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1、第17讲巧解分解质因数问题巧点睛方法和技巧（1）若自然数N分解质因数的结果是：N=P1r1P2r2Pnrn，其中P1，P2，Pn为互不相同的质数，r1，r2，rn为自然数，且分别是P1，P2，Pn的指数，那么，N的约数个数是（r1+1）（r2+1）（rn+1）N的所有约数的和是（1+P1+P12+P1r1）（1+P2+P22+P2r2）（1+P2+Pn2+Pnrn）（1）如果一个数是某一个质数的平方，那么这个数只有3个约数。反过来,如果一个数只有3个约数,那么这个数一定是某个质数的平方。（2）如果一个数是某一个质数的平方，那么这个数只有3个约数。反过来，如果一个数只3个约数，那么这个数一定是某
2、个质数的平方。（3）如果一个数为一个完全平方数，那么这个数的约数个数一定是奇数；反之，如果一个数的约数个数是奇数，那么这个数一定是一个完全平方数。如果一个数不是完全平方数，那么这个数的约数个数一定是偶数；反之，如果一个数的约数个数是偶数，那么这个数一定不是完全平方数。巧指导例题精讲A级冲刺名校基础点晴【例1】有4个学生，他们的年龄恰好是一个比一个大1岁，而他们的年龄的乘积是5040。问：他们的年龄。分析与解我们先把5040分解质因数得5040=243257再把这些质因数湊成四个连续自然数的乘积：243257=78910答：这4名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁。做一做1有5个孩子，他们
3、的年龄一个比一个小1岁，他们年龄的乘积是55440。求这5个孩子的年龄。【例2】工厂有零件403箱，要用若干辆汽车运送，要求每辆汽车运的箱数相等，而且要一次运完。问：要用几辆汽车？每辆汽车运多少箱？分析与解因为403可分解质因数为403=1331，所以，若用13辆汽车运，每辆汽车应运31箱；若31辆汽车运，每辆汽车应运13箱。做一做2有一个老师带领同学们去植树。同学们按人数恰好等分成三组。已知他们共植树312棵，老师与学生每人植树一样多，且都不超过10棵。问：一共有多少名学生？每人植树多少棵？【例3】有3个自然数，b,c，若已知b=10,bc=35,c=14,则bc值是多少？解因为（b）（bc
4、）（c）=103514，即bbcc=255727(bc)(bc)=(257)(257)所以bc=257=70做一做3有3个自然数，b,c,已知b=30，bc=35,c=42,求bc的值。B级培优竞赛更上层楼【例】下面的算式里，里面的数字各不相同，求这个个数字的和。=1995分析与解要使两位数的积等于1995，那么，这两个数的积应和1995有相同的质因数。1995=35719，可以有3557=1995和2195=1995。因为要满足“数字各不相同”的条件，所以取2195=1995。这四个数字的和是2195=17。做一做4在下面的算式里，四个小纸片各盖住一个数字，求被盖住的四个数字的总和。1653
5、【例5】如果两数的和是64，两数的积可以整除4875，那么这两个数的差等于多少？分析与解两个数的积可以整除4875，说明这两个数都是4875的约数。先把4875分解质因数：4875=355513用这些因子湊成两个数，使它们的和是64，这两个数只能是313=39和55=25，所以它们的差是3925=14。答：这两个数的差等于14。做一做5将一个三位数的个位数字与百位数字对调位置，得到一个新的三位数。已知这两个三位数的乘积等于65125，那么这两个三位数的和等于。【例6】有6个人都是4月5日出生的，并且都是属龙，某一年他们年龄的连乘积为17597125，那么这一年他们的年龄之和是多少？分析与解交1
