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1、北京工业大学2017-2018学年第一学期考试试卷A答案课程名称：高等数学A课程所在学院：理学院考试班级学号姓名成绩试卷说明：1.2.3.4.5.6.本次考试为闭卷考试。本试卷共计页，共大部分，请勿漏答；考试时间为分钟，请掌握好答题时间；答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚；本试卷全部答案都写在试卷上；答题完毕，请将试卷和答题纸正面向外对叠交回，不得带出考场；考试中心提示：请你遵守考场纪律，诚信考试、公平竞争！一、填空题（每题3分，共30分）1limx25x-1-2x+51=x-222.设f(x)=sinxln(1+x)x2+b,x0x0在x=0处连续，则b=113f(a
2、)=0,f(a)=1,则极限limnf(a-)=-1nn4已知y=sin3x,n为自然数，则y(n)=3nsin(3x+np2)x=tet5设y=sint+cost,则dydxt=0=1p62p-2(cos2x+xcosx1+cos2x)dx=p27设f(x)连续，则sinxf(cosx)dx=-f(cosx)+c8.已知g(x)=x=arcsintdt,则g（0）009.微分方程y-1y=x的通解是y=x(c+x)x10.微分方程xy+y=0满足条件y(1)=1的解是y=1x二、单项选择题（每小题2分，共8分）1.函数的定义域y=ln(x+2)3-x是（C）3.设f(x)=+，则f(x)dx
3、=（A）A.(-2,3B.(-,3)C.(-2,3)D.-2,32.设f(0)=2，则当x0时，f(x)-f(0)是x的（B）A低阶无穷小量B同阶无穷小量C高阶无穷小量D等价无穷小量xsin2x241cos2xxsin2xx2cos2xx2cos2xA+CB+CC-+CD-+C22244844)ax+1=atetdt，则a=（D）4.已知lim(xx+1x-15A.1B.C.D.222三、求解下列各题（每小题5分，满分30分）1.求极限limy=(1+x2)arctan,求1x0x2-11dy2.xtanxxdx及dy解：lim1tanx-x1-（1分）解：y=2xarctan+(1+x2)x
4、tanxx0x2tanxx1x0x2-1+1x21x2tanx-xsec2x-11=lim=lim（3分）=2xarctan-1（4分）x0x3x03x2xtan2x11=lim=（5分）dy=(2xarctan-1)dx（5分）x03x23x3.设y+arcsinx=1+xexy，求dydx4.x=011+3xdx1-x2=exy+xexy(y+xy)解：y+1（4分）解：令t=3x，则x=t3,dx=3t2（1分）当x=0时，y=1，代人上式得11+3xdx=3t2dt=(3t-3+3)dt（3分）1+t1+t323y(0)=0（5分）=t2-3t+3ln(1+t)+c211=x3-3x3
5、+3ln(1+x3)+c（5分）25.xarctanxdx6.2p11+cos2xdxxarctanxdx=arctanxdx2（1分）解：p0解：101120001+cos2xdx-1=p1x28201+x2dx=2p|coxsd|x（2分）0(1-1)dxp11（4分）=2(2cosxdx-pcosxdx)（4分）=-8201+x2p0p2=p1-（5分）=22（5分）4211四、（6分）已知曲线y=f(x)于任意点处的切线斜率为ax2-3x-6，且当x=-1时，y=为2其极大值，试求曲线y=f(x)，且求函数f(x)的极小值.解：由于f(x)=ax2-3x-6，所以f(x)=a3x3-x
6、2-6x+c（1分）32由当x=-1时，y=1111a=3为其极大值可得f(-1)=,f(-1)=0，即（4分）22c=23f(x)=x3-x2-6x+22由于f(x)=3x2-3x-6=3(x-2)(x+1)，当x=2时，f(2)=0,f(2)=90故x=2时，函数f(x)取得极小值-8.（6分）1x2五、(6分)证明：当x0时，1+x-280，（1分）2821+x24(1+x)3由于f(x)=-114(1+x)3111+=(1-)0(x0)，因此f(x)在0,+)上单调44增加，（4分）当x0时，f(x)f(0)=0，从而f(x)在0,+)上单调增加，当x0时，f(x)f(0)=0，因此f
7、(x)在0,+)上单调增加，由于f(0)=0，故当x0时，有f(x)f(0)=0，即1x21+x-1)，证明在(0,1)0内至少存在一点x，使f(x)=(1-1x)f(x).（证明：设F(x)=xf(x)e-x，1分）则F(x)=f(x)e-x+xf(x)e-x-xf(x)e-x=(1-x)f(x)e-x+xf(x)e-x，F(1)=f(1)e-1，因为k1k01xe1-xf(x)dx=xe1-xf(x)=F(x)e(0x)，（2分）k所以有F(1)e=F(x)e，即F(1)=F(x).又因为F(x)在0,1上连续，(0,1)内可导，根据罗尔定理可知：在(0,1)内至少存在一点x，使F(x)=0，即f(x)=(1-1x)f(x)（3分）