高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-7正弦定理和余弦定理学案理练习.pdf

《高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-7正弦定理和余弦定理学案理练习.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-7正弦定理和余弦定理学案理练习.pdf（16页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、欢迎下载。 1 / 16 高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-7 正弦定理 和余弦定理学案理练习 考纲展示 ?1. 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三 角形度量问题 2能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量、 几何计算有关的实际问题 考点 1 利用正、余弦定理解三角形 正、余弦定理 在ABC中，若角A，B，C 所对的边分别是a，b，c，R 为ABC 外接圆半径，则 定理正弦定理余弦定理 公式 a sin A _ _ 2R a 2_； b 2_； c 2_ 续表 定理正弦定理余弦定理 常见 变形 (1)a2Rsin A， b_， c_； (2)sin A a 2R

2、 ，sin B_，sin cos A_； cos B_； cos C_ 欢迎下载。 2 / 16 C c 2R ； (3)abc_； (4)asin Bbsin A ， bsin Ccsin B， asin Ccsin A 答案：b2c22bccos A c2a22cacos B a2b2 2abcos C 2Rsin B 2Rsin C sin A sin B sin C c2a2 b2 2ac (1) 教材习题改编 在ABC中，已知a5，b7，c8，则A C( ) A90 B120 C135 D150 答案： B (2) 教材习题改编 在ABC中，已知 A60，B75， c 20，则 a_

3、. 答案： 106 解三角形的一般类型：已知两边及一角；已知两角及一边；已知 三边 (1) 在ABC中，已知 a5，b2，C30，则 c_. 答案：7 解析：由余弦定理，得c2a2 b22abcos C 52(2)2 252cos 30 7，所以 c. (2) 在ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，若 B， sin A ，b，则 a_. 欢迎下载。 3 / 16 答案： 6 5 解析：由正弦定理，得a. (3) 在ABC中，已知 abc243，则 cos C_. 答案： 11 16 解析：设 a2k，b4k，c3k(k0) ， 则 cos C. 典题 1 2017山师大附中一模

4、 设ABC的内角 A，B，C的对 边分别为 a，b，c，且 bsin A acos B. (1) 求角 B的大小； (2) 若 b3，sin C 2sin A ，求 a，c 的值 解 (1) bsin A acos B， 由正弦定理得 sin Bsin Asin Acos B. 在ABC中，sin A 0， 即得 tan B ，B. (2) sin C 2sin A ，由正弦定理得 c2a， 由余弦定理 b2a2c22accos B， 即 9a24a22a2acos ， 解得 a，c2a2. 点石成金 1. 解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二 次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的

5、正弦或边的一次式时， 则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可 能用到 2三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的， 欢迎下载。 4 / 16 其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通 常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断. 设ABC的内角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ac6，b 2，cos B . (1) 求 a，c 的值； (2) 求 sin(A B)的值 解：(1) 由余弦定理，得 cos B ， 即 a2c24ac. (ac)2 2ac4ac，ac9. 由得 ac3. (2) 在ABC中，cos B， sin

6、 B . 由正弦定理，得， sin A . 又 AC，0A， cos A， sin(A B)sin Acos B cos Asin B . 考点 2 利用正弦、余弦定理判定三角形的形状 三角形中的角的关系判断误区：角的大小比较的误区；角的个数 的误区 (1) 在ABC 中，若sin Asin B，则A 与 B 的大小关系是 欢迎下载。 5 / 16 _ 答案：AB 解析：由正弦定理，得sin A ，sin B . 若 sin Asin B，则，即 ab，故 AB. (2) 在ABC中，若 A60， a4，b4，则 B等于_ 答案：45 解析：由正弦定理，有，则sin B . 又 ab，所以 A

7、B ，故 B45. 注意挖掘题中隐含条件，以便确定满足条件的角的情况 判断三角形的形状 利用正、余弦定理判断三角形的形状，一般都可以通过两种途径 实现： (1) 把角的条件转化为边，通过边的关系判断；(2) 把边的条件 转化为角，通过计算角的大小进行判断 典题 2 (1) 在ABC中，内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c， 且 2c22a22b2ab，则ABC是( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 答案 A 解析由 2c22a22b2ab，得 a2b2c2ab， 所以 cos C 0， 所以 90C180，即 ABC为钝角三角形 (2) 设ABC的内角 A，B，C

8、 所对的边分别为a，b，c，若 bcos C 欢迎下载。 6 / 16 ccos Basin A ，则ABC的形状为 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形D不确定 答案 B 解析 依据题设条件的特点，由正弦定理， 得 sin Bcos C cos Bsin C sin2A ， 有 sin(B C)sin2A ， A(0 ，)，sin A 0. 从而 sin(B C)sin A sin2A ，解得 sin A 1， A，故选 B. 题点发散1 若将本例条件改为“若2sin Acos B sin C ”， 那么ABC一定是 ( ) A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形D等边三角

