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1、考点二十五平面向量的基本概念及其线性运算 知识梳理1向量的有关概念(1) 向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量AB的大小叫做向量的长度(或模)，记作|AB|.(2) 零向量：长度为 0 的向量叫做零向量，其方向是任意的(3) 单位向量：长度等于 1 个单位长度的向量叫做单位向量(4) 平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量平行向量又称为共线向量，任一组平行向 量都可以移到同一直线上规定：0 与任一向量平行(5) 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6) 相反向量：与向量 a 长度相等且方向相反的向量叫做 a 的相反向量规定零向量的相反向量仍是 零向量2.向量的加法(1)
2、 定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法(2) 法则：三角形法则；平行四边形法则(3) 运算律：abba；(ab)ca(bc) 3.向量的减法(1) 定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法 (2) 法则：三角形法则(3) 运算律：aba(b)4.向量的数乘(1) 实数 与向量 a 的积是一个向量，记作 a，它的长度与方向规定如下： |a |a； 当 0 时，a 与 a 的方向相同；当 0 时，a 与 a 的方向相反；当 0 时，a0.(2) 运算律：设 、R，则： (a)()a； ()aaa； (ab)ab5. 向量共线的判定定理a 是一个非零向量，若存在一个实数 ，使得 ba，则向量 b
3、 与非零向量 a 共线注意：两向量相加、相减结果仍是一个向量；数乘一个向量，所得结果也是一个向量向量加法的三角形法则的要点是“首尾相连，指向终点”，即第二个向量的起点和第一个向量的终点 重合，和向量由第一个向量的起点指向第二个向量的终点；向量减法的三角形法则要点是“起点重 合，指向被减”，即作向量减法时，将两个向量的起点重合，然后连接两向量的终点，差向量由减向 量的终点指向被减向量的终点平行四边形法则的要点是“起点重合”，即两向量的起点相同典例剖析题型一 平面向量的基本概念例 1 给出下列命题： 1 向量AB的长度与向量BA的长度相等；2 两个非零向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向
4、相同或相反；3 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；4 两个有公共终点的向量一定是共线向量其中不正确命题的个数为_.答案 1 解析 对于，在ABC 中，BA与CA有公共终点 A，但不是共线向量，故错正确. 变式训练 下列命题中，正确的是_(填序号)1 有向线段就是向量，向量就是有向线段；2 向量 a 与向量 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反； 3 向量AB与向量CD共线，则 A、B、C、D 四点共线；4 如果 ab，bc，那么 ac；5 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小答案 解析 不正确，向量可以用有向线段表示，但向量不是有向线段，有向线段也不是向量； 不正确，若
5、a 与 b 中有一个为零向量，零向量的方向是不确定的，故两向量方向不一定相同或相 反；3 不正确，共线向量所在的直线可以重合，也可以平行；4 不正确，如果 b0，则 a 与 c 不一定平行；正确，向量既有大小，又有方向，不能比较大小；向量的模均为实数，可以比较大小解题要点 注意向量平行与直线平行的区别与联系，两向量平行，指两向量对应的有向线段所在直线平行或重合，这点与直线平行有区别另外，平行向量又称共线向量，它们均与起点无关. 题型二 平面向量的线性表示例 2 如图，正方形 ABCD 中，点 E 是 DC 的中点，点 F 是 BC 的一个三等分点(靠近 B)，那么EF _.答案1 2 AB A
6、D2 3 1 解析 在CEF 中，有EFECCF，因为点 E 为 DC 的中点，所以EC DC.因为点 F 为 BC 的一2 2 个三等分点，所以CF CB.3 1 2 1 2 1 2 所以EF DC CB AB DA AB AD.2 3 2 3 2 3 变式训练 如图，在正六边形 ABCDEF 中，BACDEF等于( )答案 CF 解析 如图，在正六边形 ABCDEF 中， CDAF，BFCE， BACDEFBAAFEFBFEFCEEFCF.解题要点 在表示向量时，注意基向量的选取，解题时要善于运用多边形法则来进行求解 题型三 向量的共线例 3 设 a，b 是两个不共线的非零向量，若 8ak
7、b 与 ka2b 共线，则实数 k_. 答案 4解析 因为 8akb 与 ka2b 共线，所以存在实数 ，使 8akb(ka2b)，即(8k)a(k2)b8k0，0.又 a，b 是两个不共线的非零向量，故k20，解得 k4.变式训练 设 e ，e 是两个不共线向量，已知AB2e 8e ，1 2 1 2 CBe 3e ，CD2e e .1 2 1 2(1)求证：A，B，D 三点共线；(2)若BF3e ke ，且 B，D，F 三点共线，求 k 的值1 2 解析 (1)证明：由已知得BDCDCB(2e e )(e 3e )e 4e1 2 1 2 1 2 AB2e 8e ，AB2BD，1 2又AB 与
