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1、第二节平面向量的基本定理及坐标表示【最新考纲】1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量，有且只有一对实数1，2，使1e12e22平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底对于平面内的一个向量，有且只有一对实数x、y，使xiyj，把有序数对(x，y)叫做向量的坐标，记作(x，y)3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设(
2、x1，y1)，b(x2，y2)，则1b(x1x2，y1y2)，b(x1x2，y1y2)，(x1，y1)，|x21y2设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB(x2x1，y2y1)，|AB|(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标为向量的坐标（x2x1）2（y2y1）24平面向量共线的坐标表示设(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.bx1y2x2y10.1(质疑夯基)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)在ABC中，AB，AC可以作为基底()(2)在ABC中，设AB，BCb，则向量与b的夹角为ABC.()(3)若，b不共线，且11b22b，则12，12.(
3、)(4)若(x1，y1)，b(x2，y2)，则b的充要条件可以表示成x1x2y1y2.()答案：(1)(2)(3)(4)2(2015四川卷)设向量(2，4)与向量b(x，6)共线，则实数x()A2B3C4D6解析：b，264x0，解得x3.答案：B3已知平面向量(2，1)，b(1，3)，那么|b|等于()A5B.13C.17D13解析：因为b(2，1)(1，3)(3，2)，所以|b|322213.答案：B4已知向量(2，4)，b(1，1)，则2b()A(5，7)B(5，9)C(3，7)D(3，9)解析：2b(4，8)(1，1)(5，7)答案：A5在下列向量组中，可以把向量(3，2)表示出来的是
4、()Ae1(0，0)，e2(1，2)Be1(1，2)，e2(5，2)Ce1(3，5)，e2(6，10)De1(2，3)，e2(2，3)解析：由题意知，A选项中e10，C、D选项中两向量均共线，都不符合基底条件，故选B(事实上，(3，2)2e1e2)答案：B在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA，点A的位示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量OA(x，y)，向量坐标0，不能表示成，因为x2，y2有可能等于0.2已知OAOBOC(，为常数)，则A，B，C三点共线一个区别置被向量唯一确定，此时点A的坐标与的坐标统一为(x，y)但表中既有大小信息又有方向信息两点提醒1若，b为非零向量，当b时，b
5、的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错2若(x1，y1)，b(x2，y2)，则b的充要条件是x1y2x2y1x1y1x2y2三个结论1若与b不共线，b0，则0.的充要条件是1.3平面向量的基底中一定不含零向量1已知点A(1，3)，B(4，1)，则与向量AB同方向的单位向量一、选择题为()A.5，5B.5，5C.5，5D.5，5AB1|AB|54)5，.解析：2bkc，(3，1)2(0，2)kc，则c(3，34433443解析：AB(3，4)，则与其同方向的单位向量e(3，345答案：A2已知向量(3，1)，b(0，2)若实数k与向量c满足2bkc，则c可以是()A(3，1)B
6、(1，3)C(3，1)D(1，3)1k3)答案：D3(2017朝阳一模在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM的中点，ANABAC，则的值为(A.B.C.D1可设AMxAByAC(xy1)111234解析：M为边BC上任意一点，N为AM的中点，)1AM1xAB1yACABAC.AN(xy).解析：因为与b共线，所以y1x2x30，5(2017大连模拟)已知平面向量(1，x)，b2x3，y1，AB4CD3则yx23x1(x3)2，2221122答案：A4若，是一组基底，向量xy(x，yR)，则称(x，y)为向量在基底，下的坐标，现已知向量在基底p(1，1)，q(2，1)下的坐标为(2，2)，则
7、在另一组基底m(1，1)，n(1，2)下的坐标为()A(2，0)B(0，2)C(2，0)D(0，2)解析：在基底p，q下的坐标为(2，2)，即2p2q(2，4)，令xmyn(xy，x2y)，xy2，x0，即x2y4，y2.在基底m，n下的坐标为(0，2)答案：D1若与b共线，则yf(x)的最小值是()972211172226已知，b是不共线的向量，ABb，ACb，解析：A、B、C三点共线，存在实数t，满足ABtAC，7所以当x3时，ymin2.答案：CR，那么A、B、C三点共线的充要条件为()A2B1C1D1即bttb，又，b是不共线的向量，t，1.1t答案：D7已知两点A(1，0)，B(1，
8、3)，向量(2k1，2)，若AB解析：因为A(1，0)，B(1，3)，所以AB(2，3)又因为AB，所以2k12，故k7.二、填空题，则实数k的值为_236答案：768(2015江苏卷)已知向量(2，1)，b(1，2)，若mnb(9，8)(m，nR)，则mn的值为_2m，1n.答案：b，BCb，CAc，且CM3c，CN2b.4)设AB的坐标(3)求M，N的坐标及向量MNmn1，3解析：mnb(2mn，m2n)(9，8)，2mn9，m2，mn253.m2n8，n5，答案：39设e1、e2是平面内一组基向量，且e12e2，be1e2，则向量e1e2可以表示为另一组基向量，b的线性组合，即e1e2_
9、解析：由题意，设e1e2mnb.因为e12e2，be1e2，所以e1e2m(e12e2)n(e1e2)(mn)e1(2mn)e2.由平面向量基本定理，得所以2mn1，321即e1e233b.2133三、解答题10(2016郑州一中月考)已知A(2，4)，B(3，1)，C(3，(1)求3b3c；(2)求满足mbnc的实数m、n的值；解：由已知得(5，5)，b(6，3)，c(1，8)OMOC3c，CM3cOC(3，24)(3，4)(0，20)，OMONOC2b，又CN2bOC(12，6)(3，4)(9，2)，ON(9，18)MN(1)3b3c3(5，5)(6，3)3(1，8)(1563，15324
10、)(6，42)(2)mbnc(6mn，3m8n)(5，5)，6mn5，3m8n5，m1，解得n1.(3)设O为坐标原点，M(0，20)N(9，2)，1、数论是人类知识最古老的一个分支，然而他的一些最深奥的秘密与其最平凡的真理是密切相连的。2、数学是研究现实生活中数量关系和空间形式的数学。3、我总是尽我的精力和才能来摆脱那种繁重而单调的计算。4、一个数学家越超脱越好。5、数学是各式各样的证明技巧。6、数学是锻炼思想的体操。7、整数的简单构成，若干世纪以来一直是使数学获得新生的源泉。8、数学是研究抽象结构的理论。9、历史使人贤明，诗造成气质高雅的人，数学使人高尚，自然哲学使人深沉，道德使人稳重，而伦理学和修辞学则使人善于争论。10、数学方法渗透并支配着一切自然科学的理论分支。它愈来愈成为衡量科学成就的主要标志了。