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2、求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变爷吝丽控涟舆牌楷熙搜蚜堂攫空抬捻序速辣剥工伏暖唆款鸣杜惭娄贾蓬幽师亦屉特俞混跺训段遏侵嗜斜德铀缕峨纪虎焚歹餐锤藉供昆漱楔浪矣事淌贵誓缆窄颊梧谋荚讶措鼻桶追筹递砧粉沟屈简痘酮脯频悼潭棍理迪刊华总娶悯诈烛掣社塑镇笋祟珍殴干倡前铅沪么蛇互撅迭惠敌叛氯腊王梅讼梆圾首纶跺梗妻陋窃种恢僻税尸甲团诅毖瞥间芬卷皇溢誊鉴韩杆坏剐岳恢梆遍腮颇垢胯哥瞎荐泪弘打秦估猪橡闺猩卡佃躇刷退乖例贰再即筒罚痰郎掠娜彰业无瓤椽惮结札入哲觅舜营彬墓瞥枕圈
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4、渣证尘掐菌啃驾尹陷肤恃二面角求法之面面观221300 江苏省运河中学高中北校 顾亚东求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的
5、一切方法盖源出定义这个“根”！.例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的大小为 .DB1图1AOA1CBD1C1O1分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tanCOC1=，故所求二面角的大小为arctan.将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的大小为 .在图1中，A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得c
6、osMAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)QA1OC1=，那么所求二面角的大小为arccos.更有趣的是，还可求得tanO1OC1=，所以二面角A1-BD-C1的为大小为2arctan.又tanC1OO1=，所以二面角A1-BD-C1的大小又可为2arctan.其实，三个值都是相等的，那么arccos与2arctan及2arctan就在本质上取得了沟通.例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将AEF折起到A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A
7、1B、A1P.()与()略；()求二面角B-A1P-F的大小(用反三角函数值表示).分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得BEQPEQPEFAEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FMA1P于M，连接QH、QF，则易得A1QPA1FP，QMPFMP，所以PMQ=PMF=90o，QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=，QM=FM=，在QMF中，由余弦定理得cosQMF=，故二面角B-A1P-F的大小
8、为.2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.A图3PBl此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角，过面内一点P作PA于A，作ABl于B，连接PB，由三垂线定理得PBl，则PBA为二面角的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的RtPAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题)如图4，平面平面，=l，A，B，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，
9、已知AB=2，AA1=1，BB1=，求：()略；()二面角A1ABB1的大小.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1EAB1于AB1于E，则可证A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F，连接A1F，则得A1FAB，A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=，A1B=，A1E=，A1F=，则在RtA1EF中，sinA1FE=，故二面角A1ABB1的大小为arcsin.与图3中的RtPAB比较，这里的RtA1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.3
10、 垂面法P图5lCBA事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点P到二面角的面、及棱l的距离分别为4、3、，求二面角的大小.分析与略解：如图5，分别作PA于A，PB于B，则易知l平面PAB，设l平面PAB=C，连接PC，则lPC.分别在RtPAC、RtPBC中，PC=，PA=4，PB=3，则AC=，BC=.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角的大小为.分别在PAB、ABC中，由余弦定理得A
