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1、1N(1,1,1)，E，1，0，1NE，0，1，AM(1,0,1)210|NE|AM|2高考达标检测（三十三）空间向量2综合折叠、探索1如图所示，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD平面ABCD，NB平面ABCD，且MDNB1，E为BC的中点(1)求异面直线NE与AM所成角的余弦值；(2)在线段AN上是否存在点S，使ES平面AMN？若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由解:(1)由题意知，DA，DC，DM两两垂直，故以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz、由题意易得D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(0,0,1)，C(0,1,0)，B(1,1,0)，221|NEAM|10|co
2、sNE，AM|，52异面直线NE与AM所成角的余弦值为1010、1122又EA，1，0，ESEAAS，1，、(2)假设在线段AN上存在点S，使ES平面AMN，连接AE、AN(0,1,1)，可设ASAN(0，)，ESAM0，由ES平面AMN，得ESAN0，10，即20，1112故，此时AS0，|AS|，经检验，当AS22222时，ES平面AMN、2故线段AN上存在点S，使得ES平面AMN，此时AS22、2如图，在ABC中，C90，ACBC3a，点P在AB上，PEBC交AC于点E，PFAC交BC于点F、沿PE将APE翻折成APE，使得平面APE平面ABC；沿PF将BPF翻折成BPF，使得平面BPF
3、平面ABC，如图2、(1)求证:BC平面APE；(2)若AP2PB，求二面角APCB的正切值CP5EM255FN2525解:(1)证明:因为FCPE，FC平面APE，PE平面APE，所以FC平面APE、因为平面APE平面ABC，且平面APE平面ABCPE，AEPE，所以AE平面ABC、同理BF平面ABC，所以BFAE，从而BF平面APE、又FCBFF，所以平面BCF平面APE，从而BC平面APE、(2)法一:因为ACBC3a，AP2PB，所以CEa，EA2a，PE2a，PC5a、如图，过E作EMPC，垂足为M，连接AM、由(1)知AE平面ABC，可得AEPC，所以PC平面AEM，所以AMPC、
4、所以AME即二面角APCE的平面角CEPE25在PEC中，由等面积法易得EMa，AE2a所以在AEM中，可得tanAME5、a过F作FNPC，垂足为N，连接BN、同理可得BNF即二面角BPCF的平面角，BFa5且tanBNF、a设二面角APCB的大小为，则AMEBNF，225所以tantan(AMEBNF)15555，即二面角APCB的正切值为5、法二:易知EC，EP，EA两两垂直，可建立如图所示的空间直角坐标系Exyz、则C(a,0,0)，P(0,2a,0)，A(0,0,2a)，B(a,2a，a)所以AC(a,0，2a)，AP(0,2a，2a)，BC(0，2a，a)，BP(a,0，a)设平面
5、ACP的一个法向量为m(x，y,1)，mAC0，mAP0，则ax2a0，即2ay2a0，x2，解得y1，所以平面ACP的一个法向量为m(2,1,1)设平面BCP的一个法向量为n(x，y，1)，nBC0，nBP0，2则2aya0，即axa0，x1，解得1y，12所以平面BCP的一个法向量为n1，1、设二面角APCB的大小为，易知为锐角，则cos326362|mn|m|n|6，(2)在线段AM上是否存在点P，使二面角PECD的大小为？若存在，求出AP的长h；从而可得tan5，即二面角APCB的正切值为5、3、在如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADNM是矩形，平面ADNM平面ABCD，DA
6、B60，AD2，AM1，E为AB的中点(1)求证:AN平面MEC；6若不存在，请说明理由解:(1)证明:如图，连接NB交MC于点F，连接EF、6由已知可得四边形BCNM是平行四边形，F是BN的中点，又E是AB的中点，ANEF、又EF平面MEC，AN平面MEC，AN平面MEC、(2)假设线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为、在AM上取一点P，连接EP，CP、由于四边形ABCD是菱形，且DAB60，E是AB的中点，可得DEAB，所以DECD、因为四边形ADNM是矩形，所以DNAD、又平面ADNM平面ABCD，平面ADNM平面ABCDAD，DN平面ABCD，以DE，DC，DN所在直线为x轴，
7、y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则D(0,0,0)，E(3，0,0)，C(0,2,0)，P(3，1，h)，则CE(3，2,0)，EP(0，1，h)，设平面PEC的法向量为n1(x，y，z)，则CEn0，1EPn0，13x2y0，yhz0，nn2337cosn1，n21|n1|n2|232767令y3h，则n1(2h，3h，3)，又平面DEC的法向量n2(0,0,1)，解得h，7h7在线段AM上存在点P，使二面角PECD的大小为，此时h、4如图，已知在长方形ABCD中，AB2，A1，B1分别是边AD，BC上的点，且AA1BB11，A1E垂直B1D于E，F为AB的中点把长方形ABC
8、D沿直线A1B1折起，使得平面AA1B1B平面A1B1CD，且直线B1D与平面AA1B1B所成的角为30、(1)求异面直线A1E，B1F所成角的余弦值；(2)求二面角FB1DA1的余弦值解:由已知条件可得A1A，A1B1，A1D两两垂直，可建立如图所示的空DB1A130，又A1B1AB2，A1EB1D，所以A1E1，A1D322D0，0、(1)因为A1E，0，B1F(1,0,1)，2A1EB1F2所以cosA1E，B1F4|A1E|B1F|间直角坐标系，由已知AB2，AA1BB11，可得A1(0,0,0)，B1(2,0,0)，F(1,0,1)又A1D平面AA1B1B，所以B1D与平面AA1B1B所成的角为2313，从而易得E，0，32313221、24所以异面直线A1E，B1F所成角的余弦值为2、易知B1D2，0，(2)易知平面A1B1CD的一个法向量m(0,0,1)设n(x，y，z)是平面B1DF的法向量，23n0，B1Fn0，所以B1Dxz0，即232x3y0.|m|n|5令x1，得n(1，3，1)mn5所以cosm，n、由图知二面角FB1DA1为锐角，5所以二面角FB1DA1的余弦值为5、