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1、精品文档用心整理专题17等腰三角形的判定阅读与思考在学习了等腰三角形性质与判定后，我们可以对等腰三角形的判定、证明线段相等的方法作出归纳总结1等腰三角形的判定：从定义入手，证明一个三角形的两条边相等；从角入手，证明一个三角形的两个角相等2证明线段相等的方法：当所证的两条线段位于两个三角形，通过全等三角形证明；当所证的两条线段位于同一个三角形，通过等角对等边证明；寻找某条线段，证明所证的两条线段都与它相等善于发现、构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质为解题服务，是解几何题的一个常用技巧常见的构造方法有：平分线+平行线、平分线+垂线、中线+垂线如图所示：例题与求解【例】如图，在ABC中，AB=
2、7，AC=11，点M是BC的中点，AD是BAC的平分线，MFAD，则CF的长为_（全国初中数学竞赛试题）解题思路：角平分线+平行线易构造等腰三角形，解题的关键是利用条件“中点M”AFBDMC【例】如图，在ABC中，B=2C，则AC与2AB之间的关系是（）AAC2ABBAC2ABCAC2ABDAC2AB(山东省竞赛试题)解题思路：如何条件B=2C，如何得到2AB，这是解本题的关键ABC资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理【例3】两个全等的含300，600角的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E、A、C三点在一条直线上，连结BD，取BD中点M，连结ME，试判断EMC的形状，并说明
3、理由（山东省中考试题）解题思路：从ADEBAC出发，先确定ADB的形状，为判断EMC的形状奠定基础MBDEAC【例】如图，已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF=EF（天津市竞赛试题）解题思路：只需证明FAE=AEF，利用中线倍长，构造全等三角形、等腰三角形AEFBDC【例】如图，在等腰ABC中，AB=AC，A=200，在边AB上取点D，使AD=BC，求BDC度数（“祖冲之杯”竞赛试题）解题思路：由条件知底角为300，这些角并不是特殊角，但它们的差却为600，600使我们联想到等边三角形，由此找到切入口如图1，以BC为边在ABC内作等
4、边BCO；如图，以AC为边作等边ACEAAADDDEOBBCC图1BC图2资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理能力训练A级已知ABC为等腰三角形，由顶点A所引BC边的高线恰等于BC边长的一半，则BAC=_2如图，在ABC中，C=900，ABC=66，ABC以点C为中点旋转到BC的位置，顶点B在斜边AB上，AC与AB相交于D，则BDC=_AA9DAD95BFBCBEC1(第2题)(第3题)(第4题)6若ABC的三边长是a，b，c，且满足a4=b4+c4-b2c，b4=a4+c4-a2c2，如图，ABC是边长为6的等边三角形，DEBC于EEFAC于FFDAB于D，则AD=_（天津市竞赛试
5、题）4如图，一个六边形的六个内角都是1200，其连续四边的长依次是1cm，9cm，9cm，5cm，那么这个六边形的周长是_cm（“祖冲之杯”邀请赛试题）如图，ABC中，AB=AC，B=360，D、E是BC上两点，使ADE=AED=2BAD，则图中等腰三角形共有（）A3个B4个C5个D6个2c4=a4+b4-a2b2，则ABC（）A钝角三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等边三角形（“希望杯”邀请赛试题）7等腰三角形一腰上的高等于该三角形某一条边的长度的一半，则其顶角等于（）A300B300或1500C1200或1500D300或1200或1500（“希望杯”邀请赛试题）8如图，已知ABC中，C
6、=900，A=300，在直线BC或AC上取一点，使得PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有（）A2个B4个C6个D8个（江苏省竞赛试题）ACAFBAGDDECECBB第5题图第8题图第9题图资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理9如图在等腰ABC中，ACB=900，D为BC中点，DEAB，垂足为E，过点B作BFAC交DE的延长线于点F，连接CF交AD于G求证：ADCF；连结，度判断ACF的形状，并说明理由如图，ABC中，ADBC于D，B=2C，求证：AB+BD=CD（天津市竞赛试题）ACBD如图，已知ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得CDE是等边三角形，如果M是
7、线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：CMN是等边三角形（江苏省竞赛试题）DMBNECA12如图1，ABC中，ACB=900，CDAB，垂足为D，AF平分CAB，交CD于点E，交CB于点FCCFFEEEADBADADB图1图2求证：CE=CF；将图1中的ADE沿AB向右平移到DE的位置，使点E落在BC边上，其他条件不变，如图2所示，试猜想：BE与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论（山西省中考试题）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理B级如图，ABC中，AD平分BAC，AB+BD=AC，则B：C的值=_AABDCBDEC(第1题)(第2题)如图，ABC的两边AB、AC的垂直平分线
8、分别交BC于D、E，若BAC+DAE=1500，则BAC的度数是_在等边ABC所在平面内求一点P，使PAB、PBC、PAC都是等腰三角形，具有这样性质的点P有_个如图，在ABC中，ABC=600，ACB=450，AD、CF都是高，相交于P，角平分线BE分别交AD、CF于Q、S，则图中的等腰三角形的个数是（）A2B3C4D5A2FPA1QA3DAASENM(第6C题)EBDC(第4题)AB第5题5如图，在五边形ABCDE中，A=B=1200，EA=AB=BC=11DC=DE，则D=（）22A300B450C600D67.50（“希望杯”竞赛试题）6如图，MAN=160，A1点在AM上，在AN上取
