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1、11220 00 02 22 222 2回扣 7解析几何1直线方程的五种形式(1)点斜式：yy k(xx )(直线过点 P (x ，y )，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的直1 1 1 1 1线)(2)斜截式：ykxb(b 为直线 l 在 y 轴上的截距，且斜率为 k，不包括 y 轴和平行于 y 轴的 直线)yy xx(3)两点式： (直线过点 P (x ，y )，P (x ，y )，且 x x ，y y ，不包括坐标y y x x 1 1 1 2 2 2 1 2 1 22 1 2 1轴和平行于坐标轴的直线)x y(4)截距式： 1(a、b 分别为直线的横、纵截距，且 a0，b0
2、，不包括坐标轴、平行a b于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式：AxByC0(其中 A，B 不同时为 0)2直线的两种位置关系当不重合的两条直线 l 和 l 的斜率存在时：1 2(1)两直线平行 l l k k .1 2 1 2(2)两直线垂直 l l k k 1.1 2 1 2提醒：当一条直线的斜率为 0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽 略3三种距离公式(1)A(x ，y )，B(x ，y )两点间的距离：1 1 2 2AB (xx )(yy ).2 1 2 1|Ax By C|(2)点到直线的距离：d (其中点 P(x ，y )，直线方程为 AxByC0)A B(3)
3、两平行线间的距离： d|C C | 2 1A B(其中两平行线方程分别为 l ：Ax ByC 0，l ：Ax1 1 2ByC 0)2提醒：应用两平行线间距离公式时，注意两平行线方程中 x，y 的系数应对应相等 4圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(xa) (yb) r .2222 2222 22222222(2)圆的一般方程：xy DxEyF0(DE24F0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1) 直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法(2) 圆与圆的位置关系：相交、内切、外切、外离、内含，代数判断法与几何判断法 6圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称定义标准方程椭圆P
4、F PF 1 22a(2aF F )1 2x y 1(ab0) a b双曲线|PF PF |1 22a(2a0，b0) a b抛物线 PFPM 点 F 不在直 线 l 上，PMl 于 My 2px(p0)图形范围顶点|x|a，|y|b (a,0)，(0，b)|x|a(a,0)x0(0,0)几何对称性焦点轴关于 x 轴，y 轴和原点对称(c,0)长轴长 2a，短轴长 2b实轴长 2a，虚轴长 2b关于 x 轴对称 p( ，0)2性质离心率ce ab1a22ce ab1 (e1) ae1(0e1)准线px2渐近线by xa7.直线与圆锥曲线的位置关系判断方法：通过解直线方程与圆锥曲线方程联立得到的
5、方程组进行判断弦长公式：AB 1k |x x |1 211 |y y |. k 1 28范围、最值问题的常用解法(1)几何法1 直线外一定点 P 到直线上各点距离的最小值为该点 P 到直线的垂线段的长度2 圆 C 外一定点 P 到圆上各点距离的最大值为 PCR，最小值为 PCR(R 为圆 C 的半径) 过圆 C 内一定点 P 的圆的最长的弦即为经过点 P 的直径，最短的弦为过点 P 且与经过点 P 的直径垂直的弦，2 22圆锥曲线上本身存在最值问题，如 a.椭圆上两点间最大距离为 2a(长轴长)；b.双曲线上两 点间最小距离为 2a(实轴长)；c.椭圆上的点到焦点的距离的取值范围为ac，ac，
6、ac 与 ac 分别表示椭圆焦点到椭圆上点的最小与最大距离；d.在抛物线上的点中，顶点与抛 物线的准线距离最近(2)代数法把要求的最值表示为某个参数的解析式，然后利用函数、最值、基本不等式等进行求解 9定点、定值问题的思路求解直线或曲线过定点问题的基本思路是把直线或曲线方程中的变量 x，y 当作常数看待， 把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数 就要全部等于零，这样就得到一个关于 x，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直 线或曲线所过的定点求证某几何量为定值，首先要求出这个几何量的代数表达式，然后对表达式进行化简、整理， 根据已知条件列出必要的
7、方程(或不等式)，消去参数，最后推出定值10解决存在性问题的解题步骤第一步：先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)； 第二步：解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在；第三步：得出结论1 不能准确区分直线倾斜角的取值范围以及斜率与倾斜角的关系，导致由斜率的取值范围 确定倾斜角的范围时出错2 易忽视直线方程的几种形式的限制条件，如根据直线在两轴上的截距相等设方程时，忽x y视截距为 0 的情况，直接设为 1；再如，过定点 P(x ，y )的直线往往忽视斜率不存在a a 0 0的情况直接设为 yy k(xx )等0 03 讨论两条直线的位置关
