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1、精品文档用心整理沪教版初一数学下册知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习全等三角形单元复习与巩固（基础）【学习目标】1.理解并会应用三角形三边间的关系能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.2.了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；3探索三角形全等的判定方法，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；4了解等腰三角形、等边三角形的有关概念，并掌握它们的性质以及判定方法.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边。推论：三角形任意两边的之差小于第三边。要点诠释：（1）理
2、论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围三角形的分类：按“角”分类：按“边”分类：三角形的重要线段：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.三角形的内角和与外角和：三角形内角和定理：三角形的内角和为180三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相
3、邻的两个内角的和（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角三角形的外角和：三角形的外角和等于360.要点二、全等三角形的判定与性质全等三角形对应边相等，对应角相等.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理全等三角形判定1“边角边”：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）.全等三角形判定2“角边角”：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）.全等三角形判定3“角角边”：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”）全等三角形判定4“边边边”：三边对应相等的两个三角形全等.
4、（可以简写成“边边边”或“SSS”）.要点三、判定方法的选择1.选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表：已知条件一边一角对应相等两角对应相等两边对应相等可选择的判定方法SASAASASAASAAASSASSSS2.如何选择三角形证全等（1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等；（2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等；（3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等；（4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形.要点四、等腰三角形等腰三角形的性质）性质1：等腰
5、三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）等腰三角形的性质的作用性质1证明同一个三角形中的两角相等.是证明角相等的一个重要依据性质2用来证明线段相等，角相等，垂直关系等等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴等腰三角形的判定.如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）要点诠释：等腰三角形的判定是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中的角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据.等腰三角形的性质定理和判定定
6、理是互逆定理.等边三角形的性质：等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60.等边三角形的判定：（1）三条边都相等的三角形是等边三角形；（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；（3）有一个角是60的等腰三角形是等边三角形【典型例题】资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理类型一、三角形的有关概念和性质1、（2012云南）如图，在ABC中，B=67，C=33，AD是ABC的角平分线，则CAD的度数为（）A40B45C50D55【思路点拨】首先利用三角形内角和定理求得BAC的度数，然后利用角平分线的性质求得CAD的度数即可【答案】A；【解析】解：B=67，C=33，BAC=180-B-
7、C=180-67-33=80AD是ABC的角平分线，CAD=BAC=80=40【总结升华】本题考查了三角形的内角和定理，属于基础题，比较简单类型二、全等三角形的性质和判定2、两个大小不同的等腰直角三角形三角板如图1所示放置，图2是由它抽象出的几何图形，B，C，E在同一条直线上，连结DC(1)请找出图2中的全等三角形，并给予证明（说明：结论中不得含有未标识的字母）；(2)证明：DCBE.【思路点拨】ABE与ACD中，已经有两边，夹角可以通过等量代换找到，从而证明ABEACD；通过全等三角形的性质，通过导角可证垂直.【答案与解析】解：（）ABEACD证明：BACEAD90BACCAEEADCAE即
