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1、全国初中数学联赛浙江省复赛试卷一、解答题（共5小题，满分100分）1（20分）已知a2+b21，对于满足条件0x1的一切实数x，不等式a（1x）（1xax）bx（bxbx）0（1）恒成立当乘积ab取最小值时，求a，b的值2（20分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC（1）证明：点O在圆D的圆周上（）设ABC的面积为S，求圆D的半径R的最小值3（20分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2509（4a+511b）（1）求a，b的值4（20分）已知a2+b21，对于满足条件x+y1，xy0的一切实数对（xy），不等式ay2xy+bx20（1）恒成立当
2、乘积ab取最小值时，求a，b的值5（20分）设a为质数，b，c为正整数，且满足求a（b+c）的值第1页（共7页）全国初中数学联赛浙江省复赛试卷参考答案与试题解析一、解答题（共5小题，满分100分）1（20分）已知a2+b21，对于满足条件0x1的一切实数x，不等式a（1x）（1xax）bx（bxbx）0（1）恒成立当乘积ab取最小值时，求a，b的值【分析】由已知条件a2+b21，代入已知不等式重新整理，利用特殊值法确定关于a，b的不等式，利用二次函数的增减性，确定判别式的取值范围，进而可以解决【解答】解：整理不等式（1）并将a2+b21代入，得（1+a+b）x2（2a+1）x+a0（2）在不等
3、式（2）中，令x0，得a0；令x1，得b0易知1+a+b0，01，故二次函数y（1+a+b）x2（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间由题设知，不等式（2）对于满足条件0x1的一切实数x恒成立，所以它的判别式（a+1）24（1+a+b）a0，即ab由方程组（3）消去b，得16a416a2+10，所以a2又因为a0，所以a或a或a2，于是方程组（3）的解为或，所以ab的最小值为，此时a，b的值有两组，分别为a，b和a，b第2页（共7页）【点评】此题主要考查了二次函数与不等式以及二元二次方程的解法，综合性较强，需耐心思考2（20分）如图，圆O与圆D相交于A，B两点
4、，BC为圆D的切线，点C在圆O上，且ABBC（1）证明：点O在圆D的圆周上（）设ABC的面积为S，求圆D的半径R的最小值（【分析】1）连OA，OB，OC，可证OBAOBC，即可证明OBAOBC，所以DBDO，即可证点O在圆D的圆周上；（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交AC于点E，设AC2y（0y）即可求证BDOABC，进而可以r，即可求r的最小值，即可解题【解答】解：（1）连OA，OB，OC，AC，因为O为圆心，ABBC，所以OBAOBC，从而OBAOBC因为ODAB，DBBC，所以DOB90OBA90OBCDBO，所以DBDO，因此点O在圆D的圆周上（2）设圆O的半径为a，BO的延长线交
5、AC于点E，易知BEAC设AC2y（0ya），OEx，ABl，则a2x2+y2，Sy（a+x），l2y2+（a+x）2y2+a2+2ax+x22a2+2ax2a（a+x）因为ABC2OBA2OABBDO，ABBC，DBDO，第3页（共7页）所以BDOABC，所以，即，故r所以r2，即r，其中等号当ay时成立，这时AC是圆O的直径所以圆D的半径r的最小值为【点评】本题考查了相似三角形对应角相等、对应边比值相等的性质，考查了不等式的极值问题，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，本题中求点O在圆D的圆周上是解题的关键3（20分）设a为质数，b为正整数，且9（2a+b）2509（4a+511b）（1）
