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1、弧长和扇形面积、圆锥的侧面展开图-知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.通过复习圆的周长、圆的面积公式，探索n的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并应用这些公式解决问题；2.了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，会应用公式解决问题；3.能准确计算组合图形的面积.【要点梳理】要点一、弧长公式半径为R的圆中360的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式：n的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分)要点诠释：(1)对于弧长公式，关键是要理解1的圆心角所对的弧长是圆周长的，即；(2)公式中的表示1圆心角的倍数，故和180都不带单位，R为弧所在圆的半径；(3)弧长
2、公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量.要点二、扇形面积公式1.扇形的定义由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形.2.扇形面积公式半径为R的圆中360的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式：n的圆心角所对的扇形面积公式：要点诠释：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1的扇形面积是圆面积的，即；(2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量.(3)扇形面积公式类似，可类比记忆；，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点(4)扇形两个面积公式之间的联系：
3、要点三、圆锥的侧面积和全面积.连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线.圆锥的母线长为，底面半径为r，侧面展开图中的扇形圆心角为n，则圆锥的侧面积S=扇npl2360=prl，圆锥的全面积.要点诠释：扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长.因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积，全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的.【典型例题】类型一、弧长和扇形的有关计算1.如图所示，一纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120，BC的长为20cm，那么AB的长是多少?【答案与解析】l=npR180，120pR20p=180解得R30cm答：AB的长为30cm【总结升华
4、】由弧长公式l=npR180知，已知l、n，可求R举一反三：【高清ID号：359387高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】【变式】一个圆柱的侧面展开图是相邻边长分别为10和16的矩形，则该圆柱的底面圆半径是p或【答案】由圆柱的侧面展示图知：2r=10或2r=16，解得r=58p.2.如图所示，矩形ABCD中，AB1，AD3，以BC的中点E为圆心的MPN与AD相切于点P，则图中阴影部分的面积是多少?【答案与解析】BCAD3，BE=32=2=连接PE，AD切E于P点，PEADAB90四边形ABEP为矩形，PEAB13BE3在BEM中，BEM30ME12同理C
5、EN30，MEN180-302120S扇形npR2120p12p=3603603【总结升华】由MPN与AD相切，易求得扇形MEN的半径，只要求出圆心角MEN就可以利用扇形面积公式求得扇形MEN的面积举一反三：【高清ID号：359387高清课程名称：弧长扇形圆柱圆锥关联的位置名称（播放点名称）：经典例题5-6】【变式】若圆锥经过轴的截面是一个正三角形，则它的侧面积与底面积之比是（）A3:2B3:1C5:3D2:1【答案】D；【解析】设圆锥底面圆的半径为r，S底=r2，S侧=2r2r=2r2，S侧：S底=2r2：r2=2：1类型二、圆锥面积的计算3.如图（1），从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆
6、心角为90的扇形（1）求这个扇形的面积（结果保留p）（2）在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由（3）当O的半径R(R0)为任意值时，（2）中的结论是否仍然成立？请说明理由AOBCEC【答案与解析】（1）连接BC，如图（2），由勾股定理求得：npR21AB=AC=2S=p3602（2）连接AO并延长，与弧BC和O交于E，F，BAOEF=AF-AE=2-2弧BC的长：l=npR2pr=2F2=p，图（2）18022p圆锥的底面直径为：2r=222-222，不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥由勾股定理求得：AB=AC=2R弧BC的长：l=
7、npR（3）（2）中的结论仍然成立.2=pR18022pr=2pR2圆锥的底面直径为：2r=22REF=AF-AE=2R-2R=(2-2)R2-202(2-2)R22R即无论半径R为何值，EF2r不能在余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成圆锥【总结升华】（1）连接BC、OA，由于BAC=90，根据圆周角定理知BC为O的直径，根据等腰三角形的性质即可求出AB、AC的长，即扇形的半径长，已知了扇形的圆心角为90，根据扇形的面积公式即可求出扇形的面积（2）过A作O的直径AF，求出以FE为直径的圆的周长，若此圆的周长弧BC的长，则不能围成圆锥，反之则能举一反三：【变式】（2015黔西南州）已知圆锥的底
8、面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是【答案】24.【解析】底面周长是：23=6，则侧面积是：65=15，底面积是：32=9，则全面积是：15+9=24故答案为：24类型三、组合图形面积的计算4.（2015山西模拟）如图，已知OABC的外接圆，AC是直径，A=30，BC=2，点D是AB的中点，连接DO并延长交O于点P，过点P作PFAC于点F（1）求劣弧PC的长；（结果保留）（2）求阴影部分的面积（结果保留）【答案与解析】解：（1）点D是AB的中点，PD经过圆心，PDAB，A=30，POC=AOD=60，OA=2OD，PFAC，OPF=30，OF=OP，OA=OC，AD=BD，BC=2OD，OA=BC=2，O的半径为2，劣弧PC的长=（2）OF=OP，OF=1，PF=；，S阴影=S扇形OPF=1=【总结升华】本题考查了垂径定理的应用，30角的直角三角形的性质，三角形的中位线的性质，弧长公式以及扇形的面积公式等，求得圆的半径和扇形的圆心角的度数是解题的关键