8、系时，易忽视系数等于零时的讨论导致漏解，如两条直线垂直时， 一条直线的斜率不存在，另一条直线斜率为 0.4 在解析几何中，研究两条直线的位置关系时，要注意有可能这两条直线重合；在立体几 何中提到的两条直线，一般可理解为它们不重合5 求解两条平行线之间的距离时，易忽视两直线系数不相等，而直接代入公式 导致错解|C C | 1 2A B6在圆的标准方程中，误把 r当成 r；在圆的一般方程中，忽视方程表示圆的条件7 易误认两圆相切为两圆外切，忽视两圆内切的情况导致漏解8 利用椭圆、双曲线的定义解题时，要注意两种曲线的定义形式及其限制条件如在双曲2122m4222222 22 2线的定义中，有两点是缺
9、一不可的：其一，绝对值；其二，2a0”的条件下进行1直线 2mx(m 1)y m0 倾斜角的取值范围为_答案 0， 42m 2m 2解析 由已知可得 m0.直线的斜率 k .当 m0 时，k0，当 m0 时，k m 1 m 1m22m1m1，又因为 m0，所以 0k1.综上可得直线的斜率 0k1.设直线的倾斜角为 ，则 0tan 1，因为 0b0)的左、右焦点分别为 F 、F ，线段 F F 被抛物线 y 2bx 的焦a b 1 2 1 2点分成 53 两段，则此椭圆的离心率为_2 2 22 2222 22 22222 2答案2 55bc 2 5解析 ，a b c ，c2b，b 3b 2c 2
10、 2 55c 4a ，e .a 5 5x y8如图，已知 F ，F 是双曲线 C： 1(a0，b0)的左，右焦点，F F 4，点 A 在1 2 a b 1 2双曲线的右支上，线段 AF 与双曲线左支相交于点 B，AB 的内切圆与 BF 相切于点 E，1 2 2若 AF 2BF ，BE2 2，则双曲线 C 的离心率为_2 1答案2解析 设 AF 2BF 2m，2 1由题意得 AF 2m2a，BF m2a，1 2因此 ABm2a,2BEABBF AF 4a，2 2c即 a 2，又 F F 4 c2，所以离心率为 2.1 2 ax y9已知 F ，F 是双曲线 1 的焦点，PQ 是过焦点 F 的弦，
11、且 PQ 的倾斜角为 60，1 2 16 9 1那么|PF QF PQ|的值为_2 2答案 16x y解析 由双曲线方程 1 知，2a8，16 9由双曲线的定义得，|PF PF |2a8，2 1|QF QF |2a8，2 1得|PF QF (QF PF )|16，2 2 1 1|PF QF PQ|16.2 2y10抛物线 y 4x 的焦点到双曲线 x 1 的渐近线的距离是_322 222 2 22 2222 2 22212 2答案32y b解析 抛物线 y 4x 的焦点为(1,0)，双曲线 x 1 的渐近线为 y x，即 y 3x.由于3 a焦点 (1,0)到双曲线的两条渐近线距离相等，所以只
12、考虑焦点到其中一条之间的距离 | 3| 3 .23 1d 2511 过抛物线 y 2x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A，B 两点，若 AB ，AFBF，则 AF12_.答案561 1 2解析 2，AF BF p25ABAFBF ，AFBF，125 5AF ，BF .6 412已知圆 F ：(x1) y r 与圆 F ：(x1) y (4r) (0rF F ，1 2 1 2因此曲线 E 是长轴长 2a4，焦距 2c2 的椭圆，且 bxa c 3，所以曲线 E 的方程为4y 1.3(2)由曲线 E 的方程得，上顶点 M(0， 3)，记 A(x ，y )，B(x ，y )，由题意知，x 0，x 0
13、，1 1 2 2 1 2x若直线 AB 的斜率不存在，则直线 AB 的方程为 xx ，故 y y ，且 y y 3(1 )，因1 1 2 1 2 4231 2 122 22 2228km34k 34k2 21 1xx2 2222222222222222222y 3 y 3 y 3此 k k ，与已知不符，因此直线 AB 的斜率存在，设直线 MA MB x x x 41 2 1x yAB 的方程为 ykxm，代入椭圆 E 的方程 1，得(34k )x 8kmx4(m 3)0.4 3因为直线 AB 与曲线 E 有公共点 A，B，所以方程有两个非零不等实根 x ，x ，1 24(m3)所以 x x
14、，x x ，1 2 1 2又 k AMy 3 kx m 3 ，1 1y 3 kx m 3k ，MB x x2 21由 k k ，AM BM 4得 4(kx m 3)(kx m 3)x x ，1 2 1 2即(4k 1)x x 4k(m 3)(x x )4(m 3) 0，1 2 1 2所以 4(m 3)(4k 1)4k(m 3)(8km)4(m 3) (34k )0，化简得 m3 3m60，故 m 3或 m2 3，结合 x x 0 知 m2 3，1 2即直线 AB 恒过定点 N(0,2 3)3 3(3)由 0 且 m2 3得 k ，2 21又 S | S | MN|x x | ABM ANM BNM 2 2 13232(xx )4x x1 2 1 28km 4(m3) ( )434k 34k64k 934k6 4k 9123，4k 9当且仅当 4k 912，即 k21 3 时，ABM 的面积最大，最大值为 .2 2