且 资料收

6、集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 222222 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 4 xyyzzx xyyzzx . (1) 求 111 xyyzzx 的值 . (2) 证明 :9()()()8()xyyzzxxyz xyyzzx. (3) B)如图，在等腰ABC中 ,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关 于直线AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F求AD AF 的值 . 1. 用x表示不超过x的最大整数， 把xx称为x的小数部分 . 已知 1 23 t ，a是t的 小数部分，b是t的小数部分，则 11 2ba （） .A 1 2 .B 3 2 .

7、C1.D3 【答案】A. 【解析】 1 23,132, 23 t3234,即34,t 331.at又23, 231,t4233, ( 4)23,bt 111123311 , 22222(23)3 1ba 故选 A. 2. 三种图书的单价分别为10 元、 15 元和 20 元，某学校计划恰好用500 元购买上述图 书 30 本，那么不同的购书方案有（） .A9种.B10种.C 11种.D 12种 【答案】 C. 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 【解析】设购买三种图书的数量分别为, , ,x y z则 30 101520500 xyz xyz ， 即 30 341002 y

8、zx yzx ，解得 202 10 yx zx 依题意得，, ,x y z为自然数（非负整数） ， 故010,xx有11种可能的取值（分别为0,1,2,9,10)，对于每一个x值，y和z都 有唯一的值（自然数）相对应. 即不同的购书方案共有11 种，故选 C. 3(A) . 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为 “和谐数” . 如： 3333 21( 1) ,2631 ,2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中， 所有的“和谐数”之和为（） .A 6858.B 6860.C 9260.D 9262 【答案】 B. 【解析】 3322 (21)(21)(2

9、1) (21) (21)(21)(21)(21)kkkkkkkk 2 2(121)k（其中k为非负整数），由 2 2(121)2016k得，9k 0,1,2,8,9k，即得所有不超过2016 的“和谐数” ，它们的和为 33333333333 1( 1)(31 )(53 )(1715 )(1917 )1916860.故选 B. 3(B）. 已知二次函数 2 1(0)yaxbxa的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0). 当ab为整数时，ab（） .A 0.B 1 4 .C 3 4 .D2 【答案】 B. 【解析】依题意知0,0,10, 2 b aab a 故0,b且1ba， (1)21abaa

10、a，于是10,a1211a 又ab为整数，210,a故 1 , 2 ab 1 4 ab，故选 B. 4. 已知O的半径OD垂直于弦AB, 交AB于点C，连接AO并延长交O于点E, 若8,AB2CD, 则BCE的面积为（） .A 12.B 15.C16.D 18 【解析】设,OCx则2,OAODx ODAB于,C 1 4, 2 ACCBAB 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 在Rt OAC中， 222 ,OCACOA 即 222 4(2) ,xx解得3x，即3OC（第 4 题答案图） OC为ABE的中位线，26.BEOCAE是O的直径，90 ,B 11 4612. 22 B

11、CE SCB BE故选 A. 5. 如图，在四边形ABCD中， 0 90BACBDC，5ABAC,1CD, 对角线 的交点为M，则DM ( ) .A 3 2 .B 5 3 .C 2 2 .D 1 2 （第 5 题答案图） 【答案】 D. 【解析】过点A作AHBD于点,H则AMH,CMD, AHAM CDCM 1,CD , AM AH CM 设,AMx则5, 5 x CMxAH x 在Rt ABM中， 222 5,BMABAMx则 2 5 5 AB AMx AH BM x 2 5 , 5 5 xx x x 显然0 x，化简整理得 2 25 5100 xx 解得 5 , 2 x（2 5x不符合题意

12、，舍去） ，故 5 , 2 CM在Rt CDM中， 22 1 2 DMCMCD, 故选 D. 6. 设实数, ,x y z满足1,xyz则23Mxyyzxz的最大值为 ( ) .A 1 2 .B 2 3 .C 3 4 .D 1 【答案】 C. 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 【解析】 22 (23 )(23 )(1)34232Mxyyx zxyyxxyxxyyxy 22 22 111 22332 222 yxyxxxx 222 2111133 22 222244 yxxxyxx 当且仅当 1 ,0 2 xy时，M取等号，故 max 3 4 M，故选 C. 二、填空题（本

