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1、七巧板能拼出多少种凸多边形奉化市大堰初中 董孟雄一、问题的提出问题： 对正方形ABCD按如图1分划,其中E,F分别是BC,AB的中点,M,N,G分别是OA,OC,EF的中点,沿分划线可以剪出一副由七块部件组成的“七巧板”.设正方形OGFM的边长为1.请用这幅七巧板既不留下一丝空隙,又不相互重叠,各拼出1种周长最大与最小的凸多边形,画在下面,计算最大周长与最小周长各是多少？参考答案：如图2,周长最大；如图3,周长最小.图2中的多边形周长为什么是最大的？图3中的多边形周长为什么又是最小的？笔者亦是百思不得其解,只能换个角度思考：七巧板到底能拼出多少种凸多边形？二、问题的分析1. 剪出的七块部件如下
2、图4所示,出现了1,2,四类线段共23条,其中长度为1的线段10条,长度为的线段6条,长度为2的线段5条,长度为的线段2条.2. 七块部件的内角总和1620,其中9个直角,12个45角,2个135角.3. 不论拼成哪种多边形,其面积为常量8.4. 可以从凸多边形的边数分类讨论.三、问题的解决1. 拼成三角形三角形的内角和等于180,由七巧板角的特征,只有180=90+45+45.所以拼成的三角形必为等腰直角三角形（唯一）.因为面积为8,所以直角三角形的直角边长为4,如图5.2. 拼成四边形.四边形的内角和等于360,由七巧板角的特征,有360= 904= 902+451+1351=1352+4
3、52.2.1 360= 904拼成的四边形为正方形或长方形.若为正方形,则图形唯一确定,如图6.若是长方形,因为面积是8,所以长,宽分别为4,2或.长,宽分别的矩形拼不出来.理由如下：边长为的矩形其周长为,而七巧板中含的线段总和也只有,即所有长度含的线段都应成为矩形边的一部分.平行四边形的那块不可能做到.所以,长,宽分别的矩形拼不出来.长,宽分别为4,2的矩形如图7.2.2 360=902+451+1351若两个直角相邻,则拼成的四边形为直角梯形.直角梯形的高不可能为4,若高为4,则一腰长为,不存在这类线段.直角若梯形的高为,则上下底和为,如图8.若梯形的高为4,则上下底和为8,如图9.若两个
4、直角不相邻,则所得四边形如图10-1所示.过点A作AECD与E,过点B作BFAE于F,连结BD,如图10-2.设CE=n,ED=m,则AB=,AD=,BC=m-n,(nm)因为四边形面积为8,所以SABD+SDBC=mn+(m+n)(m-n)=8 m2-n2+2mn=16 nm 16=m2-n2+2mnm2-n2+2n2 2n2 n28,n=2或n=1.当n=2或n=1时,m都不是整数.所以拼不出如图10-1所示的四边形.2.3 360=1352+452若两个135角相邻,则拼成的四边形是等腰梯形,如图11所示.若两个135角相对,则拼成的四边形是平行四边形,如图12所示.3. 拼成五边形五边
5、形的内角和等于540,由七巧板角的特征,有540= 1353+901+451 =1352+903 3.1 540= 1353+901+451若三个135角相邻,则能构成这类五边形的最小面积为6.5,如图13.比它略大的五边形面积必超过8,所以这类五边形也不能拼成.若三个135角中的一个与其余两个不相邻,则拼成的五边形如图14所示.3.2 若540=1352+903 若三个90角相邻,如图15.假若m,n是整数,则x也是整数,且mx,nx.由,得x是偶数 x4,又x是偶数 x=2当x=2时,mn=10,不存在大于2的整数解；假若m,n是的整数倍,则x也是的整数倍.设,(a,b,t均为整数,且at
6、,bt,).由,得2ab-t2=8,t为偶数 2ab-t2=8 8=2ab-t2 t2 t=2,当t=2时,ab=6,不存在大于2 的整数解.所以,不存在这样的五边形.若三个90角中的一个与其余两个不相邻,则拼成的五边形如图16所示.4. 拼成六边形六边形的内角和等于720,由七巧板角的特征,有720=1355+901= 1354+9024.1 若720=1355+901拼出的四边形面积至少为9.5,如图17.所以这类六边形不能拼成.4.2 若720= 1354+902若两个直角相邻,则拼成的六边形如图18所示.若两个直角不相邻,则拼成的六边形如图19、20、21所示.5. 不能拼成七边形,八
7、边形.七边形的内角和等于900,由七巧板角的特征,有900=1356+901,这样的七边形最小面积为7.5,稍大些则必超过8.所以不能拼成七边形.同理,也不能拼成八边形.6. 不能拼成边数大于8的多边形因为七巧板能提供的最大内角为135.对于n边形,有135n180(n-2),得n8.所以不能拼成边数大于8的多边形.至此,七巧板能拼出13中不同形状的凸多边形.四、问题的反思1. 本题周长的最大值或最小值,很难（几乎不可能）从理论上证明,图形存在多样性的探讨情况也很复杂,因此这样的问题是不是适宜当作笔试的题目？笔者认为这个问题更适宜当作一个话题（课题）,在课堂活动中探究.2. 上述问题的解答过程有些环节不甚严密,请教方家.