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1、上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a满足：a21，4，a，则实数a的取值集合为_【答案】1，2，2，0【解析】实数满足：1，4，=1或=4，或=a，解得=2或=2或=1或=1或=0，当=1时，集合为1，4，1，不合题意；当=1，或=2，或=0时，满足题意实数的取值集合为1，2，2，0故答案为：1，2，2，02.函数的定义域为_【答案】2，3）【解析】由题意得，解得函数的定义域为：2，3）故答案为：2，3）3.命题“若ab0，则b0”的逆否命题是_【答案】“若b0，则ab0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将
2、原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab0，则b0”的逆否命题是“若b0，则ab0”.故答案为：“若b0，则ab0”.4.函数y=+2的单调区间是_【答案】（，0）和（0，+）【解析】由题意得函数的定义域为，又函数在和上单调递减，所以函数的单调减区间是和故答案为：（，0）和（0，+）5.已知【答案】为定义在上的奇函数，当时，则当时，_【解析】设，则，由已知当时，当时，可得，6.已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）2x的所有零点构成的集合为_【答案】【解析】当x0时，函数f（x）=sgn（x）2x=12x，令12x=0，得x=，即当x0时，函数f（x）的零点是；当
3、x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；当x0时，函数f（x）=12x，令12x=0，得x=，即当x0时，函数f（x）的零点是综上可得函数f（x）=sgn（x）x的零点的集合为：7.函数【答案】的值域为_.【解析】由指数函数的性质可知：，据此可知：，函数的值域为.8.已知a0，b0，则【答案】4的最小值为_【解析】由题意得，当且仅当，即时等号成立的最小值为4故答案为：49.设集合A=1，2，6，B=2，4，C=xR|1x5，则（AB）C=_【答案】1，2，4【解析】A=1，2，6，B=2，4，AB=1，2，4，6，又C=x|1x5，xR，（AB）C=1，2，4故答案为：1，2，4
4、10.若y=f（x）是定义在（，+）上的单调减函数，且f（x）f（2x2），则x的取值范围_【答案】（，2）【解析】f（x）f（2x2），且y=f（x）是定义在（，+）上的单调减函数，x2x2，解得x2x的取值范围为（，2）故答案为：（，2）11.若函数，则_【答案】1【解析】由题意得故答案为：112.定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集给出下列集合：（x，y）|x2+y2=1；（x，y）|x+y+20；（x，y）|x+y|6；其中不是开集的是_（请写出所有符合条件的序号）【答案】【解析】对于，集合A=（x，y）|x2+y2=1表示以原点为圆
5、心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故不是开集|对于，集合A=（x，y）x+y+20，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足，故是开集对于，集合A=（x，y）|x+y|6，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足对于，集合A=表示以点，故该集合不是开集为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，故该集合是开集综上可得中的集合不是开集故答案为：二选择题（共4小题，满分2
6、0分，每小题5分）13.设xR，则“|x2|1”是“x2x60”的（）A.充分而不必要条件C.充分必要条件B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x2|1得1x21，解得1x3，由x2x60，得2x3因为，所以“1x3”是“2x3”的充分不必要条件，即“|x2|1”是“x2x60”的充分不必要条件故选A14.已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A.x1x2x3C.x3x1x2B.x1x3x2D.x2x3x1【答案】B【解析】函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（
7、x）=sinx+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sinx与y=x的图象，如下图所示：由图形可知x10，x20，x3=0，所以x1x3x2故选B15.已知非空集合M满足：若xM，则于（）M，则当4M时，集合M的所有元素之积等A.0【答案】CB.1C.1D.不确定【解析】依题意，得当4M时，有，从而，于是集合M的元素只有4，所有元素之积等于4（）=-116.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的xR，均有f（x+2）=f（x），当x0，1）时，f（x）=2x1，则下列结论正确的是（）A.f（x）的图象关于x=1对称B.f（x）的最大值与最小值之和
8、为2C.方程f（x）lg|x|=0有10个实数根D.当x2，3时，f（x）=2x+21【答案】C【解析】由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得又当x0，1）时，f（x）=2x1，所以，当x1，0）时，x0，1），x则f（x）=21=f（x），又f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A不正确对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B不正确对于C，结合图象可得当x0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x0时，函数y=f（x）与y=lg|x
9、|的图象有6个交点，故方程f（x）lg|x|=0有10个实数根所以C正确对于D，当x2，3)时，x20，1)，所以故D不正确故选C三解答题（共5小题，满分76分）17.设p：实数x满足x24ax3a20，其中a0；q：实数x满足x2x60.(1)若a1，p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围解：(1)由x24ax3a20得(x3a)(xa)0，又a0，所以ax3a，当a1时，1x3，即p为真时，实数x的范围是1x3；由q为真时，实数x的范围是2x3，若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)(2)p：xa或x3a，q：x2或x3，由
10、q是p的充分不必要条件，有得0a1，显然此时pq，即a的取值范围为(0,118.已知函数y=f（x）为定义在（，0）（0，+）上的奇函数，且当x0时，（1）试求f（2）的值；（2）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（3）求出f（x）的零点解：（1）函数为奇函数，（2）当x0时，函数在（3，+）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（，0）（0，+）上的奇函数，函数y=f（x）在（，3）上也单调递增，函数的单调递增区间为（，3）和（3，+）.（3）当是函数时，由的零点，得，解得，又函数为奇函数，也为函数的零点综上可得函数的零点为和19.已知函数（1）求不等式（2）若.的解集；对恒成
11、立，求的取值范围.解：（1）因为，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）法一：由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.所以当时，取得最小值，故，即的取值范围为.法二：设，则，当所以当时，时，取得最小值，取得最小值，故时，即的取值范围为.20.函数f(x)的定义域为Dx|x0，且满足对任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)1，f(x1)2，且f(x)在(0，)上是增函数，求x的取值范围解：(1)对于任意x1，x2D，有f(x1x2)f(x1)f(x2)，令x1x21
12、，得f(1)2f(1)，f(1)0.(2)令x1x21，有f(1)f(1)f(1)，f(1)f(1)0.令x11，x2x有f(x)f(1)f(x)，f(x)f(x)，f(x)为偶函数(3)依题设有f(44)f(4)f(4)2，由(2)知，f(x)是偶函数，f(x1)2f(|x1|)f(16)又f(x)在(0，)上是增函数0|x1|16，解之得15x17且x1.x的取值范围是x|15x17且x121.已知函数(1)若函数，是奇函数，求实数的值；(2)在(1)的条件下，判断函数(3)当时，函数与函数的图象始终在函数的图象公共点个数，并说明理由；的图象上方，求实数的取值范围解：（1）因为为奇函数，所
13、以对于定义域内任意，都有，即，显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.上面等式左右两边同时乘以得，化简得，.上式对定义域内任意恒成立，所以必有，解得.（2）由（1）知，所以，即，由得或，所以函数定义域.由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数.令，显然在区间和均单调递增，又，且，.所以函数在区间和上各有一个零点，即方程所以函数在定义域上有2个解，与函数的图象有2个公共点.（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使令，则在上恒成立，上式整理得在恒成立.方法一：令当所以，.，即时，在上单调递增，恒成立；当，即时，在上单调递减，只需，解得与矛盾.当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以由又，所以综合得的取值范围是方法二：因为在，解得，.恒成立.即，又，所以得在恒成立令，则，且，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立.）即，所以,所以的取值范围是.