9、一点A2，使A2A1=AA1，再在AM上取一点A3，使A3A2=A2A1，如此一直作下去，到不能再作为止，那么作出的最后一点是（）AA5BA6CA7DA87若P为ABC所在平面内一点，且APB=BPC=CPA=1200，则点P叫作ABC的费尔马点，如图1AAPBB图1CB图2C若点P为锐角ABC的费尔马点，且ABC=600，PA=3，PC=4，则PB的值为_如图2，在锐角ABC外侧作等边ACB，连结BB求证：BB过ABC的费尔马点P，且BB=PA+PB+PC（湖州市中考试题）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理如图，ABC中，BAC=600，ACB=400，P、Q分别在BC、AC上，
10、并且AP、BQ分别是BAC、ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP（全国初中数学联赛试题）AQBPC如图，在ABC中，AD是BAC的平分线，M是BC的中点，过M作MEAD交BA延长线于E，交AC于F，求证：BE=CF=12(AB+AC)（重庆市竞赛试题）EABFDMC在等边ABC的边BC上任取一点D，作DAE=600，DE交C的外角平分线于E，那么ADE是什么三角形？证明你的结论（学习报公开赛试题）资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理11如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线l：y=-1x+m与x轴、y轴的正半轴分2别相交于点A、B，过点C(4，4)作平行于y轴的直线交
11、AB于点D，CD=10求直线l的解析式；求证：ABC是等腰直角三角形；将直线l沿y轴负方向平移，当平移恰当的距离时，直线与x，y轴分别相交于点A、B，在直线CD上存在点P，使得BP是等腰直角三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标（宁波市江东区模拟题）yDBOAxC12如图，在平面直角坐标系中，AOB为等腰直角三角形，A(4，4)求B点坐标；如图2，若C为x轴正半轴上一动点，以AC为直角边作等腰直角ACD，ACD=900，连接OD，求AOD度数；如图3，过点A作y轴于E，F为x轴负半轴上一点，G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰EGH，过A作x轴垂线交EH于点M，连接FM，等式证明；若不
12、成立，说明理由AM-FMOF=1是否成立？若成立，请yyyAAEAFBxOODCBxGOMBx图1图2图3H专题17等腰三角形的判定例1延长MF，BA交于E，延长FM至点P，使MP=MF，连，则BMPCMF，BP=CF.AD平分BAC，ADFM，BAD=DAC=MFC=AFE=E=P，AE=AF，BE=BP，即AB+AE=AB+AF=AB+AC-CF=CF，CF=(AB+AC)=1122(7+11)=9.例2D例3提示：EMC为等腰直角三角形，连AM，易证：ADEBAC.AD=AB，又DAB=90.又M为BD中点，AMDB且DM=BM=AM.资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理又MD
13、E=MAC=105，EDMCAM.EM=MC，DME=AMC，DME+EMA=AMC+EMA=90.EMC为等腰直角三角形.例4延长AD至G，使DG=AD，连接BG.由ADCGDB，得AC=BG，ACBG.BE=AC，BE=BG，得BED=BGD，FAE=BGD=BED=AEF，故AF=EF.AFEBDCG例5提示：结合图1，给出解答过程.由图形的轴对称性知：ABOACO，BAO=CAO=10，ABO=ACO=20，AOB=AOC=150.又BO=BC=CO=，ACDCAO，AOC=CDA=150，故BDC=30.A级1.90或75或152.723.24.375.D6.D提示：将三式相加7.D
14、8.C9.先证ACDCBF，CAD=BCF.又CAD+CDG=BCF+CDG=90，CGD=90，ADCF.ACF为等腰三角形.10.提示：延长DB至E，使BE=AB，连结AE，证明E=C，AC=AE.11.提示：证明DCAECB、DCMECN，NCM=60.12.提示：先证明CEF=CFE.作EGAC于G，证明CEGD，可得CE=BE，又CF=CE，BE=CF.B级1.2:12.1103.104.D5.C提示：在五边形内作等边三角形ABF，则E、F、C在一条直线上.6.B7.提示：23在BB上取点P，使BPC=120，再在PB上取点E使PE=PC，连结CE.则由PCE为等边三角形，可得：PC
15、=CE，PCE=60，CEB=120ACB为正三角形，可证：ACPCE.APC=BEC=120，PA=EB.APC=BPC=CPA=120，P为ABC的费马点.BB过ABC的P，且BB=EB+PB+PE=PA+PB+PC.8.提示：延长AB至M，使BM=BP，连结PM，则AB+BP=AM，可证明BQ=QC.AQ+QB=AQ+QC=，又由AMPACP得AM=AC，故AB+BP=AQ+BQ.9.提示：延长FM至P，使PM=FM，连结，则BMPCMF，AE=AF，BE=BP.10.提示：当D为BC的端点，显见AED是等边三角形；当D为BC边的中点，取AC的中点F，连接，易证CDF为等边三角形，又AD
16、FEDC，故ADE为等边三角形猜测：当D为BC上任意点时，ADE也为等边三角形资料来源于网络仅供免费交流使用11（1）y=-x+4；（3）符合条件的P点共有5个，分别为(-4,-12),-4,-,(-4,8),(-4,-4),(-4,4)精品文档用心整理12（2）过点C作CHy轴于，证明AOBBHC即可；8312提示：（1）B(8，0)；yAEFyOASCxTSOCBDxGMH图a图b（2）如图a，过A作ASOB于S，过D作DTx轴于TOAB为等腰直角三角形，OS=AS=，再由ASCCTD，可得：AS=CT，SC=TDCT=AS=OS，OT=CS=TDTOD=45，则AOD=90；（3）等式成立，理由如下：如图b，在AM上截取AS=OF，连ES，可证EASEOF，可得：ES=EF，AES=OEFSEF=AEO=90，FEM=SEM=45又EM=，EFMESM，FM=SM，AM=AS+SM=OF+FM，AM-FM=1OF资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理资料来源于网络仅供免费交流使用