《人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_直线、圆的位置关系_(基础).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《人教版高中数学【必修二】[知识点整理及重点题型梳理]_直线、圆的位置关系_(基础).docx（20页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、精品文档用心整理人教版高中数学必修二知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习直线、圆的位置关系【学习目标】1能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；.3在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想【要点梳理】要点一：直线与圆的位置关系1.直线与圆的位置关系：（1）直线与圆相交，有两个公共点；（2）直线与圆相切，只有一个公共点；（3）直线与圆相离，没有公共点.2.直线与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断直线l与圆C的方程组成的方程组是否有解.如果有解，直线l与圆C有公共点.有两组实数解时，直线l与圆C相交；有一组实
2、数解时，直线l与圆C相切；无实数解时，直线l与圆C相离.（2）几何法：由圆C的圆心到直线l的距离d与圆的半径r的关系判断：当dr时，直线l与圆C相离.要点诠释：（1）当直线和圆相切时，求切线方程，一般要用到圆心到直线的距离等于半径，记住常见切线方程，可提高解题速度；求切线长，一般要用到切线长、圆的半径、圆外点与圆心连线构成的直角三角形，由勾股定理解得.（2）当直线和圆相交时，有关弦长的问题，要用到弦心距、半径和半弦构成的直角三角形，也是通过勾股定理解得，有时还用到垂径定理.（3）当直线和圆相离时，常讨论圆上的点到直线的距离问题，通常画图，利用数形结合来解决要点二：圆的切线方程的求法1点M在圆上
3、，如图法一：利用切线的斜率k与圆心和该点连线的斜率klOM的乘积等于-1，即kOMk=-1l法二：圆心O到直线l的距离等于半径r2点(x,y00)在圆外，则设切线方程：y-y0=k(x-x)，变成一般式：kx-y+y-kx=0，因000资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理为与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，解出k要点诠释：因为此时点在圆外，所以切线一定有两条，即方程一般是两个根，若方程只有一个根，则还有一条切线的斜率不存在，务必要把这条切线补上常见圆的切线方程：（1）过圆x2+y2=r2上一点P(x,y00)的切线方程是x0x+yy=r2；0（2）过圆(x-a)2+(y-b)2
4、=r2上一点P(x,y00)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y-b)(y-b)=r2.01应用圆中直角三角形：半径r，圆心到直线的距离d，弦长l具有的关系r=d+，这也是要点三：求直线被圆截得的弦长的方法l2222求弦长最常用的方法2利用交点坐标：若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公式计算弦长3利用弦长公式：设直线l:y=kx+b，与圆的两交点(x,y),(x,y1122)，将直线方程代入圆的方程，(1+k)(x+x)-4xx2消元后利用根与系数关系得弦长：l=1+k2|x-x|=12要点四：圆与圆的位置关系1.圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点
5、；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点.121222.圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解.有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离.（2）几何法：设O的半径为r，O的半径为r，两圆的圆心距为d.1122资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理当r-rdr+r时，两圆相交；1212当r+r=d时，两圆外切；12当r+rd时，两圆内含.12要点诠释：判定圆与圆的位置关系主要是利用几何法，通过比较两圆的圆心距和两圆的半径的关系来确定，这种方法运算量小.也可利用代数法
6、，但是利用代数法解决时，一是运算量大，二是方程组仅有一解或无解时，两圆的位置关系不明确，还要比较两圆的圆心距和两圆半径的关系来确定.因此，在处理圆与圆的位置关系时，一般不用代数法.3.两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长4两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内
7、切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线【典型例题】类型一：直线与圆的位置关系例1.已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.【思路点拨】解决本题的方法主要有两个，其一是利用圆心到直线的距离与半径的大小关系；其二是引入一元二次方程，利用方程根来解决.【答案】相交【解析】解法一：x2+y2=4，圆心为（0，0），半径r=2.22+12=又y=2x+1，圆心到直线的距离为d=|20-0+1|552=r.直线与圆相交.解法二：y=2x+1,x2+y2=4,（2x+1）2+x2=4，即5x2+4x-3=0.判别式=42-45（-3）=760.直线与圆相交.【总结升华】