8、BAECAD又ABAC，AEAD，ABEACD（SAS）（2）由（1）得BEACDA，又COEAODBEACOECDAAOD90则有DCE1809090，所以DCBE.【总结升华】我们可以试着从变换的角度看待ABE与ACD，后一个三角形是前一个三角形绕着A点逆时针旋转90得到的，对应边的夹角等于旋转的角度90，即DCBE.举一反三：【变式】如图，已知：AEAB，ADAC，ABAC，BC，求证：BDCE.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】证明：AEAB，ADAC，EABDAC90EABDAEDACDAE，即DABEAC.在DAB与EAC中，DABEAC（ASA）BDCE.类型
9、三、巧引辅助线构造全等三角形3、如图：在四边形ABCD中，ADCB，ABCD.求证：BD.【思路点拨】B与D不包含在任何两个三角形中，只有添加辅助线AC，根据平行线的性质，可构造出全等三角形.【答案与解析】证明：连接AC，ADCB，ABCD.12，34在ABC与CDA中ABCCDA（ASA）BD【总结升华】添加公共边作为辅助线的时候不能割裂所给的条件，如果证AC，则连接对角线BD.4、己知：在ABC中，AD为中线.求证：AD【答案与解析】证明：延长AD至E，使DEAD，AD为中线，BDCD在ADC与EDB中ADCEDB（SAS）ACBE在ABE中，ABBEAE，即ABAC2ADAD.【总结升华
10、】用倍长中线法可将线段AC，2AD，AB转化到同一个三角形中，把分散的条件集中起来.倍长中线法实际上是绕着中点D旋转180.举一反三：资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【变式】若三角形的两边长分别为5和7,则第三边的中线长的取值范围是()A.16B.57C.212D.无法确定【答案】A；提示：倍长中线构造全等三角形，7575，所以选A选项.类型四、全等三角形动态型问题5、如图（1），ABBD于点B，EDBD于点D，点C是BD上一点且BCDE，CDAB（1）试判断AC与CE的位置关系，并说明理由；（2）如图（），若把CDE沿直线BD向左平移，使CDE的顶点C与B重合，此时第（1）问中
11、AC与BE的位置关系还成立吗？（注意字母的变化）【答案与解析】证明：（1）ACCE理由如下：在ABC和CDE中，ABCCDE（SAS）ACBE又EECD90，ACBECD90ACCE（2）ABC各顶点的位置没动，在CDE平移过程中，一直还有，BCDE，ABCEDC90，也一直有ABC(SAS)ACBE而E90，ACB90故有AC，即AC与BE的位置关系仍成立【总结升华】变还是不变，就看在运动的过程中，本质条件（本题中的两三角形全等）变还是没变本质条件变了，结论就会变；本质条件不变，仅仅是图形的位置变了。结论仍然不变举一反三：【变式】如图(1)，ABC中，BC，CDE中，CECD，现把两个三角形
12、的C点重合，且使BCAECD，连接BE，AD求证：BE若将DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等吗?为什么?【答案】证明：BCAECD，BCAECAECDECA，即BCEACD在ADC与BEC中ADCBEC(SAS)BEAD若将DEC绕点C旋转至图(2)，(3)所示的情况时，其余条件不变，BE与AD还相等，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理因为还是可以通过SAS证明ADCBEC.类型五、等腰三角形的性质与判定6、已知：一等腰三角形的两边长，满足方程组，则此等腰三角形的周长为（）A.5B.4C.3D.5或4【思路点拨】通过解方程组算出等腰三角形
13、的两边长，由于没有指定边长是腰还是底，所以需要分类讨论，最后还要注意检验能否构成三角形.【答案】A；【解析】解：解方程组得，当腰为1，2为底时，112，不能构成三角形，当腰为2，1为底时，能构成三角形，周长为2215【总结升华】本题从边的方面考查等腰三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去举一反三：【变式】已知等腰三角形的一个内角为70，则另两个内角的度数是（）A.55，55B.70，40C.55，55或70，40D.以上都不对【答案】C；提示：当70为顶角时,另外两个角是底角，它们的度数是相等的，为
14、（18070）255，当70为底角时,另外一个底角也是70,顶角是180140407、如图，在ABC中，点E在AB上，点D在BC上，BDBE，BADBCE，AD与CE相交于点，试判断AFC的形状，并说明理由【思路点拨】要判断AFC的形状，可通过判断角的关系来得出结论，那么就要看FAC和FCA的关系因为BADBCE，因此我们只比较BAC和BCA的关系即可【答案与解析】解：AFC是等腰三角形理由如下：在BAD与BCE中，BB，BADBCE，BDBE，BADBCE，BABC，BACBCA，BACBADBCABCE，即FACFCAAFCF，AFC是等腰三角形【总结升华】利用全等三角形来得出角相等是本题解题的关键举一反三：【变式1】如图，12，ABAD，BD，请判断AEC的形状，并说明理由【答案】解：AEC是等腰三角形理由如下：12，1323，即BACDAE，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理又ABAD，BD，ABCADE（ASA），ACAE即AEC是等腰三角形资料来源于网络仅供免费交流使用