9、形 答案： B 解析：解法一：由已知得2sin Acos B sin C sin(A B)sin Acos Bcos Asin B ，即 sin(A B)0，因为 AB ，所以A B. 解法二：由正弦定理，得2acos Bc，再由余弦定理得 2ac? a2b2? ab. 题点发散2 若将本例条件改为“若a2b2c2ab，且 2cos Asin B sin C ”，确定 ABC的形状 解：解法一：利用边的关系来判断： 欢迎下载。 7 / 16 由正弦定理，得， 由 2cos Asin B sin C ，有 cos A . 又由余弦定理，得cos A， ， 即 c2b2c2a2，a2b2，ab.

10、又a2b2c2ab. 2b2c2b2，b2c2， bc，abc. ABC为等边三角形 解法二：利用角的关系来判断： ABC180， sin C sin(A B)， 又2cos Asin B sin C ， 2cos Asin B sin Acos B cos Asin B ， sin(A B)0. 又A 与 B均为ABC的内角，所以 AB， 又由 a2b2c2ab， 由余弦定理，得 cos C， 又 0C0) ， 由余弦定理可得 cos C 0， 又C(0，) ，C， ABC为钝角三角形 题点发散4 若将本例条件改为“ (a2 b2)sin(A B)(a2 b2)sin(A B)”，试判断三角

11、形的形状 解：(a2b2)sin(A B)(a2b2)sin(A B)， b2sin(A B)sin(A B) a2sin(A B)sin(A B) ， 2sin Acos B b22cos Asin B a2， 即 a2cos Asin B b2sin Acos B. 解法一：由正弦定理知a2Rsin A ，b2Rsin B ， sin2Acos Asin Bsin2Bsin Acos B， 又 sin A sin B 0， sin Acos A sin Bcos B ， sin 2A sin 2B. 在ABC中，02A2，02B2， 欢迎下载。 9 / 16 2A2B或 2A2B， AB或

12、 AB. ABC为等腰三角形或直角三角形 解法二：由正弦定理、余弦定理，得 a2bb2a， a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， (a2 b2)(a2 b2c2) 0， a2b20 或 a2b2c20. 即 ab 或 a2b2c2. ABC为等腰三角形或直角三角形 题点发散5 若将本例条件改为：“ 2asin A (2bc) sin B (2c b)sin C ，且 sin B sin C 1”，试判断 ABC的形状 解：由已知，根据正弦定理，得 2a2(2bc)b (2cb)c ， 即 a2b2c2bc，cos A， sin A ， 则 sin2Asin2B sin2Csin Bsin

13、 C. 解得 sin B sin C . 故 BC， 所以ABC是等腰钝角三角形 点石成金 1. 判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进 行思考，主要看其是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角 三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角 形或直角三角形”的区别 欢迎下载。 10 / 16 2判断三角形形状主要有以下两种途径： (1) 通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角 形内角之间的关系进行判断； (2) 利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求 出三条边之间的关系进行判断. 在ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若co

14、s A，则 ABC为( ) A钝角三角形 B直角三角形 C锐角三角形 D等边三角形 答案： A 解析：依题意得 cos A， sin Csin Bcos A， 所以 sin(A B)sin Bcos A ， 即 sin Bcos A cos Bsin A sin Bcos A0 ， 所以 cos Bsin A0 ，于是有 cos B0，B为钝角， ABC是钝角三角形 考点 3 与三角形面积有关的问题 三角形中常用的面积公式 (1)S ah(h 表示边 a 上的高) ； (2)S bcsin A acsin B absin C ； (3)S r(a bc)(r为三角形的内切圆半径 ) 教材习题改

15、编 在ABC中，内角A，B，C 的对边分别为a，b， c，且 a2，b3，SABC ，则角 C的值为 _ 欢迎下载。 11 / 16 答案：60或 120 解析：由 SABC absin C 23sin C ，得 sin C ，因为 C 为三角形 ABC的内角，所以 C60或 C120. 三角形面积公式 利用正余弦定理三角形的面积还可以写成： S2R2sin Asin Bsin C ， S. 典题 3 2017河北衡水模拟 如图，在 ABC中，sin ABC ， AB 2，点 D在线段 AC上，且 AD 2DC ，BD . (1) 求 BC的长； (2) 求DBC 的面积 解 (1) 因为 s

16、in ABC ， 所以 cosABC 12. 在ABC中，设 BC a，AC 3b， 则由余弦定理可得， 9b2a24a， 在ABD和DBC 中，由余弦定理可得， cosADB ，cosBDC . 因为 cosADB cosBDC ， 所以有， 所以 3b2a26. 由可得， a3，b1，即 BC 3. (2) 由(1) 得ABC的面积为 欢迎下载。 12 / 16 S232，所以 DBC 的面积为. 点石成金 三角形面积公式的应用原则 (1) 对于面积公式Sabsin C acsin B bcsin A ，一般是已知哪 一个角就使用哪一个公式 (2) 与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦

