《A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《A 知识讲解 直线与双曲线的位置关系(理).docx（11页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、直线与双曲线的位置关系编稿：张希勇审稿：李霞【学习目标】1.能正熟练使用直接法、待定系数法、定义法求双曲线的方程；2.能熟练运用几何性质（如范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）解决相关问题；.3.能够把直线与双曲线的位置关系的问题转化为方程组解的问题，判断位置关系及解决相关问题【知识网络】【要点梳理】【高清课堂：双曲线的性质371712一、复习】要点一、双曲线的定义及其标准方程双曲线的定义在平面内，到两个定点F、F的距离之差的绝对值等于常数2a（a大于0且2a0,b0)说明：焦点是F1(-c，0)、F2(c，0)，其中c2=a2-b2焦点在y轴上的双曲线的标准方程y2x2-=1(a0,b0)a
2、2b2说明：焦点是F1(0，-c)、F2(0，c)，其中c2=a2-b2要点诠释：求双曲线的标准方程应从“定形”、“定式”和“定值”三个方面去思考.“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”根据“形”设双曲线方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a,b的值.要点二、双曲线的几何性质标准方程x2y2-2ab2=1(a0,b0)y2x2-2ab2=1(a0,b0)图形性焦点焦距范围对称性F(-c,0)，F(c,0)F(0,-c)，F(0,c)1212|FF|=2c(c=a2+b2)|FF|=2c(c=a2+b2)1212xx-a或xa，yRyy
3、-a或ya，xR关于x轴、y轴和原点对称质顶点(a,0)(0,a)轴实轴长=2a，虚轴长=2b离心率e=ca(e1)渐近线方程y=baxy=axb要点三、直线与双曲线的位置关系直线与双曲线的位置关系将直线的方程y=kx+m与双曲线的方程x2y2-2ab2=1(a0,b0)联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为.(b2-a2k2)x2-2a2mkx-a2m2-a2b2=0若b2-a2k2=0,即k=ba，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b若b2-a2k20,即k，a0直线和双曲线相交直线和双曲线相交，有两个交点；0直线和双曲线相切直线和双曲线相切，有一个公共
4、点；0直线和双曲线相离直线和双曲线相离，无公共点直线与双曲线的相交弦设直线y=kx+m交双曲线x2y2-a2b2=1(a0,b0)于点P(x,y),P(x,y),两点，则111222x-xk2|PP|=(x-x)2+(y-y)2121212=(x-x)21+(y1-y2)2=1+k2|x-x|121212同理可得|PP|=1+1|y-y|(k0)1212这里|x-x|,|y-y|,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：1212|x-x|=(x+x)2-4xx121212|y-y|=(y+y)2-4yy121212双曲线的中点弦问题遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.aba2y在双曲
5、线x2y2b2x-=1(a0,b0)中，以P(x,y)为中点的弦所在直线的斜率k=-0；22000涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来相互转化，.同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”.要点四、双曲线的实际应用与最值问题对于双曲线的实际应用问题，我们要抽象出相应的数学问题，即建立数学模型，一般要先建立直角坐标系，然后利用双曲线定义，构建参数a,b,c之间的关系，得到双曲线方程，利用方程求解双曲线中的最值问题，按照转化途径