6、7597125分解质因数：17597125=55577131317因为属相一样的人，年龄之差为0或12的倍数，由此可判断，13，17不可能同时存在。若6人中有17岁的人，则其他的人年龄是5，29，41，65，77，这些数中的几个。但按照分解质因数的结果只能湊出5，65，65这三个数符合要求，剩下的7，7无法湊出符合要求的数。若6个人中有13岁的人，经组合试验，这6个人的年龄分别为1，13，13，25，49，85，它们的和为186。做一做6在射箭运动中，每一箭得到的环数是不超过10的自然数或者是0（脱靶）。甲、乙两名运动员各射了5箭，每人5箭得到的环数的积都是1764，但是甲的总环数比乙少4环，
7、求甲、乙的总环数。C级（选学）决胜总决赛勇夺冠军【例7】分别很久的两位老朋友相遇了，其中第一个人说：“他有三个孩子，他们的年龄乘积等于36，而他们的年龄的和是相遇地点所在房子的窗户数。”第二个人说：“他还不能确定这些孩子的年龄。”于是第一个人又补充说：“他的岁数最大的孩子是黑色头发。”第二个人立刻说出了这些孩子的年龄。试问：每个孩子的年龄是多少岁？解首先36=1136=1218=1312=149=166=229=236=334，这8个式子各因式的和分别为38，21，16，14，13，13，11，10。其次屋子里的窗户数是知道的，这意味着知道了年龄的和，但还不能确定孩子的年龄，因为这时只能知道年
8、龄的和是一亲友的，即2，2，9或1，6，6。其中1，6，6可排除，因为其中有两个6岁的孩子，这时三人中就没有岁数最大的孩子。这样剩下的是2，2，9，可见岁数最大的孩子是9岁，所以三个孩子的年龄分别是2岁，2岁，9岁。“做一做7主人对客人说：“院子里有三个小孩，他们的年龄之积等于72，年龄之和恰好是我家的楼号，楼号你是知道的，你能求出这些孩子的年龄吗？”客人想了一下说：我还不能确定答案”。他站起来，走到窗前，看了看楼下的孩子说：“有两个很小的孩子，我知道他们的年龄了。”问：主人家的楼号是多少？三个孩子的年龄分别是多少？巧练习温故知新（十七）A级冲刺名校基础点晴1.小明是个中学生，他说：“这次考试
9、我的名次乘以我的年龄再乘以我的考试分数，结果是2910。”你能算出小明的名次、年龄与他这次考试的分数吗？2.在算式ABCD=1995中，不同的字母代表不同的数字，求这个算式中四个字母的和。3.如果两个数的积与308和450的积相等，并且这两个数能同时被30整除，求这两个数。4.将750元资金平均分给若干获奖者，如果每人所得的钱数化成以角作单位的数就正好是得钱人数的12倍，求获奖人数。5.,b,c三个数都是两位整数，且bc，已知它们的和是偶数，它们的积是3960，则，b,c三个数分别是多少？B级培优竞赛更上层楼6.有一种最简真分数，它们的分子与分母的乘积都是420，如果把所有这样的分数从小到大排
10、列，那么第三个分数是多少？7.试把1112111这个对称的数分解因数。8.2000年的哪几天，年数，月数和日数的乘积恰好等于三个连续的5的倍数（如5，10，15）的乘积？9.有一个长方体木块，它的长、宽、高的长度正好是三个连续自然数，已知这个长方体的体积是3360立方厘米求这个长方体的表面积。10.商店购进了一箱铅笔，共1000支，按0.4元一支卖出一部分后，剩下的隆价出售，这样剩下的共卖得12.71元。问：这箱铅笔共卖了多少元？C级（选学）决胜总决赛勇夺冠军11.一个合数恰有12个约数，且比1000大，满足这样条件的最小数是。12.把156支铅笔分成n堆（n2），要求每堆一样多且为偶数支，有种方法。13.50050150220012002之积的末尾连续有多少个0？14.小兰家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，且它的末四位数是前三位数的10倍。小兰家的电话号码是多少？巧总结本节我的收获是：。不足之处有：。