《偏微分方程数值解试题参考答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《偏微分方程数值解试题参考答案.docx（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、xRn偏微分方程数值解一（10分）、设矩阵A对称正定，定义J(x)=1(Ax,x)-(b,x)(xRn)，证明下2列两个问题等价：(1)求xRn使J(x)=minJ(x);(2)求下列方程组的解：Ax=b00解:设xRn是J(x)的最小值点,对于任意的xRn,令02(Ax,x),j(l)=J(x+lx)=J(x)+l(Ax-b,x)+l2000(3分)J(x+x)=j(1)=j(0)+(Ax,x)J(x),因此x是J(x)的最小值点.(4分)2二（10分）、对于两点边值问题：dxdx因此l=0是j(l)的极小值点,j(0)=0,即对于任意的xRn,(Ax-b,x)=0,特0别取x=Ax-b,则
2、有(Ax-b,Ax-b)=|Ax-b|2=0,得到Ax=b.(3分)00000反之,若xRn满足Ax=b,则对于任意的x,001000评分标准:j(l)的表示式3分,每问3分,推理逻辑性1分dduLu=-(p)+qu=fx(a,b)u(a)=0,u(b)=0其中pC1(a,b),p(x)minp(x)=pxa,bmin0,qC(a,b),q0,fH0(a,b)a(u,v)=b(p.+quv)dx=bfvdx=f(v),vH1(a,b)dxdxaa建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的Ritz形式和Galerkin形式的变分方程。解:设H1=u|uH1(a,b),u(a)=
3、u(b)=0为求解函数空间,检验函数空间.取0vH1(a,b),乘方程两端,积分应用分部积分得到(3分)0dudv0即变分问题的Galerkin形式.(3分)令J(u)=1a(u,u)-(f,u)=1bp(du)2+qu2-fudx,则变分问题的Ritz形式为22adx求u*H1(a,b),使J(u*)=minJ(u)01uH0(4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题2u2u+x2y2=-1,(x,y)G=(0,1)(0,1)u|G=0（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。（2）取
4、h=1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就取h=1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。解:(1)区域离散x=jh,y=kh,差分格式为jkh2+h2=-1(5分)uj+1,k-2u+ujkj-1,kuj,k-1-2u+ujkj,k+1应用Tayloy展开得到,截断误差为hu+u+O(h4),其阶为O(h2)(3分)A=,F=(4分)0-1-1124412x4y4jk(2)未知量为U=(u,u,u,u)T,矩阵形式为AU=F,其中111221224-1-101-140-111-104-1914解为u=1(1,1,1,1)T(3分)18(3)
5、矩阵为,B=OO-14B-I-IBO-IO-I4-1-14-1B(5分)=a四（20分）、对于初边值问题u(x,0)=j(x),0x1评分标准:第1问8分,格式4分,截断误差4.(2)7分,方程4分,解3分.(3)5分,形式3分,B的形式2分u2u,0x1,0tTtx2u(0,t)=u(1,t)=0,0tT（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即AUk+1=BUk+tF的形式），用矩阵方法分析格式的稳定性（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier方法（分离变量法）分析格式的稳定性。t=a解:(1)区域离散,格式为uk+
6、1-ukjj1d2ukh2xj,(5分)应用Taylo展开得到,误差主项为1(u)kt-ah(u)k+O(t2+h4),阶为r2242t2j12x4jO(t+h2)(3分)(2)A=E,B=diagr,1-2r,r,(4分)稳定条件为r1/2(3分)t=ad2(quk+1+(1-q)uk),(3分)h2x(3)格式为uk+1-ukjjjj当q1格式恒稳定,当q0)uk+1-ukjjt=auk-2uk+ukj+1jj-1uk-ukj+1j-1j的稳定性解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分|G|=l2sin2kh+1-4m(1-coskh)+4m2(1-coskh)2=l2(1-coskh)(1+coskh)+1-4m(1-coskh)+4m2(1-coskh)2=1-(1-coskh)4m-4m2(1-coskh)-l2(1+coskh)(2分)vonNeumann条件|G|1变为4m-4m2(1-coskh)-l2(1+coskh)0即4m-2l2-(4m2-l2)(1-coskh)0条件4m-2l0可以写成at1。第二个条件可化为2nt1，因此差分格式稳1,1(3分)只需4m-2l20,2(l2-4m2)+4m-2l2022nh2定的条件是a2t2nt2nh2