8、判断直线与圆的位置关系可以从代数方法和几何意义两个方面加以考虑例2已知直线方程mxym1=0，圆的方程x2+y24x2y+1=0当m为何值时，圆与直线（1）有两个公共点；资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【答案】（1）m0或m-4（2）只有一个公共点；（3）没有公共点44（2）m=0或m=-（3）-m0333【解析】解法一：将直线mxym1=0代入圆的方程化简整理得，（1+m2）x22（m2+2m+2）x+m2+4m+4=0=4m（3m+4），当0时，即m0或m-43时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；当=0时，即m=0或m=-43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；
9、当时，即-43m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点解法二：已知圆的方程可化为（x2）2+（y1）2=4，即圆心为C（2，1），半径r=2圆心C（2，1）到直线mxym1=0的距离1+m2=d=|2m-1-m-1|m-2|1+m24当d2时，即m0或m-时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；3当d=2时，即m=0或m=-43时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个公共点；当d2时，即-43m0时，直线与圆相离，即直线与圆没有公共点【总结升华】解决此类问题是搞清直线与圆的位置和直线与圆的公共点的个数间的等价关系在处理直线与圆的位置关系时，常用几何法，即比较圆心到直线的距离和半径的大小，而不用
10、联立方程举一反三：【变式1】求实数m的范围，使直线x-my+3=0与圆x2+y2-6x+5=0分别满足：（1）相交；（2）相切；（3）相离【答案】（1）m22（2）m=22（3）-22m22【解析】圆的方程化为标准为(x-3)2+y2=4，故圆心（3，0）到直线x-my+3=0的距离d=6m2+1，圆的半径r=2（1）若相交，则dr，即6m2+12，所以m226（2）若相切，则d=r，即=2，所以m=22m2+1资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（3）若相离，则dr，即6m2+12，所以-22m25，所以点在圆外法一：设过点P(7,1)与圆相切的直线为l:y-1=k(x-7),即k
11、x-y-7k+1=0.因为圆心(0,0)到l的距离d=|-7k+1|k2+1,则d=r=5,即|-7k+1|k2+1=5.解得k=433或-.4从而,切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y-25=0.解法二:设过点P(7,1)与圆相切的直线为l:y-1=k(x-7).y-1=k(x-7),由x2+y2=25可得(1+k2)x2-2k(7k-1)x+(7k-1)2-25=0.从而D=4k2(7k-1)2-4(1+k2)(7k-1)2-25=0.解得k=43或-.34从而,切线方程为4x-3y-25=0或3x+4y-25=0.【总结升华】求圆的切线方程一般有三种方法：（1）直接法：应用常见结论
12、，直接写出切线方程；（2）待定系数法；（3）定义法一般地，过圆外一点可向圆作两条切线，在后两种方法中，应注意斜率不存在的情况举一反三：（3)【变式1】2016天津河西区模拟）已知圆C经过点A（2，0）、B,1(-（1）求圆C的方程；，且圆心C在直线y=x上资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理（2）过点(1,3)的直线l截圆所得弦长为23，求直线l的方程3【答案】（1）x2+y2=4；（2）x=1或y=-323x+33【解析】（1）AB的中点坐标(3,-232)，AB的斜率为3可得AB垂直平分线为23x+6y=0，直线l的方程为y-3与xy=0的交点为（0，0），圆心坐标（0，0），半
13、径为2，所以圆C的方程为x2+y2=4；（2）直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过(1,3)，33=k(x-1)，即y=kx+-k，33则圆心（0，0）到直线的距离d=|3-k|31+k2，又圆的半径r=2，截得的弦长为23，则有(|3-k|31+k2)2+(3)2=4，解得：k=-33，则直线l的方程为y=-323x+33直线l的方程：x=1或y=-31+k2，在由弦长的一半、半径和距离d构成的直角三角形中，当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，满足题意23x+33【总结升华】此题考查了直线与圆相交的性质，涉及的知识有点到直线的距离公式，垂径定理及勾股定理，当直线与圆相交时，常常
14、利用弦长的一半，圆的半径及弦心距构造直角三角形来解决问题类型三：弦长问题例4直线l经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为45，求l的方程【答案】x2y+5=0或2xy5=0【解析】法一：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5=k（x5）圆心（0，0）到直线的距离d=|5-5k|资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理|5-5k|1+k2=52-(25)2，解得k=12或k=2故直线l的方程为x2y+5=0或2xy5=0法二：根据题意知直线l的斜率存在，设直线l的方程为y5=k（x5）与圆C相交于A（x1，y1），B（x2，y2）,y-5=k(x-5)联立
15、方程x2+y2=25，消去y，得（k2+1）x2+10k（1k）x+25k（k2）=0，=10k（1k）24（k2+1）25k（k2）0，解得k0又x+x=-10k(1-k)k2+1k2+11212，xx=25k(k-2)=(1+k2)=45由斜率公式，得y1y2=k（x1x2），|AB|=(x-x)2+(y-y)2=(1+k2)(x-x)121212=(1+k2)(x+x)2-4xx1212100k2(1-k)225k(k-2)-4(k2+1)2k2+1两边平方，整理得2k25k+2=0，解得k=12或k=2，符合题意（2）代数法：解方程组ax+by+c=0=1+(y1+y2)2-4y1y2
