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1、绝密本科目考试启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合A=x|1x1，则AB=（A）（1，1）（B）（1，2）（C）（1，+）（D）（1，+）（2）已知复数z=2+i，则zz=（A）3（B）5（C）3（D）5（3）下列函数中，在区间（0，+）上单调递增的是（A）y=x21（B）y=2-x（C）y=log1x2（D）
2、y=1x（4）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）1（B）2（C）3（D）4（5）已知双曲线x2a2-y2=1（a0）的离心率是5，则a=（A）6（B）4（C）2（D）12（6）设函数f（x）=cosx+bsinx（b为常数），则“b=0”是“f（x）为偶函数”的（A）充分而不必要条件（C）充分必要条件（B）必要而不充分条件（D）既不充分也不必要条件（7）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足mm=5lg1，2EE212其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（A）1010.
3、1（B）10.1（C）lg10.1（D）10-10.1.（8）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为图中阴影区域的面积的最大值为（A）4+4cos（B）4+4sin（C）2+2cos（D）2+2sin第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。（9）已知向量a=（4，3），b=（6，m），且ab，则m=_（10）若x，y满足y-1,x2,则y-x的最小值为_，最大值为_4x-3y+10,（11）设抛物线y2=4x的焦点为F，准线为l则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为_（12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如
4、图所示如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为_（13）已知l，m是平面a外的两条不同直线给出下列三个论断：lm；ma；la以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：_（14）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%当x=10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付_元；在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价
5、的七折，则x的最大值为_三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（15）（本小题13分）c在ABC中，a=3，b=2，cosB=-12（）求b，c的值；（）求sin（B+C）的值（16）（本小题13分）设an是等差数列，a1=10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列（）求an的通项公式；（）记an的前n项和为Sn，求Sn的最小值（17）（本小题12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变近年来，移动支付已成为主要支付方式之一为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方
6、式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额不大于2000元大于2000元支付方式仅使用A仅使用B27人24人3人1人（）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元结合（）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由（18）（本小题14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底部ABCD为菱形，E
7、为CD的中点（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由（19）（本小题14分）已知椭圆C:x2y2+a2b2=1的右焦点为(1,0)，且经过点A(0,1)（）求椭圆C的方程；（）设O为原点，直线l:y=kx+t(t1)与椭圆C交于两个不同点P，Q，直线AP与x轴交于点M，直线AQ与x轴交于点N，若|OM|ON|=2，求证：直线l经过定点（20）（本小题14分）已知函数f(x)=14x3-x2+x（）求曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程；（）当x-2,4时，求证：x-6f(x)x；（）设F(x)=|f(x)-
8、(x+a)|(aR)，记F(x)在区间-2,4上的最大值为M（a），当M（a）最小时，求a的值（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）绝密启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）参考答案一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）（1）C（2）D（3）A（5）D（6）C（7）A二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）（4）B（8）B3（9）8（10）（11）(x-1)2+y2=4（12）40（13）若lm,la，则ma（答案不唯一）（14）13015三、解答题（共6小题，共80分）（15）（共13分）解：（）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得1b
9、2=32+c2-23c(-)2因为b=c+2，1所以(c+2)2=32+c2-23c(-)2解得c=5所以b=712得sinB=bsinB=（）由cosB=-1由正弦定理得sinA=a323314所以sin(B+C)=sinA=33在ABC中，B+C=p-A14（16）（共13分）解：（）设a的公差为dn因为a1=-10，所以a2=-10+d,a3=-10+2d,a4=-10+3d因为a2+10,a3+8,a4+6成等比数列，所以(a+8)2=(a+10)(a+6)324所以(-2+2d)2=d(-4+3d)解得d=2所以an=a1+(n-1)d=2n-12（）由（）知，an=2n-12所以，
10、当n7时，an0；当n6时，an0所以，Sn的最小值为S6=-30（17）（共12分）解：（）由题知，样本中仅使用A的学生有27+3=30人，仅使用B的学生有24+1=25人，A，B两种支付方式都不使用的学生有5人故样本中A，B两种支付方式都使用的学生有10030255=40人估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数为401001000=400（）记事件C为“从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于2000元”，则P(C)=1=0.0425（）记事件E为“从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，该学生本月的支付金额大于2000元”假设样本仅使用B的学生中，本月支付金
11、额大于2000元的人数没有变化，则由（II）知，P(E)=0.04答案示例1：可以认为有变化理由如下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不容易发生，一旦发生，就有理由认为本月支付金额大于2000元的人数发生了变化所以可以认为有变化答案示例2：无法确定有没有变化理由如下：事件E是随机事件，P(E)比较小，一般不容易发生，但还是有可能发生的所以无法确定有没有变化（18）（共14分）解：（）因为PA平面ABCD，所以PABD又因为底面ABCD为菱形，所以BDAC所以BD平面PAC（）因为PA平面ABCD，AE平面ABCD，所以PAAE因为底面ABCD为菱形，ABC=60，且E为CD的中点，所以AE
12、CD所以ABAE所以AE平面PAB所以平面PAB平面PAE（）棱PB上存在点F，使得CF平面PAE取F为PB的中点，取G为PA的中点，连结CF，FG，EG则FGAB，且FG=12AB因为底面ABCD为菱形，且E为CD的中点，所以CEAB，且CE=12AB所以FGCE，且FG=CE所以四边形CEGF为平行四边形所以CFEG因为CF平面PAE，EG平面PAE，则直线AP的方程为y=y1-1x+1所以CF平面PAE（19）（共14分）解：（I）由题意得，b2=1，c=1所以a2=b2+c2=2x2所以椭圆C的方程为+y2=12（）设P（x1，y1），Q（x2，y2），x1令y=0，得点M的横坐标xy
13、11M=-x-1又y=kx+t，从而|OM|=x11M=|x1kx+t-11|同理，|ON|=|x2kx+t-12|+y4kt2t2-21+2k21+2k2所以|OM|ON|=|xy=kx+t,由x2得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=02=12则x+x=-，xx=1212x21|kx+t-1kx+t-112=|x1x2k2xx+k(t-1)(x+x)+(t-1)212122t2-2|=|1+2k22t2-24ktk2+k(t-1)(-)+(t-1)21+2k21+2k2|=2|1+t|1-t又|OM|ON|=2，所以2|1+t|=21-t解得t=0，所以直线l经过定点（0，0）（20
14、）（共14分）解：（）由f(x)=13x3-x2+x得f(x)=x2-2x+144令f(x)=1，即x2-2x+1=1，得x=0或x=384388又f(0)=0，f()=，32788所以曲线y=f(x)的斜率为1的切线方程是y=x与y-=x-，27364即y=x与y=x-27（）令g(x)=f(x)-x,x-2,4由g(x)=13x3-x2得g(x)=x2-2x44令g(x)=0得x=0或x=83g(x),g(x)的情况如下：xg(x)(0,-2(-2,0)08)3+-838(,4)3+4270g(x)-60-64所以g(x)的最小值为-6，最大值为0故-6g(x)0，即x-6f(x)x（）由（）知，当a3；当a-3时，M(a)F(-2)=|g(-2)-a|=6+a3；当a=-3时，M(a)=3综上，当M(a)最小时，a=-3