6、主要有以下三种：（1）利用定义转化（2）利用双曲线的几何性质（3）转化为函数求最值【典型例题】类型一：双曲线的方程与性质例1.求下列双曲线的标准方程(1)与椭圆x216+y225=1共焦点，且过点(2，10)的双曲线；(2)与双曲线x216-y24=1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线【解析】(1)椭圆x2y216+25=1的焦点为(0，3)，所求双曲线方程设为：y2a2-x29-a2=1，又点(2，10)在双曲线上，10a2-49-a2=1，解得a25或a218(舍去)所求双曲线方程为y2y25-4=1.(2)双曲线x216-y24=1的焦点为(25，0)，设所求双曲线方程为：x2a2-
7、y220-a2=1，又点(32，2)在双曲线上，a2-18420-a2=1，解得a212或30(舍去)，12-所求双曲线方程为x2y28=1.【变式1】设双曲线焦点在x轴上，两条渐近线为yx，则该双曲线的离心率为()【总结升华】根据焦点所在轴的位置合理的设出方程是求双曲线方程的基本步骤。举一反三：12A5B.5C.5D.524【答案】C【变式2】（2015安徽卷）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是（）(A)x2-y2x2y2x2=1(B)-y2=1(C)-x2=1(D)y2-=14444【答案】C【解析】由题意：选项中A，B焦点在x轴，排除C项的渐近线方程为y24-x2=0，
8、即y2x，故选C.类型二：直线与双曲线的位置关系例2已知双曲线x2y2=4，直线l：y=k(x1)，讨论直线与双曲线公共点个数.【思路点拨】直线与曲线恰有一个交点，即由直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解.x2-y2=4y=k(x-1)【解析】联立方程组消去y，并依x项整理得：(1k2)x2+2k2xk24=0(1)当1k2=0即k=1时，方程可化为2x=5，x=52，方程组只有一组解，故直线与双曲线只有一个公则k-,-1(-1,1)1,，方程组有两解，故直线与双曲线有两交点.33共点(实质上是直线与渐近线平行时的两种情况，相交但不相切).(2)当1k20时，即k1，此时有=4(43k2)
9、若43k20(k21)，2323(3)若43k2=0(k21)，则k=23，方程组有解，故直线与双曲线有一个公共点(相切的情况).3(4)若43k2016k280,|k|125，4-k24-k2且x+x=122k5,xx=-12，214-k22214-k21k114x=(x+x)=,y=(y+y)=(x+x)+1=2122，4-k2y=4kx=4-k2得4x2-y2+y=0(y0).方法二：设弦的两个端点坐标为A(x,y),B(x,y)，弦中点为P(x,y)，则112214x2-y2=44x2-y2=4122得：4(x+x)(x-x)=(y+y)(y-y)，12121212y+yx+x1212
10、=4(x-x)12y-y12y4x，即=，xy-1即4x2-y2+y=0（图象的一部分）【总结升华】（1）弦长公式|AB|=1+k2|x-x|=1+121k2|y-y|；12【变式】垂直于直线x+2y-3=0的直线l被双曲线，求直线l的方程（2）注意上例中有关中点弦问题的两种处理方法.举一反三：x2y245-=1截得的弦长为2053【答案】y=2x10类型四：双曲线的综合问题例5.设P是双曲线x2y23小值为_1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A(3,1)，则|PA|PF|的最【答案】262【变式1】设A(3,2)，F为双曲线x2-=1的右焦点，在双曲线上求一点P，使得|PA|+1|P
11、F|取21,2【答案】P点的坐标为【解析】设双曲线的另一个焦点为F，则有F(2，0)，F(2,0)，连结AF交双曲线的右支于点P1，连结P1F，则|P1F|P1F|2a2.于是(|PA|PF|)min|P1A|P1F|P1A|(|P1F|2)|AF|2262.【总结升华】双曲线的定义是解决有关最值问题的重要依据举一反三：y232得最小值时，求P点的坐标.3【高清课堂：双曲线的性质371712例3】【变式2】一条斜率为1的直线l与离心率为3的双曲线x2y2-a2b2=1(a0,b0)交于P、Q两点，直uuuruuuruuuruuur线l与y轴交于R点，且OPOQ=-3,PR=3RQ，求直线和双曲线方程.【答案】直线方程y=x+1；y2双曲线方程x2-=12【变式3】（2016年山东文）已知双曲线E：x2a2y2b2=1（a0，b0）矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|=3|BC|，则E的离心率是_【解析】依题意，不妨设AB=6,AD=4作出图像如下图所示则2c=4,c=2;2a=DF-DF=5-3=2,a=1,故离心率21c2=2a1