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1、专题17精品文档用心整理直角三角形中的比例线段阅读与思考借助相似三角形法研究直角三角形，我们会得到许多在解题中应用极为广泛的结论如图，在ABC中，A=900，ADBC于D，则1图中角的关系：B=DAC，C=DAB；2同一三角形中三边平方关系：AB2=AD2+BD2，AC2=AD2+CD2；BC2=AB2+AC23三角形之间的关系：BADCABDCADCBA，由此得出的线段之间的关系：AD2=BDDC，AB2=BDBC，AC2=CDBC直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，由此得出的等积式在计算与证明中应用极为广泛，其特点是：一线段是两个三角形的公共边；另两条线段在同一直线上
2、例题与求解【例1】如图，ABC中，CD为斜边AB上的高，DECB于E若BE=6，CE=4，则AD=_（上海市竞赛试题）解题思想：图中有两个基本图形，恰当选取相应关系式求出ADCCEADADBB例1题图例2题图【例2】如图，在ABC中，C=900，CDAB，下列结论：AC2AD=CDAB=ACBC；BC2BD1AC211+=；AC+BCCD+ABBC2CD2其中正确的个数是()A4个B3个C2个D1个（江苏省竞赛试题）解题思路：综合运用直角三角形性质逐一验证，从而作出判断资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【例3】如图，在等腰ABC中，AB=1，A=900，点E为腰AC的中点，点F在底
3、边BC上，且EF，求CEF的面积（全国初中数学联赛试题）解题思想：欲求EFC的面积，由于EC=高与EC的关系12，只需求出EFC中EC边上的高，或求出EC边上的AEBFC本例解法甚多，同学们的解题思路，自由探索与思考，寻求更多更好的解法【例4】如图，直线OB是一次函数y2x的图象，点A的坐标为(0，2)，在直线OB上找一点C，使ACO为等腰三角形，求点C的坐标（江苏省竞赛试题）解题思想：注意分类讨论yABOx能力训练A级1如图，在两个直角三角形中，ACB=ADC=900，AC=6，AD=2，当AB=_时，这两个直角三角形相似ACEDEFGADBC（第1题图）AD（第2题图）BBC（第3题图）2
4、如图，在ACB中，CDAB于点D，A的平分线AF交CD于E，过E引EGAB交BC于G，若CE=3，则BG的长为_（上海市竞赛试题）3如图，ABCD为矩形，ABDE为等腰梯形，BD=20，EA=10，则AB=_（“五羊杯”竞赛试题）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理4如图，梯子AB斜靠在墙面上，ACBC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）Ax=yBxyCxyD不确定（江苏省竞赛试题）AADEB（第4题图）CBC（第5题图）5如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=3，AEBD于E，则EC等于（）2B52D21A72C152
5、在ABC中，AD是高，且AD2=BDCD，那么BAC的度数是（）A小于900B等于900C大于900D不确定（全国初中数学联赛试题）如图，在ABC中，已知C=900，AD是CAB的角平分线，点E在AB上，DECA，CD=12，BD=15，求AE，BE的长（上海市中考试题）CDAEB（第7题图）8如图，在矩形ABCD中，E是CD的中点，BEAC交AC于F，过F作FGAB交AE于G，求证：AG2=AFFC（西安市中考试题）DECGFAB（第8题图）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理9如图，在ABC中，ACB=900，CDAB，DEAC，DFBC，D，E，F分别为垂足，求证：CD3=AB
6、AEBF(四川省中考试题)CFEAD（第9题图）B10如图，在ABC中，ACB=900，AD平分CAB交BC于点D，过点C作CEAD于点E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EGBC交AB于点G，AEAD=16，AB=45求证：CE=EF；求EG的长（河南省中考试题）CDEAFGB（第10题图）如图，在ABC中，已知ACB=90，BC=kAC，CDAB于点D，点P为AB边上一动点，PEAC于E，PFBC于FCCE当k=2时，则=_；BFEF当k=3时，连结EF，DF，求EFDF的值；ADPB（第11题图）当k=_时，EF23（直接写出结果，不需证明）DF3资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档