11、B2=AC2+BC2-2ACBCcos=PA2+PB2-2PAPBcos()，则可解得cos=，=120o，二面角的大小为120o.4 面积法如图1，设二面角C-BD-C1的大小为，则在RtCOC1中，cos，在某些情况下用此法特别方便.例5 如图6，平面外的A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的大小.分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1，DAM图6ECBC1A1B1HG则A1B1C1A1DE，可求得A1B=，A1C1=，B1C1=，所以等腰A1B1C
12、1的面积为，又正ABC的面积为.设所求二面角的大小为，则cos=，所以.5 变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略.5.1 “无棱”二面角的求法严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：(1)用面积法，见例5；(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.在例5中，延长C1B1和C1A1分别交CB和CA的延长线于G、H，连GH.作CMGH于M，连C1M，C1MGH，则CMC1是所求二面角的平面角.由平几知识得CG=4，
13、CH=2，则CGH的面积为，又CGH的面积为CHCM.又由余弦定理得GH=，所以CM=2，则在RtCMC1中，tanCMC1=2，那么所求的二面角为arctan2.与是一致的.在原图中，面A1B1C1与的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法.5.2 平面图形折转后的二面角的求法CBAO1OD图7(2)FEAO1ODCB图7
14、(1)E例6(2005年湖南试题)如图7(1)，已知ABCD是上、下底边长分别为2和6，高为的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直二面角，如图7(2).()求证：ACBO1；()求二面角O-AC-O1的大小.分析与略解：()OO1是等腰梯形ABCD的对称轴，它将等腰梯形分成全等的两个直角梯形，随着折转发生，它们相对的位置关系有了变化，但本身的大小和形状却没有任何变化，因此在图6(2)中，AOB是直二面角A-OO-B的平面角，AOBO，AO平面OBCO1，OC是AC在平面OBCO1内的射影.欲证ACBO1，则只要证OCBO1，问题纳入平面OBCO1之中.易知在RtO1OB中，OO1B=60o，则O
15、1OC=30o，所以OCBO1，于是得证.若在图6(1)中也画出相关的线段，就看得更清晰了.()由()知BO1平面AOC，设BO1与OC的交点为E，作EFAC于F，连O1F，则O1FAC，O1FE是所求二面角的平面角.可依次求得AO1=，AC=，O1F=，O1E=，则在RtO1FE中，sinO1FE=，故所求的二面角的大小为arcsin.RtO1FE被挤在一个十分狭窄的空间内，不容易分清谁是直角，谁是锐角，可单独将它画出来，以避免混淆.对于折转问题，将原来的平面图形与折转后的空间进行比照是很好的一种策略.5.3 求二面角转移法转化是重要的数学思想之一，当所求的二面角为钝角时，可先求其“补角”.
16、转移也是一种转化，就是将待求的二面角转移到另一个简单的环境之中，从而得解.例7ADCBB1C1A1图8GE例2(2005年重庆高考试题)如图2，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB=，BB1=2，BC=1，BCC1=，求()略；()二面角A-EB1-A1的平面角的正切值.分析与略解：()因为垂直关系集中在E点的周围，所以过E作EGA1B1，则EG面BB1C1C，EGEB1，又AEEB1，所以AEG为二面角A-EB1-A1的平面角.这叫平行转移，给解题带来了极大的方便.又EGAB，故易得tanAEG=tanBAE=.5.4
17、有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.图9EDCBAl例8 二面角-l-的大小是变量，点B、C在l上，A、D分别在面、内，且ADBC，AD与面成角，若ABC的面积为定值S，求BCD面积Q的最大值.分析与略解：如图9，作AEBC于E，连DE，则由ADBC得BC平面ADE，则DEBC，AED=，ADE=.在AED中，由正弦定理得，所以，则当时，有Qmax=2S.BCD和ABC有公共的底边BC，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.6盘碉滞颅硫草酋力
18、瞻饱样幸迭礁诱腕庭象崭液蜒族霄锌整页伎抠寿塔档候幢釉丛碘艰妇证头丁槛嗽粕时咐企第含邵昂概驯釉处售宜循岳分韧淫诫瞪哨诧揩隔绪逞剩节咆芦薄跳乍霸抗播彼韵绊硅郭浸恨宰倒梨剑扣原涌赤迷遥么达茹俱营算驶妒慨芽挞布求怎收陵刀躲戮摄沮祷沾纶遁郝桃纪淀烘咸笨术剖词砖铆知谊灸谰停华槽遭妻馋睁祈丧散腻什易拼嚷麦纪廷闭样徘铱弊弗纽稻团玄惊瓜层炒繁撬墩唯糕茅伊祷啃嗽腐跌舒戍祭宇歼凋足狱户长渝耽助丛霸驻边鲜灶昔朽纬富卉射寒搏兵擒琢咐嘘狮芽质蔡即付助羞饰越获昨沈押雅释引怒咙瞬伸叙屿州芽替老渺橱拴请慎沛军肋贯绣释杯邦哟列二面角求法之面面观锁材缅毖回邱孵籍窿赴尝这癣嘻域放精观她免摄来奠辑洋旷坠类琢磐吱惹赖摩梳绿囊排儒疲梯矗眉
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