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1、“过程生成”理念下：行列式概念的教学设计 摘 要：过程生成教学理念认为：教学要向学生展现有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程，基于过程生成教学理念，给出了行列式概念的教学设计。 关键词：过程生成教学理念；行列式；教学设计 教学改革最根本的问题是观念问题，如果传统的注入式观念不能根除，那么改革就只能是娓娓动听的空谈阔论，所以我国的教育改革的根本点是教学观念上的破旧立新。那么新为何也？我们认为过程生成教学理念是理想的选择。所谓过程生成教学，就是向学生展现有价值有思想有活力的、顺应学生思维与教育规律的、具有整体性连续性生成性的知识生成过程，具体论述请见
2、笔者论过程生成教学一文或见文献1，2，本文只说明两个基本观点：一是过程生成理念认为教学必须通过良好的知识生成过程使学生有思想、会思维、明事理；二是过程生成理念认为最基本的是做到通过有思想、显能力、求创新的知识生成过程潜移默化地影响、熏陶学生，并在此基础上尽可能地践行创新型的教学方法，培养学生的素质、提高学生的能力。 本文基于过程生成理念，设计行列式概念的生成过程，意在抛砖引玉，期望推广过程生成教学理念。 一、设计说明 关于行列式的教学大都是这样处理的（如文献3-5）：对角化方法解二、三阶行列式排列 阶行列式定义。为何中间插入了一个排列？为何 阶行列式要那样定义？显然，如此处理丧失了思维的连续性
3、与概念的生成性，结果只能使学生莫名其妙，不利于学生基本素质与创新能力的培养。因此本文根据过程生成教学理念，给出了 阶行列式概念的生成过程，企图改变这种传统的注入式教学方法。 二、具体设计 1、 生成二、三阶行列式： 用加减消元法解线性方程组 得： x1=，x2= 此解相当于一个求解公式，但不好记忆，于是寻找记忆方法。首先考察因为x1 与x2 的分母，因为其是由方程组的所有系数构成的，所以将方程组的系数按其位置排列并记为 D2 = a11 a12 a21 a22 ， 再比较D2 与x1 与x2 的分母a11a22-a12a21 ， 发现只要对D2 使用一种对角线规则即可轻易地记忆a11a22-a
4、12a21 ；其次考察x1 与x2的的分子，发现其形式与 a11a22-a12a21 的形式相同，并且分别用 Dx1= b1 a12 、Dx2= a11 b1 b2 a22 a21 b2 使用同样的对角线规则来记忆 x1的分子与x2 的分子也非常容易。 由此看来D2 、 Dx1、Dx2 的形式及相应的对角线规则很有使用价值， 为了使用方便，即将其抽象定义为二阶行列式，这样即得到二元一次方程组的二阶行列式求解公式x1= ，x2= 。 同样分析、处理三元线性方程组而生成三阶行列式，且得到三元一次方程组的三阶行列式求解公式。 例题：（略） 2、推广到 阶行列式： 希推广二、三元方程组的行列式求解公式
5、到 元线性方程组，为此需推广二、三阶行列式的定义到 n阶行列式Dn=aijn 。比较二、三阶行列式的对角线规则发现对角线展开规则没有规律不便推广，于是只能分析 D2与 D3展开式的特点来推广。研究： D2=aij2=a11a22-a12a21； D3=aij3=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a13a22a31-a12a21a33-a11a23a32 发现： D2的表达式的各项是取于aij2 的不同行不同列的2个元素乘积的代数和，共2！=2 项， D3的表达式的各项是取于 aij3的不同行不同列的3个元素乘积的代数和，共3！=6 项， 由此规律即可认为： Dn的展开
6、式的各项也应是取于aijn 的不同行不同列的 n个元素乘积的代数和，共n！ 项。 剩下的就是确定各项的符号。分析如下： 形式上看找不到确定符号的规律，不过仔细分析 D2=aij2=a11a22-a12a21的符号关系：a11a22 是第一行第一列的元素与第二行第二列的元素的乘积，取+，而 a12a21是第一行第二列的元素与第二行第一列的元素的乘积，取-，使我们感觉各项的符号可能与该项因子的取法相关，于是分析各项因子的选取顺序与该项符号的关系，为方便应确定一种基本选取顺序，比如规定：行按照自然顺序，而列的取法任意，于是即可写出表达式的一般项的形式如下： a1k1a2k2.ankn k1k2.kn
