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1、乘法公式（提高）【学习目标】1.掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义；2.学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3.能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a,b既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方常见的变式有以下类型：（
2、1）位置变化：如(a+b)(-b+a)利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(3x+5y)(3x-5y)（3）指数变化：如(m3+n2)(m3-n2)（4）符号变化：如(-a-b)(a-b)（5）增项变化：如(m+n+p)(m-n+p)（6）增因式变化：如(a-b)(a+b)(a2+b2)(a4+b4)要点二、完全平方公式完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下
3、是常见的变形：a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab(a+b)2=(a-b)2+4ab要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq；(ab)(a2ab+b2)=a3b3；(ab)3=a33a2b+3ab2b3；(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.【典型例题】类型一、平方差公式的应用1、计算(21)(22+1)(24+1)(2
4、8+1)(216+1)(232+1)1【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现21与21，22+1与22-1，24+1与24-1等能够构成平方差，只需在前面添上因式（21），即可利用平方差公式逐步计算.【答案与解析】解：原式(21)(21)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)1(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(232+1)126411264【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力举一反三：【高清课堂乘法公式例1（7）（8）】【变式1】计算：(1)(x-3)
5、(x2+9)(x+3)(2)(ab)(ab)(a2+b2)(a4+b4)【答案】解：(1)原式(x3)(x3)(x2+9)(x2-9)(x2+9)x4-81(2)原式(ab)(ab)(a2+b2)(a4+b4)(a2-b2)(a2+b2)(a4+b4)(a4-b4)(a4+b4)a8-b8【变式2】（2015内江）（1）填空：（ab）（a+b）=；（ab）（a2+ab+b2）=；(2x-5)(-2x-5)1,【变式】解不等式组：【答案】解：(x+3)(x-3)-x(x-2)1,(2x-5)(-2x-5)1，2x10，x5由得52-(2x)24x-4x2，25-4x24x-4x2，-4x6.25
6、不等式组的解集为x6.25类型二、完全平方公式的应用3、运用乘法公式计算：（1）(a+2b-3)2；（2）(a+2b-3c)(a-2b+3c)（【思路点拨】1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将a+2b-3化成a+(2b-3)，看成a与(2b-3)和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中a与a完全相同，2b，-3c与-2b，3c分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”【答案与解析】解：（1）原式=a+(2b-3)2=a2+2a(2b-3)+(2b-3)2=a2+4ab-6a+4
7、b2-12b+9=a2+4b2+4ab-6a-12b+9（2）原式=a+(2b-3c)a-(2b-3c)=a2-(2b-3c)2=a2-4b2+12bc-9c2【总结升华】配成公式中的“a”“b”的形式再进行计算.举一反三：【变式】运用乘法公式计算：(1)(a-b+c)(a+b-c)；(2)(2x-y+1)(y-1+2x)；(3)(x-y+z)2；(4)(2a+3b-1)(1-2a-3b)【答案】解：(1)(a-b+c)(a+b-c)a(bc)a(bc)a2-(b-c)2=a2-(b2-2bc+c2)a2-b2+2bc-c2(2)(2x-y+1)(y-1+2x)2x(y1)2x(y1)(2x)
8、2-(y-1)2=4x2-(y2-2y+1)4x2-y2+2y-1(3)(x-y+z)2=(x-y)+z2=(x-y)2+2(x-y)z+z2x2-2xy+y2+2xz-2yz+z2(4)(2a+3b-1)(1-2a-3b)-(2a+3b-1)2(2a3b)22(2a3b)12(2a)2+22a3b+(3b)2-4a-6b+14a212ab9b24a6b1、已知ABC的三边长a、b、c满足a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，试判断ABC的形状【思路点拨】通过对式子变化，化为平方和等于零的形式，从而求出三边长的关系【答案与解析】解：a2+b2+c2-ab-bc-ac=0，2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=0，即(a2-2ab+b2)+(b2-2bc+c2)+(a2-2ac+c2)=0即(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2=0a-b=0，b-c=0，a-c=0，即a=b=c，ABC为等边三角形【总结升华】式子a2+b2+c2-ab-bc-ac=0体现了三角形三边长关系，从形式上看与完全平方式相仿，但差着2ab中的2倍，故想到等式两边同时扩大2倍，从而得到结论举一反三：【变式】多项式x2-2xy+2y2+2y+5的最小值是_.【答案】4；提示：x2-2xy+2y2+2y+5=(x-y)2+(y+1)2+4，所以最小值为4.