17、定理进行边和角 的转化 . 2017湖北武汉质量预测 在ABC中，角 A，B，C 的对边分别 为 a，b，c，且满足 a2b2c2bc0,2bsin A a，BC边上中线 AM 的长为 . (1) 求角 A和角 B的大小； (2) 求ABC的面积 解：(1) 由 a2b2c2bc0，得 b2c2a2bc， cos A ， A， 由 2bsin A a，得 ba，BA. (2) 设 AC BC x，由余弦定理， 得 AM2 x22x 1 2 ()2 ， 解得 x2，故 SABC 22 2. 真题演练集训 12014新课标全国卷 钝角三角形ABC的面积是， AB 1 ， BC ，则 AC ( )

18、A5 B. 欢迎下载。 13 / 16 C2 D1 答案： B 解析：由题意可得AB BC sin B ， 又 AB 1 ，BC ，所以 sin B ， 所以 B45或 B135. 当 B45时，由余弦定理可得 AC 1， 此时 AC AB 1，BC ，易得 A90，与“钝角三角形”条件矛 盾，舍去所以 B135. 由余弦定理可得 AC . 22014新课标全国卷 已知 a，b，c 分别为 ABC三个内角 A，B，C 的对边， a2，且(2b)(sin Asin B) (c b)sin C ，则 ABC面积的最大值为 _ 答案：3 解析： 2R，a2，又(2 b)(sin Asin B) (c

19、 b)sin C 可化为 (ab)(a b) (c b)c ，a2b2c2bc，b2c2a2 bc. cos A ，A60. ABC中，4a2b2c22bccos 60 b2c2bc2bc bcbc( 当且仅当 bc 时等号成立 ) ， SABC bcsin A 4. 32016新课标全国卷 ABC的内角 A，B，C 的对边分别为 欢迎下载。 14 / 16 a，b，c，若 cos A ，cos C，a1，则 b_. 答案： 21 13 解析：解法一：因为cos A，cos C， 所以 sin A ，sin C ， 从而 sin B sin(A C)sin Acos C cos Asin C

20、. 由正弦定理，得b. 解法二：因为 cos A， cos C， 所以 sin A ，sin C ， 从而 cos B cos(AC)cos Acos C sin Asin C . 由正弦定理，得c. 由余弦定理 b2a2c22accos B，得 b. 解法三：因为 cos A，cos C，所以 sin A ，sin C ， 由正弦定理，得c. 从而 bacos Cccos A. 解法四：如图，作BD AC于点 D， 由 cos C，aBC 1，知 CD ，BD . 又 cos A，所以 tan A ，从而 AD . 故 bAD DC . 42016新课标全国卷 ABC的内角 A，B，C 的对

21、边分别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B bcos A) c. (1) 求 C； 欢迎下载。 15 / 16 (2) 若 c，ABC的面积为，求 ABC的周长 解：(1) 由已知及正弦定理，得 2cos C(sin Acos Bsin Bcos A)sin C ， 2cos Csin(A B)sin C ， 故 2sin Ccos C sin C ，C(0，) 可得 cos C，所以 C. (2) 由已知， absin C . 又 C，所以 ab6. 由已知及余弦定理，得a2b22abcos C 7， 故 a2b213，从而(a b)2 25. 所以ABC的周长为 5. 课外拓展

22、阅读 转化与化归思想在解三角形中的应用 典例 2016新课标全国卷 ABC的内角 A，B，C的对边分 别为 a，b，c，已知 2cos C(acos B bcos A) c. (1) 求 C； (2) 若 c，ABC的面积为，求 ABC的周长 审题视角 (1) 利用正弦定理进行边角互化求解；(2) 利用三角 形的面积公式得出ab，再结合余弦定理联立方程求出ab，进而求得 ABC的面积 解 (1) 由已知及正弦定理得， sin C ， 2cos Csin(A B)sin C 故 2sin Ccos C sin C. 欢迎下载。 16 / 16 可得 cos C，所以 C. (2) 由已知，得 absin C . 又 C，所以 ab6. 由已知及余弦定理得， a2b22abcos C7. 故 所以ABC的周长为 5. 满分心得 1(1) 题中处不能利用正弦定理将边化为角，使已知条件中的 式子转化为同类 (2) 题中处不能结合余弦定理将(a b)视为整体进行求解而走入 误区 2转化与化归思想在解三角形中的应用主要体现在边角之间利用 正、余弦定理统一的转化化简上，使关系式中的量达到统一性