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1、北京市西城区高二数学上学期期末考试试题理试卷满分：150分考试时间：120分钟三题号一二本卷总分151617181920分数一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1.双曲线x23-y2=1的一个焦点坐标为（）（A）(2,0)（B）(0,2)（C）(2,0)（D）(0,2)2.已知椭圆的短轴长是焦距的2倍，则椭圆的离心率为（）2（C）5（D）5（A）12（B）2153.设a,b是两个不同的平面，l是一条直线，以下命题正确的是（）（A）若a/b，l/a，则lb（C）若ab，la，则lb（B）若a/b，la，则lb（D）若ab，l/a，则l
2、b4.设mR,命题“若m0，则方程x2=m有实根”的逆否命题是（）（A）若方程x2=m有实根，则m0（B）若方程x2=m有实根，则m0（C）若方程x2=m没有实根，则m0（D）若方程x2=m没有实根，则m0）分1212别交于四个点A,B,A,B.1122（）求抛物线W,W准线间的距离；12（）证明：AB/AB；1122（）若ll，求梯形AABB面积的最小值.121221OyA2A1B1xB2北京市西城区第一学期期末试卷高二数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1.C；2.D；3.B；4.D；5.B；6.A；7.C；8.D.二、填空题：本大题共6小题，每
3、小题5分，共30分.14.碗底的直径m，碗口的直径n，碗的高度h；y2=x.9.对任意xR,都有x2+2x+50；10.1；11.12.83；13.2；n2-m24h注：一题两空的题目，第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）解()连结AC交BD于O，连结OE，因为四边形ABCD是正方形，所以O为AC中点.P又因为E是PA的中点，所以PC/OE，3分因为PC平面BDE，OE平面BDE，E所以PC/平面BDE.6分33；()因为四边形ABCD是正方形，所以BDAC.8分AD因为PA底面ABCD，且BD平面ABCD，BOC所以PABD.10分又因为A
4、CIPA=A，所以BD平面PAC，12分又CE平面PAC，所以BDCE.13分16.（本小题满分13分）解()因为PA平面ABC，BC平面ABC，所以PABC.因为BCAB，PAAB=A，所以BC平面PAB.2分所以AMBC.3分因为PA=AB，M为PB的中点，z所以AMPB.4分所以AM平面PBC.5分()如图，在平面ABC内，作Az/BC，ACBy则AP,AB,AZ两两互相垂直，建立空间直角坐标系A-xyz.PxM则A(0,0,0),P(2,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),M(1,1,0).AP=(2,0,0)，AC=(0,2,1)，AM=(1,1,0).8分nAP=0,设平
5、面APC的法向量为n=(x,y,z)，则nAC=0,即x=0,2y+z=0.令y=1，则z=-2.所以n=(0,1,-2).10分由()可知AM=(1,1,0)为平面BPC的法向量，设n,AM的夹角为a，nAM=则cosa=nAM110=.12分5210因为二面角A-PC-B为锐角，所以二面角A-PC-B的余弦值为17.（本小题满分13分）1010.13分解：()由已知，直线l的方程为y=2x，圆C圆心为(0,3)，半径为5，3分所以，圆心到直线l的距离为33=3.5分所以，所求弦长为22.6分()设A(x1,y1)，因为A为OB的中点，则B(2x1,2y1).8分又A,B圆C上，22所以x1
6、+y1-6y1+4=0，4x2+4y2-12y+4=0，即x2+y2-3y+1=0.10分111111解得y=1，x=1，11分11即A(1,1)或A(-1,1).12分所以，直线l的方程为y=x或y=-x.13分18.（本小题满分13分）解：（）设P(x,y),Q(x,y)，由已知，椭圆的左焦点为(-1,0)，1122又直线l的倾斜角为45，所以直线l的方程为y=x+1，1分y=x+1,由3x2+4y2=12得7x2+8x-8=0，3分所以x+x=-8777778，xx=-.4分12128824|PQ|=1+k2(x+x)2-4xx=2(-)2+4=.5分1212y=k(x+1),（）由3x
7、2+4y2=12得(3+4k2)x2+8k2x+4k2-12=0，6分3+4k23+4k2-8k24k2-12所以x+x=，xx=.8分1212依题意P(-x,-y),Q(x,-y)，且y=k(x+1)，y=k(x+1)，11221122所以，k=y1-y2=x+x12k(x-x)12x+x12，10分3+4k23+4k2k121+k2其中x-x=(x+x)2-4xx=，11分121212-8k231+k2结合x+x=，可得k=2.12分122解得7k2=9，k=19.（本小题满分14分）377.13分解：（）由BCCD,BC=CD=2.可得BD=22.zbn由EAED,且EA=ED=2，E可
8、得AD=22.又AB=4.所以BDAD.2分DC又平面EAD平面ABCD，AxyB平面ADE平面ABCD=AD，所以BD平面ADE.4分（）如图建立空间直角坐标系D-xyz，则D(0,0,0)，B(0,22,0)，C(-2,2,0)，E(2,0,2)，BE=(2,-22,2)，DE=(2,0,2),DC=(-2,2,0).6分即令x=1，则n=(1,1,-1).7分-x+y=0.设n=(x,y,z)是平面CDE的一个法向量，则nDE=0,nDC=0，x+z=0,设直线BE与平面CDE所成的角为a，则sina=|cos|=|BEn|2-22-2|2=|BE|n|2333.8分所以BE和平面CDE
9、所成的角的正弦值23.9分（）设CF=lCE,l0,1.又DC=(-2,2,0),CE=(22,-2,2),BD=(0,-22,0).则DF=DC+CF=DC+lCE=2(2l-1,-l+1,l).10分设m=(x,y,z)是平面BDF一个法向量,则mBD=0，mDF=0，即y=0,(2l-1)x+(-l+1)y+lz=0.11分令x=1,则m=(1,0,-2l-1l).12分若平面BDF平面CDE，则mn=0，即1+2l-11=0，l=0,1.13分l3所以，在线段CE上存在一点F使得平面BDF平面CDE.14分20.（本小题满分14分）解：（）由已知，抛物线W,W的准线分别为x=-12p2
10、和x=-p，2分所以，抛物线W,W准线间的距离为12p2.4分（）设l:y=kx，代入抛物线方程，得A,A的横坐标分别是11122p4p和k2k211.5分|OA|1|OA|2=4p24p2+k4k21116p216p2+k4k2111=，同理2|OB|11=，7分|OB|22所以OAB11OAB，22所以AB/AB.8分1122（）设A(x,y)，B(x,y)，直线AB方程为l11112211A1B1:x=ty+m1，代入曲线y2=2px，得y2-2pty-2pm=0，1所以y+y=2pt，yy=-2pm.9分12121由ll，得xx+yy=0，又y2=2px，y2=2px，1212121122所以1y2y224p2+yy=0，由yy=-2pm，得m=2p.11分121211所以直线AB方程为l11A1B1:x=ty+2p，同理可求出直线AB方程为l22A2B2:x=ty+4p.所以|AB11|=1+t2y-y=2p1+t2t2+4，1212分|AB|=4p1+t2t2+4，22平行线lA1B1与lA2B2之间的距离为d=2p1+t2，所以梯形AABB的面积S=122112(A1B1+A2B2)d=6p2t2+4，13分12p2当t=0时，梯形AABB的面积达最小，最小值为12p2.122114分