7、用心整理B级1如图，在ABC中，A=900，ADBC，P为AD的中点，BP交AC于E，EFBC于F，AE=3，EC=12，则EF=_（黄冈市竞赛试题）AEBDF（第1题图）CCDAB（第2题图）2如图，在ABC中，两条直角边AB，AC的长分别为1厘米，2厘米，那么直角的角平分线的长度等于_厘米（全国初中数学联赛试题）3如图，EFGH是矩形ABCD的内接矩形，且EF：FG=3：1，AB：BC=2：1，则AH：AE=_（上海市竞赛试题）DGCFCADHFAE（第3题图）BAED（第4题图）BBE（第5题图）C如图，ABC中，ACB=900，CD和CE分别是底边AB上的高和C的平分线，若CEDABC
8、，则ECD等于()A180B200C22.50D300（山东省竞赛试题）如图，在ABC中，D，E分别在AC，BC上，且ABAC，AEBC，BD=DC=EC=1，则AC=（）A2B3C32D33E43（美国高中统一考试题）6如图，在等腰ABC中，F为AC边的中点，ADBF求证：BD=2CD（武汉市竞赛试题）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理7如图，P，Q分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且BP=BQ，过B点作PC的垂线，垂足为H求证：DHHQ（“祖冲之杯”邀请赛试题）ADPHBQC（第7题图）ABC中，BC=a，AC=b，AB=c若C=900，如图1，根据勾股定理，则a2+b
9、2=c若ABC不是直角三角形，如图2、图3，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论AAAbcbcbcCa图1BCa图2BCa图3B9已知AOB=900，在AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角形的直角顶点与点C重合，它的两条直角边分别与OA，OB（或它们的反向延长线）相交于点D，E当三角形绕点C旋转到CD与OA垂直时，如图1，易证：OD+OE=2OC当三角形绕点C旋转到CD与OA不垂直，如图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段OD，OE，OC之间，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明AMAMADOCEBDOCEBOCDE
10、B图1图2图3资料来源于网络仅供免费交流使用证：DP精品文档用心整理10如图，在ABC中，点D，E，Q分别在AB，AC，BC上，且DEBC，AQ交DE于点P求PE=BQQC在ABC中，BAC=900，正方形DEFG的四个顶点在ABC的边上连接AG，AF分别交DE于M，N两点如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；如图3，求证：MN2=DMEN（武汉市中考试题）AAADPEDMNEDMNEBQ图1CBGF图2CBG图3FC专题17直角三角形中比例线段资料来源于网络仅供免费交流使用例14精品文档用心整理115例2B提示：只有结论是错误的.例3提示：过F点作FMEC于M，324由ABEMEF，得
11、EMAB11=2，EM=2MF.又FM=MC=EC=.MFAE36例4提示：满足题意的点C有4个，坐标分别为,81625452545，,-,-，555555,1CAB，=，从而=12DE1EF10DF3DF3(3)3APBPPD6B级1提示：延长FE，BA交于G，=GEBEEF2，GE，AGEFCE232提示：过B作BEAD，交CA的延长线于E3514C5C6提示：过C作AC的垂线，交AD延长线于GABECAG，AECGABFEBA，EBAEABAF21，EBDGCD，BDDCEBCGEBAE21，BD2CD7提示：由PBHBCH及BPBQ，得BQBH=BCHCHCBH=，从而有，可推证得BH
12、QCHD提示：当DCBQABC为锐角三角形时，过A作ADBC于D，可证a2+b2c当ABC为钝角三角形时，过B作BDAC于D，可证a2b2c29提示：图2结论：ODOE2OC过C作CPOA于P，CQOB于，则CPDCQE，DPEQ，OPDODP，OQOEEQ又OPOQ2OC，即ODDPOEEQ2OC，故ODOE2OC图3的结论：OEOD2OC10(1)略(2)29BC90，CEFC90，BCEF，又BGDEFC，BGDEFCDGBG=CFEF，DGEFCFBG又DGGFEF，GF2CFBG由(1)得DMMNENMN2DMEN，=BGGFCFGF2BGCF，MN2DMEN资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用