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1、分数的速算与巧算1、裂项：是计算中需要发现规律、利用公式的过程，裂项与通项归纳是密不可分的，本讲要求学生掌握裂项技巧及寻找通项进行解题的能力2、换元：让学生能够掌握等量代换的概念，通过等量代换讲复杂算式变成简单算式。3、循环小数与分数拆分：掌握循环小数与分数的互化，循环小数之间简单的加、减运算，涉及循环小数与分数的主要利用运算定律进行简算的问题4、通项归纳法通项归纳法也要借助于代数，将算式化简，但换元法只是将“形同”的算式用字母代替并参与计算，使计算过程更加简便，而通项归纳法能将“形似”的复杂算式，用字母表示后化简为常见的一般形式知识点拨一、裂项综合（一）、“裂差”型运算(1)对于分母可以写作
2、两个因数乘积的分数，即1111么有=(-)abb-aab1ab形式的，这里我们把较小的数写在前面，即ab，那，形式的，我们有：(2)对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数，即：11n(n+1)(n+2)n(n+1)(n+2)(n+3)1111=-n(n+1)(n+2)2n(n+1)(n+1)(n+2)1111=-n(n+1)(n+2)(n+3)3n(n+1)(n+2)(n+1)(n+2)(n+3)裂差型裂项的三大关键特征：（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。（2）分母上均为几个自然数的乘积形式
3、，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接”（3）分母上几个因数间的差是一个定值。（二）、“裂和”型运算：常见的裂和型运算主要有以下两种形式：=+=+（2）（1）a+bab11abababbaa2+b2a2b2ab=+=+abababba裂和型运算与裂差型运算的对比：，裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。三、整数裂项(1)12+23+34+.+(n-1)n=(n-1)n(n+1)(2)123+234+345+.+(n-2)(n-1)n=(n-2)(n-1)n(n+1)1314二、换元解数学题时，把
4、某个式子看成一个整体，用另一个量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法换元的实质是转化，将复杂的式子化繁为简三、循环小数化分数1、循环小数化分数结论：分子纯循环小数循环节中的数字所组成的数混循环小数循环小数去掉小数点后的数字所组成的数与不循环部分数字所组成的数的差0.a=；0.ab=；0.0ab=；0.abc=，分母n个9，其中n等于循环节所含的数字按循环位数添9，不循环位数添0，组成分母，其中个数9在0的左侧aabab1ababc-a99999109909902、单位分数的拆分：11111111111102020()()()()()()()()例：=+=+=+分析：分数单位的拆分，主要方法
5、是：从分母N的约数中任意找出两个m和n,有：11(m+n)mn11=+NN(m+n)N(m+n)N(m+n)AB本题10的约数有:1,10,2,5.。例如：选1和2，有：11(1+2)1211=+=+1010(1+2)10(1+2)10(1+2)3015本题具体的解有：111111111=+=+=+=+1011110126014351530例题精讲模块一、分数裂项【例1】11111+123423453456678978910333【巩固】+.+1234234517181920【例2】计算：5123234+7+198910=【解析】如果式子中每一项的分子都相同，那么就是一道很常见的分数裂项的题目
6、但是本题中分子不相同，而是成等差数列，且等差数列的公差为2相比较于2，4，6，这一公差为2的等差数列(该数列的第n个数恰好为n的2倍)，原式中分子所成的等差数列每一项都比其大3，所以可以先把原式中每一项的分子都分成3与另一个的和再进行计算也可以直接进行通项归纳根据等差数列的性质，可知分子的通项公式为2n+3，所以+n1)(+n)2(+(n+1)(n+2)与n(2n+3=2n()1+2)+n(+n)(3)+1n，再将每一项的n223n(n+1)(n+2)分别加在一起进行裂项后面的过程与前面的方法相同234345+）【巩固】计算：1155（57+1719891091011124523563467+
7、【巩固】计算：345+1210111314【例3】12232342345+234+923410【例4】+11111+21+2+3+11+2+100代入有=，【解析】本题为典型的“隐藏在等差数列求和公式背后的分数裂差型裂项”问题。此类问题需要从最简单的项开始入手，通过公式的运算寻找规律。从第一项开始，对分母进行等差数列求和运算公式的112112=1(1+1)1121+2(1+2)22322+=.【例5】11111132-152-172-192-1112-1132-1【解析】这题是利用平方差公式进行裂项：a2-b2=(a-b)(a+b)，111【例6】2+31111+(1+)(1+)223+199