16、(k0)故直线l的方程为x2y+5=0或2xy5=0【总结升华】设直线l的方程为ax+by+c=0，圆O的方程为（xx0）2+（yy0）2=r2，求弦长的方法有以下两种：（1）几何法：由圆的性质知，过圆心O作l的垂线，垂足C为线段AB的中点如图所示，在OCB中，|BC|2=r2d2则弦长|AB|=2|BC|，即|AB|=2r2-d2(x-x0)2+(y-y0)2=r2，消元后可得关于x1+x2，x1x2或y1+y2，y1y2的关系式，则|AB|=(1+k2)(x+x)2-4xx12121k2举一反三：【变式1】求经过点P（6，4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为62的直线的方程【答案】x+
17、y2=0或7x+17y+26=0【解析】如图所示，|AB|=62，|OA|=25，作OCAB于C在OAC中，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理|OC|20(32)22设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y+4=k（x6），即kxy6k4=0又圆到直线的距离为2，1k22，即17k2+24k+7=0，k1=1，k|6k4|2717例5已知圆C1：x2+y22mx+4y+m25=0，圆C2：x2+y2+2x2my+m23=0，问：m为何值时，）所求直线方程为x+y2=0或7x+17y+26=0类型四：圆与圆的位置关系（1圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？【思路点拨】利用几
18、何法或代数法都可以判断【答案】（1）m=5或m=2；（2）2m1【解析】对于圆C1，圆C2的方程，配方得C1：（xm）2+（y+2）2=9，C2：（x+1）2+（ym）2=42（1）如果圆C1与圆C2相外切，则有(m1)(m2)2（m+1）2+（m+2）2=25，m2+3m10=0，解得m=5或m=22（2）如果圆C1与圆C2内含，则有(m1)(m2)232，即32，即（m+1）2+（m+2）21，m2+3m+20，解得2m1故（1）当m=5或m=2时，圆C1与圆C2相外切；（2）当2m1时，圆C1与圆C2内含【总结升华】利用几何法判定两圆的位置关系比用代数法（即解两圆方程联立方程组的方法）要
19、简捷些，但需要注意的是，我们这里所说的几何法仍然是在解析几何前提下的几何法，即利用圆的方程及两点间距离公式求出两圆圆心距d和两圆的半径R和r，再根据d与R+r、d与Rr的大小关系来判定即可举一反三：【变式1】当a为何值时，圆C1：x2+y22ax+4y+（a25）=0和圆C2：x2+y2+2x2ay+（a23）=0相交【答案】当5a2或1a2时，圆C1与圆C2相交2【变式2】已知圆C：(x1)12(y3)9，圆C：x22y24x2y110，求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长【思路点拨】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，再由点到直线的距离公式求出一个圆的圆心到该弦的距离，用
20、弦心距、弦的一半，半径建立的直角三角形求出弦的一半，即得其长【答案】公共弦所在直线方程为3x4y+6=0，弦长为245【解析】两圆的方程作差得6x8y+12=0，即3x4y+6=0，2圆C：(x1)12(y3)9，故其圆心为（1，3），r=3弦长的一半是981圆到弦所在直线的距离为d12255|3126|955资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理故弦长为245综上，公共弦所在直线方程为3x4y+6=0，弦长为类型五：最值问题例6已知实数x、y满足方程x2+y24x+1=0，245求：（1）yx的最大值；（2）yx的最小值（1）设yy【思路点拨】将x2+y24x+1=0、yx赋予几何意
21、义，利用数形结合来解决x【答案】（1）3（2）-6-2【解析】将实数x、y看作点P（x，y）的坐标，满足x2+y24x+1=0的点P（x，y）组成的图形是以M（2，0）为圆心，半径为3的圆，如图所示y-0y=k，即是圆上的点P与原点O连线的斜率xx-0x由图知，直线y=kx和圆M在第一象限相切时，k取最大值此时有OPPM，|PM|=3，|OM|=2，POM=60此时k=tan60=3，y的最大值为3x（2）设yx=b，则y=x+b，b是直线y=x+b在y轴上截距由图知，当直线y=x+b和圆M在第四象限相切时，b（b0）取最小值，此时有|2+b|2=3，解得b=-6-2，yx的最小值是-6-2【
22、总结升华】利用数形结合解决最值问题时，首先从代数演算入手，将代数表达式赋予几何意义，看成某几何量的大小，根据图形的几何性质，观察出最值出现的时机和位置，从而解决求代数表达式的最值问题这是用几何方法解决代数问题的常用方法，即数形结合常见的数形结合点是直线方程、圆的方程、过两点的斜率公式、平面内两点间距离公式、直线在y轴上的截距等举一反三：【变式1】已知点P（x，y）在圆(x+2)2+y2=3上，求【答案】-3yx的最小值【解析】设k=yx，则k的几何意义为圆上的点与原点的斜率，则由图象可知当直线y=kx与圆在第二象限相切时，直线斜率最小，此时k0，|-2k|则圆心（2，0）到直线的距离d=3，1+k2即k2=3，解得k=-3，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理故y的最小值为-3x【与圆有关的位置关系370892例4】【变式2】已知实数x，y满足x2+y2+2x-23y=0，求（1）x2+y2的最大值；（2）x+y的最小值【答案】（1）16（2）3-22-1【解析】x2+y2+2x-23y=0可以化为(x+1)2+(y-3)2=4于是（x，y）可以看作是以(-1,3)为圆心，2为半径的圆上的点如图（1）x2+y2可看作是圆上的点到原点的距离的平方，由图显然x2+y2最大为2r=4，所以x2+y2的最大值为16（2）解法同例6（2）资料来源于网络仅供免费交流使用