6、求a，b的值【分析】首先将9（2a+b）2509（4a+511b）变形为，此时假设m，n，则可得到b与nm2因而可转化为关于m的一元二次方程3m2511m+6a0利用根与系数的关系，求得m的取值进而讨论a、b的取值【解答】解：式即，故设m，n，则b3n511m+6a0，又nm2，所以3m2511m+6a0由式可知，（2a+b）2能被509整除，而509是质数，于是2a+b能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程有整数根，所以它的判别式511272a为完全平方数不妨设511272at2（t为自然数），则72a5112t2（511+t）（511t）由于511+t和511t的奇偶性相同，且
7、511+t511，所以只可能有以下几种情况：两式相加，得36a+21022，没有整数解两式相加，得18a+41022，没有整数解两式相加，得12a+61022，没有整数解两式相加，得6a+121022，没有整数解第4页（共7页）两式相加，得4a+181022，解得a251两式相加，得2a+361022，解得a493，而4931729不是质数，故舍去综合可知a251此时方程的解为m3或m（舍去）把a251，m3代入式，得b7答：a251，b7【点评】本题考查一元二次方程整数根与有理根、数的整除性问题解决本题的关键是将问题转化为一元二次方程来解决4（20分）已知a2+b21，对于满足条件x+y1，
8、xy0的一切实数对（xy），不等式ay2xy+bx20（1）恒成立当乘积ab取最小值时，求a，b的值【分析】利用特殊值法可得出a、b的范围，把y1x代入不等式，可整理成（1+a+b）x2（2a+1）x+a0，再利用二次函数的性质可得到关于a、b的不等式，可求得ab的最小值，结合条件a2+b21，可得到关于a、b的方程组，则可求得a、b的值【解答】解：x+y1，xy0，0x1，0y1在（1）式中，令x0，y1，得a0；令x1，y0，得b0将y1x代入（1）式，得a（1x）2x（1+x）+bx20，即（1+a+b）x2（2a+1）x+a0（2），a2+b21，1+a+b0，01，二次函数y（1+a
9、+b）x2（2a+1）x+a的图象（抛物线）的开口向上，且顶点的横坐标在0和1之间不等式（2）对于满足条件0x1的一切实数x恒成立，（a+1）24（1+a+b）a0，即ab第5页（共7页）由方程组（3），消去b，得16a416a2+10，解得a0，a或a方程组（3）的解为或或a2，满足条件的a，b的值有两组，分别为a，b和a，b【点评】本题为二次函数的综合应用，构造二次函数，根据二次函数的性质得到ab，从而求得ab的最小值是解题的关键本题综合性较强，涉及构造的思想，难度较大5（20分）设a为质数，b，c为正整数，且满足求a（b+c）的值【分析】先把（1）式化为完全平方的形式，再把原方程化为关于
10、m、n、a的三元二次方程，再根据nm2，此方程化为二元二次方程，由（1）可判断出m为整数，再由一元二次方程的判别式可得511272a为完全平方数，设511272at（t为自然数），再把关于t的方程进行因式分解，求出符合条件的a的值代入（2）即可求解【解答】解：把（1）式化为，设m2bc，n（3），则故3n511m+6a0，又nm2，所以3m2511m+6a0（4）（5分）由（1）式可知，（2a+2bc）2能被509整除，而509是质数，于是2a+2bc能被509整除，故m为整数，即关于m的一元二次方程（4）有整数根，所以它的判别式51172a为完全平方数（10分）第6页（共7页）不妨设5112
11、72at2（t为自然数），则72a5112t2（511+t）（511t）由于511+t和511t的奇偶性相同，且511+t511，所以只可能有以下几种情况：舍去两式相加，得36a+21022，没有整数解；两式相加，得18a+41022，没有整数解；两式相加，得12a+61022，没有整数解；两式相加，得6a+121022，没有整数解；两式相加，得4a+181022，解得a251；两式相加，得2a+361022，解得a493，而4931729不是质数，故综合可知a251，此时方程（4）的解为m3或m把a251，m3代入（3）式，得2bc（舍去）（20分）7，即c2b7代入（2）式得b（2b7）2，所以b5，c3，因此a（b+c）251（5+3）2008（25分）故答案为：2008【点评】本题考查的是质数与合数的定义、奇数与偶数、一元二次方程根的判别式，涉及面较广，难度较大第7页（共7页）