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1、小专题(八)用分类讨论求解等腰三角形多解问题(本专题部分习题有难度，请根据实际情况选做)类型1对对顶角和底角的分类讨论方法归纳：对于等腰三角形，只要已知它的一个内角的度数，就能算出其他两个内角的度数，如果题中没有确定这个内角是顶角还是底角，就要分两种情况来讨论在分类时要注意：三角形的内角和等于180；等腰三角形中至少有两个角相等1等腰三角形是有一个角为52，它的一条腰上的高与底边的夹角为多少度？2如果等腰三角形中的一个角是另一个角度数的一半，求该等腰三角形各内角的度数类型2对腰长和底长的分类讨论方法归纳：在解答已知等腰三角形边长的问题时，当题目条件中没有明确说明哪条边是“腰”，哪条边是“底”时
2、，往往要进行分类讨论判定的依据是：三角形的任意两边之和大于第三边；两边之差小于第三边21教育网3若一个等腰三角形的三边长均满足(x2)(x4)0，求此等腰三角形的周长4若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和12cm两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长类型3对锐角、直角和钝角三角形的分类讨论方法归纳：根据等腰三角形顶角的大小可以将其分为锐角、直角和钝角三角形不同的三角形其高、中线、垂直平分线的交点位置均不同，比如锐角三角形腰上的高在这个三角形的内部；直角三角形腰上的高在顶角的顶点上；钝角三角形腰上的高在这个三角形的外部，因此在解答时需要分类讨论已知ABC中，ABAC，AB的垂直平分线与AC所在
3、的直线相交成50的角，求底角的度数6一个等腰三角形一边上的高等于另一边的一半，则等腰三角形底角的度数是多少？7AC为等腰ABD的腰BD上的高，且CAB60.求这个三角形各内角的度数2参考答案1若已知的这个角为顶角，则底角的度数为(18052)264，故一腰上的高与底边的夹角为26；若已知的这个角为底角，则一腰上的高与底边的夹角为38.故所求的一腰上的高与底边的夹角1为26或38.2.设A，B，C是该等腰三角形的三个内角，且AB.设Ax，则B2x.若B是顶角，则A，C是底角，于是有CAx.ABC180，x2xx180.解得x45，故AC45，B90.若B是底角，因为AB，所以A是顶角，CB2x.
4、ABC180，2x2xx180.解得x36，故A36，BC72.综上所述，等腰三角形的各内角为45、45、90或36、72、72.3.据题意，得x2、x4都满足(x2)(x4)0.从而可知等腰三角形的三边长有四种可能情况：2、2、4或2、4、4或2、2、2或4、4、4.其中，根据三角形的三边关系知，以2、2、4为边不能构成三角形，而其他三种情况均符合条件因此，所求等腰三角形的周长为6或10或4如图，由于条件中中线分周长的两部分，并没有指明哪一部分是9cm、哪一部分是12cm，因此，应xy12.有两种情形：若设这个等腰三角形的腰长为xcm，底边长为ycm，于是根据题意，得x1x9，212或2xy
5、9.1y9.y5.x1x12，x6，x8，解得或即当腰长是6cm时，底边长是9cm；当腰长是8cm时，底边长是52cm.5.由题意可判断该三角形不可能是直角三角形、可能是锐角三角形或钝角三角形，故分两种情况讨论：如图1，垂直平分线DE与腰AC相交，且AED50，则A40，所以BC70；如图2，当AB的垂直平分线DE与腰AC的反向延长线相交，且AED50，则EAD40，BAC140，所以两底角BC20.综上可知，等腰三角形的底角为70或20.21cnjycom22226设A为顶角，则ABC、ACB为底角(1)若A为锐角，如图1，作BDAC于点D，根据题意有BD1AB，BDA90，A30，ABCA
6、CB75；(2)若A为直角，根据题意“等腰三角形一边上的高等于另一边的一半”，这种情况无解；(3)若A为钝角，有三种情况：1如图2，作ADBC于点D，根据题意有：ADAB，1ADB90，ABCACB30；如图3，作BDCA的延长线于点D，根据题意有：BDBC，1ADB90，ABCACB30；如图4，作BDCA的延长线于点D，根据题意有：BDAB，ADB90，BAD30，ABCACB15.综上所述，等腰三角形底角的度数是75、30或15.7.如图1，高AC在ABD的内部，因为CAB60，ACB90，所以B30.因为BABD，所以BADD75；如图2，高AC在ABD的外部，因为CAB60，ACB90，所以ABC30，所以ABD150.因为BABD，所以BADD15；如图3，高AC在ABD的外部，因为CAB60，ACB90，所以B30.因为DADB，所以BADB30，所以ADB120.www.21-cn-