8、9111(1+)(1+)(1+)23199922+32+3+41+2+31+2+3+4【例7】1+21+2+3+502+3+50n(n+1)【解析】找通项a=n(1+n)nn(n+1)-2(1+n)n2-12【例8】1212+2212+22+3212+22+32+4212+22+262-+-+-1313+2313+23+3313+23+33+4313+23+263n(n+1)(2n+1)12+22+n222n+1211=(+)【解析】a=n6n2(n+1)213+23+n33n(n+1)3nn+14【例9】计算：223222-132-1992992-1=_(项公式：a=n(n+1)2(n+1)
9、2(n+1+1)(n+1-1)=n(n+2)）【巩固】计算：1222+12-100+500022-200+5000+992992-9900+5000=【解析】本题的通项公式为n2n2-100n+5000，没办法进行裂项之类的处理注意到分母n2-100n+5000=5000-n(100-n)=5000-(100-n)100-(100-n)，可以看出如果把n换成100-n的话分母的值不变，所以可以把原式子中的分数两两组合起来，最后单独剩下一个502502-5000+5000将项数和为100的两项相加，得n2-100n+5000(100-n)2-100(100-n)+5000n2-100n+5000
10、n2-100n+5000(100-n)2n2+(100-n)2n22n2-200n+10000+=2，所以原式=249+1=99（或者，可得原式中99项的平均数为1，所以原式=199=99）【例10】24111111+L+-+L+234520211212+2212+22+L+102【解析】虽然很容易看出111111-，-可是再仔细一看，并没有什么效果，因为这不23234545于是我们又有1减号前面括号里的式子有10项，减象分数裂项那样能消去很多项我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式，612+22+32+L+n2n(n+1)(2n+1)号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一
11、个对一个”呢？模块二、换元与公式应用【例11】计算：13+33+53+73+93+113+133+153【例12】计算：1+设S=1+则3S=3+1+，3S-S=3-，整理可得S=1111111+33233343536111111111111364+3323334353633233343536729【例13】计算：2(22+42+62+1002)-(1+32+52+992)1+2+3+9+10+9+8+3+2+1【例14】计算：+12+2222+3232+4242+5220002+200121223344520002001【例15】2007-(8.58.5-1.51.5)10160-0.3=【
12、例16】计算：(1+1111111111+)(+)-(1+)(+)2424624624三、循环小数与分数互化【例17】计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数【例18】某学生将1.23乘以一个数a时，把1.23误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?【例19】有8个数，0.51，,0.51,是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是2524133947250.51，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?【例20】真分数a化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a7是多少?【例21】和化成循环小数后第10
13、0位上的数字之和是_.20021200928720021+=1，而1=0.9，则第100位上的数字和为9.【解析】如果将们发现和转化成循环小数后再去计算第100位上的数字和比较麻烦，通过观察计算我2009287200212009287【例22】=+=-=+=-1111111111145()()()()()()()()()()注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1.【例23】所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是_。=+，其中a、b都是四位数，且ab，那么满足上述条件的所有数对（a,b）是【例24】若1112004ab课后练习：练习1.1
14、23456+121231234123451234561234567练习2.(1-)(2-)(3-)12323489(8-)(9-)910练习3.计算：13+33+53+993=_练习4.计算：1+200723+120082+11200823+1-1+12+111112007练习5.0.15+0.2180.3；11111(2.234-0.98)11(结果表示成循环小数)【备选1】计算：23!4!+月测备选3+99100!=.【备选2】计算：+12+2222+32122320042+2005220052+20062+2004200520052006【备选3】计算：1+23+33+200631+2+3+2006【备选4】计算：-621739458739458378621739458378739458+126358947358947207126358947207358947【备选5】计算2009200911-99900999909901(结果表示为循环小数)