13、题满分28 分，每小题 7 分） ( 本题共有4 个小题，要求直接将答案写在横线上.) 1. 【1(A) 、2（ B） 】 已知ABC的顶点A、C在反比例函数 3 y x （0 x）的图象 上， 0 90ACB, 0 30ABC,ABx轴，点B在点A的上方， 且6,AB则点C的坐 标为 . 【答案】 3 ,2 2 . 【解析】如图，过点 C作CDAB于点D. 在Rt ACB中，cos3 3BCABABC 在Rt BCD中， 3 3 sin, 2 CDBCB（第 1 题答案图） 9 cos, 2 BDBCB 3 2 ADABBD, 设 33 ,CmA n mn ， 依题意知0,nm故 33 ,C

14、Dnm AD mn ，于是 3 3 2 333 2 nm mn 解得 3 2 2 3 m n ，故点C的坐标为 3 ,2 2 . 1(B). 已知ABC的最大边BC上的高线AD和中线AM恰好把BAC三等分， 3AD, 则AM . 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 【答案】2. 【解析】 （ 第1题 答 案 图1 ） （ 第 1 题答案图 2） 依题意得BADDAMMAC, 0 90 ,ADBADC故ABCACB. (1) 若ABCACB时，如答案图 1 所示，ADM,ADB 1 , 2 BDDMCM 又AM平分,DAC 1 , 2 ADDM ACCM 在Rt DAC中，即

15、 1 cos, 2 DAC 0 60 ,DAC从而 00 90 ,30BACACD. 在Rt ADC中，tan3 tan603,CDADDAC1.DM 在Rt ADM中， 22 2AMADDM. ( 2) 若ABCACB时，如答案图2 所示 . 同理可得2AM. 综上所述，2AM. 2(A) . 在 四 边 形 ABCD中 ，BCAD,CA平 分BCD , O为 对 角 线 的 交 点 ， ,CDAO,BCOD则ABC . 【答案】126. 【解析】设,OCDADO, CA平分BCD,OCDOCB, BCAD,ADOOBCDAOOCB, (第 2 题答案图 ) OCDDAO,ADCD,CDAO

16、ADAO, ADOAODBOCOBC,OCBC, ,BCOD,OCODODCOCD ,180BOCODCOCDBOCOBCOCB 2 ,2180 ,解得36 ,72，72DBCBCD, ,BDCDAD 180 54 , 2 ABDBAD 故126ABCABDDBC. 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 3.【3(A)、4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰 好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是 . 【答案】 167334. 【解析】设两个三位数分别为, x y，则10003xyxy， 31000(31000) ,yxyxyx故y是

17、x的正整数倍，不妨设ytx（t为正整数）， 代入得10003,ttx 1000 , 3 t x t x是三位数， 1000 100 3 t x t ，解得 1000 , 299 tt为正整数，t的可能取值为1,2,3.验证可知，只有2t符合，此时 167,334.xy故所求的六位数为167334. 3(B). 若质数p、q满足：340,111,qppq则pq的最大值为 . 【答案】1007. 【解析】由340qp得，34,pq 2 224 (34)343, 33 pqqqqqq 因q为质数，故 pq的值随着质数q的增大而增大，当且仅当q取得最大值时，pq取得最 大值 . 又111pq，3411

18、1,qq 3 28 4 q，因q为质数，故q的可能取值为 23,19,17,13,11,7,5,3,2，但23q时，34655 13pq不是质数，舍去. 当19q时,3453pq恰为质数 . 故 maxmax 19,()53 191007qpq. 4(A). 将 5 个 1、5 个 2、5 个 3、5 个 4、5 个 5 共 25 个数填入一个5行 5 列的表格内（每 格填入一个数） ，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这 5 个和的最小值为M,则M的最大值为 . 【答案】10. 【解析】 (依据 5 个 1 分布的列数的不同情形进行讨论,确定M的最大值 . (1

19、) 若 5 个 1 分布在同一列，则 5M ； ( 2) 若 5 个 1 分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3，故 25 1 5 320M,故10M; (3) 若 5 个 1 分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故 35 1525 330M, 故10M; (4) 若 5 个 1 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾. 综上所述，10.M 另一方面，如下表的例子说明M可以取到10. 故M的最大值为10. 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流

20、 第二试 ( 3 月 20 日上午 9:50 11:20) 一、 （本题满分20 分） 已知,a b为正整数，求 22 324Maabb能取到的最小正整数值. 【解析】解：因,a b为正整数，要使得 22 324Maabb的值为正整数，则有 2a. 当2a时，b只能为 1，此时4.M故M能取到的最小正整数值不超过4. 当3a时，b只能为 1 或 2.若1,18bM;若2b，则7M. 当4a时，b只能为 1 或 2或 3.若1,38bM;若2,24bM;若3,b则2M. ( 下面考虑： 22 324Maabb的值能否为1？) （反证法）假设 1M ，则 22 3241aabb，即 22 325a

