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1、3例谈解析几何多元方程组问题的计算策略解析几何涉及到复杂的计算问题，这些计算问题主要是多元方程组的解法问题,下面我们以一道高考题为例探讨解析几何中方程组的解法.x2y2原题:双曲线C与椭圆+=1有相同的焦点，直线y=3x为C的一条渐近线.84(1)求双曲线C的方程.(2)过点P(0,4)的直线l交双曲线C于A、B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.8当PQ=lQA=lQB,且l+l=-时,求Q点的坐标.1212解:(1)设双曲线方程为x2y2-2ab2=1(a0,b0).kk41kky=-4=ly.l3161b由题意:a2+b2=8-4=4，=3,a=1,b=3.ay2双曲线C的方程为
2、x2-=1.3(2)解法一：由题意知直线l的斜率k存在且不为零.4设直线l的方程为:y=kx+4,则可求Q(-,0).k设A(xy),B(xy),1,12,244PQ=lQA,PQ=(-,-4),QA=(x+,y)，111414x=-(+1),-=l(x+),kl11141111y2A(xy)在双曲线C:x2-=1上,1,116(+1)2-=1，k2l3l211(16-k2)l2+32l+16-11163k2=0.316同理有:(16-k2)l2+32l+16-k2=022若16-k2=0,则k=4,l过顶点,不合题意,16-k20，3l,l是一元二次方程(16-k2)x2+32x+16-16
3、12k2=0的两个根,k-163=-l+l=328,k2=4，验知D0,k=2，122所求Q点的坐标是(2,0).仔细分析上面的解法,我们发现本题中涉及7个未知数,它们是:x,y,x,y,l,l,k.112212上面的解法先把x,y,l,k作为一组,构建关于l的一元二次方程,再把x,y,l,k作为1111222一组,构建关于l的一元二次方程,由于这两个运算过程完全相同,两个一元二次方程也完全2相同,因此l,l是同一个一元二次方程的两个根,然后就可以利用一元二次方程的根与系数的12关系了.本题第（2）问我们一般采用下面的解法,但是比上面的解法计算量还要大,具体过程如下:y2解法二：把y=kx+4
4、代入双曲线C的方程为x2-=1并整理得：3(3-k2)x2-8kx-19=0，当3-k2=0时，直线与双曲线C只有一个交点，不合题意，故3-k20x+x=128k3-k2,xx=1219k2-3.klklkll41414l+l由已知x+x=-(+1)-(+1)=-(12+2)，(1)1212121l12llxx=121611161l+l(+1)(+1)=(+12+1),(2)k2lk2ll21234(k2-3)8又l+l=-，12故由(1)得:ll=-912,80(k2-3)9(k2+16)由(2)得:ll=-，12-99(k2+16)=-4(k2-3)80(k2-3),解得：k2=4，验知D
5、0,k=2，所求Q点的坐标是(2,0).如果考虑结论中涉及到的l+l怎样用k表示,刚才提供的解法二可以演变为下面的解法：12l+l=-4kx+4kx+4kx+4kx+4=-4k(x+x)+8解法三：-411+=-4(+)121212k(x+x)+812=-412(kx+4)(kx+4)k2xx+4k(x+x)+161212123-k2k2-3,然后把x+x=12,xx=128k19，代入上式化简得:l+l=12968=-，解得：k2=4，验知D0,k=2，3k2-483所求Q点的坐标是(2,0)三种解法的内在联系:前面已经谈到本题共涉及到7个未知数x,y,x,y,l,l,k,事实上,由已知,1
6、12212我们有以下9个方程组成的方程组,它们是:kkkk44-=l(x+)(1)11=l(x+-44)22(5)11(2)-4=ly-4=ly22(6)38l+l=-(9)12y=kx+4(3)y=kx+4(7)112233y21x2-=1(4)1y22x2-=1(8)2仔细分析题意,不难发现用(1)(2)可以导出(3),用(5)(6)可以导出(7),因此上面的9个方程实际上等价于7个独立的方程.为了求出k，需要通过合理的消元，解法一利用(1)、(2)、(4)、(5)、(6)、(8)、(9)这7个方程组成的方程组；解法二、三利用(1)、(3)、(4)、(5)、(7)、(8)、(9)这7个方程
7、组成的方程组.以上这些方程中,下标为1的未知数为一类,下标为2的未知数为另一类,这两类未知数涉及到的方程具有共同的形式,已知的第（9）个方程不但起着联系这两类未知数的作用,而且是两个未知数的和的形式.解法一之所以比解法二、三简单一些,就是因为利用了这个特点.当涉及到的方程不具备这个特点时,我们就很难使用解法一这种构造一元二次方程的消元策略了,这时候我们一般利用解法二的消元策略.巩固练习：已知椭圆C:x2y2+a2b2=1(ab0)的短轴长为23，右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重（）设A、B是椭圆C上的不同两点，点D(-4,0)，且满足DA=lDB，若l,，求y+y=13+4k2yy=36k2
8、3+4k2合，O为坐标原点（）求椭圆C的方程；3182直线AB的斜率k的取值范围参考答案：解法DA=lDB，D、A、B三点共线，而D(-4,0)，且直线AB的斜率一定存在，所以设AB的方程为y=k(x+4)，x2y2与椭圆的方程+=1联立得(3+4k2)y2-24ky+36k2=0，431由D=144(1-4k2)0，得k2424k2设A(xy),B(xy),1,12,212又由DA=lDB得，y=ly1把代入得，2，3+4k23+4k224k(1+l)y=,2ly2=36k2,2消去y得：2161=+l+2，3+4k2l311当l,时，h(l)=+l+2是减函数，82lh(l)，912191
9、612122423+4k224，又k2，所以解得2151215k2k248436448436，k的取值范围是-521215,-,.622226解法设A(xy),B(xy),则3x+4y=12221,12,23x2+4y2=121122又DA=lDB，D(-4,0)，则1y=ly由得得1y=ly,x+4=l(x+4)212x=lx+4l-4,212代入得3(lx+4l-4)2+4(ly)2=12，222l由得3l2x2+4l2y2=12l2，联立消去y得：2223(lx+4l-4)2-3l2x2=12-12l2，22这实际上是关于x的一元一次方程，解得：x=-5l+322，而k=，k2=(，2y
10、y4y212-3x222)2=2x+4x+44(x+4)24(x+4)22222-3l2+10l-3-5l+3l把x=2代入上并化简得k2=1-3(l+)+102l4(l2+2l+1)14(l+2)l，令t=l+82131573，则t在l,是减函数，且t,，l224而y=-3t+10573在t,是减函数，4(t+2)224当t=时，ymin=，557321=，当t=时，y2max3624484k的取值范围是-521215,-,.6222261、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。4、一个数学家越超脱越好。5、数学是各式各样的证明技巧。6、数学是锻炼思想的体操。7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。8、数学是研究抽象结构的理论。9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。