8、 BD 有公共点 B，A，B，D 三点共线 (2)由(1)可知BDe 4e ，且BF3e ke ，1 2 1 2 B，D，F 三点共线，得BFBD，即 3e ke e 4e ，1 2 1 23，得k4，解得 k12，k12.解题要点 1.证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联 系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线 2对于三点共线有以下结论：对于平面上的任一点O，OA，OB不共线，若 P，A，B 共线，且OP xOAyOB(x，yR)，则 xy1. 1 3.中点的向量表示：若 A 是 BC 外一点，D 是 BC 中点，则AD (ACAB)2当堂练习1
9、(2015 四川文)设向量 a(2,4)与向量 b(x,6)共线，则实数 x 等于_.答案 3解析 a(2,4)，b(x,6)，ab，4x260，x3.2下列等式：0aa；(a)a；a(a)0；a0a；aba(b)其中 正确的个数是_.答案 4 个解析 a(a)0，故错，其余等式均正确.3. 若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是_. 答案 EFOFOE 解析 EFEOOFOFOE. 4如图，已知ABa，ACb，BD3DC，用 a，b 表示AD，则AD_.答案1 3a b4 4 解析 CBABACab，又BD3DC， 1 1CD CB (ab)，4 4 1 1 3ADACCD
10、b (ab) a b.4 4 45设 D，E，F 分别 ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC_.答案 AD 1 1 1 解析 EBEFFBEF AB，FCFEECFE AC，EBFC (ABAC)AD.2 2 2课后作业一、 填空题1下列说法正确的个数是_.1 温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；2 零向量没有方向；3 向量的模一定是正数；4 非零向量的单位向量是唯一的答案 0解析 错误，只有速度和位移是向量；错误，零向量是有方向的，它的方向是任意的；错误， |0|0；显然错误2给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量 2 两个向量不能比较大小，但它们的模能比较
11、大小3 a0( 为实数)，则 必为零其中错误的命题的个数为_.答案 2解析 错误，两向量共线要看其方向而不是起点或终点2 正确，因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较 大小3 错误，当 a0 时，不论 为何值，a0. 3已知点 O 为ABC 外接圆的圆心，且OAOBCO0， ABC 的内角 A 等于_. 答案 30 解析 由OAOBCO0 得OAOBOC，由 O 为ABC 外接圆的圆心，结合向量加法的几何意 义知四边形 OACB 为菱形，且CAO60，故 A30. |BC|4已知平面上不共线的四点 O，A，B，C.若OA2OC3OB，则 的值为_.|AB
12、|答案12 |BC| 1 解析 OA2OC3OB，2OC2OBOBOA，即 2BCAB，2|BC|AB|， . 2|AB|5对于非零向量 a 与 b，“a2b0”是“ab”的_条件答案 充分不必要解析 “a2b0”“ab”，但“ab” / “a2b0”，所以“a2b0”是“ab”的 充分不必要条件6已知 ABCD 为平行四边形，若向量ABa，ACb，则向量BD为_.答案 b2a7已知向量 a，b 不共线，ckab(kR)，dab，如果 cd，那么_. (填序号)k1 且 c 与 d 同向 k1 且 c 与 d 同向k1 且 c 与 d 反向 k1 且 c 与 d 反向答案 解析 由题意可设 c
13、d，即 kab(ab)(k)a(1)b.k0，a, b 不共线，10.k1.c 与 d 反向. 8设 M 是ABC 所在平面内的一点，BCBA2BM，则MCMA_. 答案 MCMA022 解析 BCBA2BM，MCMBMAMB2BM，即MAMC2BM2MB0.9(2015 新课标 II 理)设向量 a，b 不平行，向量 ab 与 a2b 平行，则实数 _.答案12解析 向量 a，b 不平行，a2b0，又向量 ab 与 a2b 平行，则存在唯一的实数 ，使 a，b(a2b)成立，即 aba2b，则得12，1 解得 . 10在 ABCD 中，ABa，ADb，AN3NC，M 为 BC 的中点，则MN
14、_(用 a，b 表示) 1 1答案 a b4 4 1 1 1 1 1 1解析 MNMCCN AD AC b (ab) a b.2 4 2 4 4 4 11在四边形 ABCD 中，AB2DC，|AD|BC|，则四边形 ABCD 的形状是_答案 等腰梯形 解析 AB2DC，ABDC，且 AB2DC，又|AD|BC|，ADBC，四边形 ABCD 为等腰 梯形二、解答题12已知两个非零向量 a 与 b 不共线 (1) 若ABab，BC2a8b，CD3(ab)求证：A、B、D 三点共线；(2) 试确定实数 k，使 kab 和 akb 共线 解析 (1)ABab，BC2a8b，CD3(ab)， BDBCC
15、D2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5AB. AB、BD共线，又因为它们有公共点 B，A、B、D 三点共线(2)kab 与 akb 共线，存在实数 ，使 kab(akb)，即 kabakb.(k)a(k1)b.a、b 是不共线的两个非零向量，kk10，k 10.k1.经检验，k1 均符合题意 1 2 13在ABC 中，AN NC，P 是 BN 上的一点，若APmAB AC，求实数 m 的值3 11 解析 如题图所示，APABBP， P 为 BN 上一点，则BPkBN， APABkBNABk(ANAB)， 1 1 又AN NC，即AN AC， 3 4 k 因此AP(1k)AB AC，4k 2所以 1km，且 ，4 118 3解得 k ，则 m1k . 11 11