21、abb， 2 (3)25aabb 因b为正整数，故25b为奇数，从而a为奇数，b为偶数， 不妨设21,2ambn，其中,m n均为正整数，则 22222 (3)(21) 3(21)(2 )4(332)3aabmmnmmmnn 即 2 (3)aab被4除所得余数为3，而252 (2 ) 141bnn被 4除所得余数为1， 故式不可能成立，故1M. 因此，M能取到的最小正整数值为2. 二、 （本题满分25 分） ( A). 如图，点C在以AB为直径的O上，CDAB于点D, 点E在BD上， ,AEAC四边形DEFM是正方形，AM的延长线与O交于点N. 证明 :FNDE. 3 3 3 4 5 资料收集

22、于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 (第 2(A) 题答案图 ) 【证明】：连接BC、.BNAB为O的直径，CDAB于点D 90ACBANBADC ,CABDACACBADC,ACBADC , ACAB ADAC 2 ACADAB 由四边形 DEFM 是正方形及 CDAB于点D可知 : 点M在CD上，DEDMEFMF ,NABDAMANBADM,ANBADM , ANAB ADAM ,AD ABAMAN 2 ,ACAMAN ,AEAC 2 AEAMAN 以点F为圆心、FE为半径作,F与直线AM交于另一点P, 则F与AB切于点E, 即AE是F的切线，直线AMP是F的割线，故由切割线定

23、理得 2 AEAMAP ANAP, 即点N与点P重合，点N在F上，FNFEDE. (注：上述最后一段得证明用了“同一法”) ( B). 已知：5,abc 222 15,abc 333 47.abc 求 222222 ()()()aabbbbccccaa的值 . 【解析】由已知得 22221 ()()5 2 abbccaabcabc 由恒等式 333222 3()()abcabcabc abcabbcca得， 4735(155),abc1abc 又 22 ()()()5(5)55(1)aabbabcababbccacc 同理可得 2222 5(4),5(4)bbccaccaab 原式 = 3 5

24、 (4)(4)(4)125 64 16()4()abcabcabbccaabc 1256416545( 1)625. 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 【注：恒等式 32 ()()()()()ta tb tctabc tabbcca tabc】 三、 （本题满分25 分） ( A). 已知正实数, ,x y z满足：1xyyzzx , 且 222222 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 4 xyyzzx xyyzzx . (4) 求 111 xyyzzx 的值 . (5) 证明 :9()()()8()xyyzzxxyz xyyzzx. 【解析】（1）解：由等式 222

25、222 (1)(1)(1)(1)(1)(1) 4 xyyzzx xyyzzx ， 去分母得 222222 (1)(1)(1(1)(1)(1)4z xyx yzy zxxyz， 222222222222 ()()()3()0,x y zxy zx yzx yzy zxz xyxyzxyzxyz ()()()()0 xyz xyyzzxxyz xyyzzxxyzxyz， ()(1)0 xyzxyzxyyzzx，1,10 xyyzzxxyyzzx， ()0,xyzxyzxyzxyz，原式 =1. xyz xyz （2）证明：由（1）得计算过程知xyzxyz，又, ,x y z为正实数 , 9()()

26、()8()xyyzzxxyz xyyzzx 9()()()8()()xyyzzxxyz xyyzzx 222222 ()()()6x yzy zxz xyxyz 222 ()()()0.x yzy zxz xy 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流 9()()()8()xyyz zxxyz xyyzzx. 【注： 222222 ()()()2xyyzzxx yxyy zyzz xzxxyz 222222 ()()()2x yzy zxz xyxyz 222222 ()()3xyzxyyzzxx yxyy zyzz xzxxyz 222222 ()()()3x yzy zxz

27、xyxyz】 ( B). 如图，在等腰 ABC中 ,5,ABACD为BC边上异于中点的点，点C关于直线 AD的对称点为点E,EB的延长线与AD的延长线交于点,F求AD AF的值 . （第 3（B）题答案图） 【解析】如图，连接,AE ED CF, 则,ABAC ABDACB 点C关于直线AD的对称点为点E,BEDBCFAEDACDACB ,ABDAED,A E B D四点共圆 ,BEDBAD( 同弧所对得圆周角相等) BADBCF,A B F C四点共圆，AFBACBABD ,AFBABD, ABAF ADAB 2 2 55.AD AFAB （注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说 成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆） 资料收集于网络，如有侵权请联系网站删除 只供学习与交流