7、是 1，2，.，n的全排列 此时由于各项行标的排列都相同，所以只需要分析其列标排列与其符号的关系。D2 的情况如下： 而对于D3 ，列标排列中高个子在前的不止一个，于是涌现出一种思维-统计高个子在前的次数： 由此发现：当行标排列为自然排列时，各项的符号可由其列标排列中大数排在小数前面的次数的奇偶性来决定，于是为了说话方便，称k1k2.kn排列 中大数排在小数前面的总个数为 k1.kn的逆序数。因此推广行列式定义需要研究排列的逆序数及其性质。 3、排列逆序数的定义、计算及相关性质： 根据上述分析及需求，先给出相关定义，在研究所需结论： 逆序定义： n元排列 k1.ki.kj.kn中，如果 kik
8、j，则称 ki与kj 构成一个逆序。排列k1k2.kn 中所有逆序的总数称为k1k2.kn 的逆序数，用 （ k1k2.kn）表示。 奇、偶排列定义：若 （ k1k2.kn） 是奇数，则称k1k2.kn 为奇排列，否则称 k1k2.kn 为偶排列。 研究逆序数的计算方法：注意到一个事实，对于数 k1k2.kn 中的某数 ki ，与 ki构成的所有逆序的个数恰好是排在 ki 前面的并且比 ki大的数的个数，因此即可得到求 （ k1k2.kn） 的算法如下： 确定排在1前面的数的个数l1 ，划去1；确定排在2前面的数的个数l2 ，划去2； ；确定排在n-1 前面的数的个数ln-1 ，则 （ k1k
9、2.kn） =l1+l2+.+ln-1。 研究至此已经能够给出n 阶行列式定义，不过如能进一步确定其正、负项的个数则会更好，为此分析继续分析二、三阶行列式，感觉到应有结论：正项个数 负项个数，因此也就产生猜想： 在所有 n阶排列中，奇排列个数（设为p ）=偶排列的个数（设为q ）=n！/2 下面设法证明这一猜想。 因为无法直接统计奇、偶排列的个数，所以就想使用常用的证明方法： pq且qp q=p 。那么如何证明 pq且qp 呢？又因为没有具体的数量关系而不好直接推理，所以经琢磨而萌发出一个想法：如果存在一种变换方法，能够把 p个奇排列都变为 p个偶排列，那么即有 pq，同样如能把 q个偶排列变
10、为 q个奇排列，那么即有qp 。如此看来如能找到一种合适的变换方法，问题也就能够解决。 为寻找变换方法，继续分析二、三元排列，发现： 将奇排列中的某两个数码的位置对换即得到一个偶排列， 将偶排列中的某两个数码的位置对换即得到一个奇排列， 因此感觉到对换两个数码也许是所需要的方法。因此为了说话方便先为此变换方法起个名字，再尝试证明发现的正确性。 定义对换：在一个排列中，对换某两元素的位置而余者保持不变，则称对该排列施行了一次对换。 于是上述发现即是：对换改变排列的奇偶性。 如何证之？因为被对换的两个元素的位置不确定，所以很不容易统计其逆序数的变化次数，不过注意到特殊的相邻对换结论显然，于是就想到
11、使用从特殊到一般的证明策略。 至此就拟定了整个证明方案：、使用从特殊到一般的方法证明对换改变排列的奇偶性；、由的结论证明奇排列数=偶排列数。具体证明从略。 4、生成行列式概念：综合上面研究即可给出 阶行列式的定义，具体定义见相关教材，本文从略。 5、练习：（略）。 三、结束语 本文根据过程生成教学理念设计了行列式概念的生成过程，不过此设计只是一种生成过程，在具体的教学中可使用各种有效的教学方法来实现。 注释： 此文将在韩山师范学院学报2013年第3期发表。 参考文献 1 王积社. 系统科学视阈下：对三维目标的系统化解读J.大家，2012，（2，中）：112-113. 2 王积社. 过程化：三维目标视野中讲授法的诉求J. 教学与管理，2011，（33）：116-117. 3 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组. 高等代数M.3版.北京：高等教育出版社，2003. 4 张禾瑞，郝?新. 高等代数M.5版.北京：高等教育出版社，2003. 5 同济大学数学系. 线性代数M.5版.北京：高等教育出版社，2007. 作者简介：王积社（1954 -），男， 山西省晋城人， 副教授.主要研究方向： 数学机械化、数学教育。