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1、第三课时数系的扩充与复数的引入小结与复习一、教学目标：1、了解数的概念发展和数系扩充的过程，了解引进虚数单位i的必要性和作用，体会数学发现和创造的过程，以及数学发生、发展的客观需求；2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件；3、理解并掌握复数的代数形式四则运算法则与规律二、教学重难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件；复数的代数形式四则运算法则与规律。三、教学方法：探究归纳，讲练结合四、知识梳理：知识网络复数的分类复数的相等复数的概念共轭复数复数复数的模复数的加法复数的运算复数的减法复数的乘法复数的除法五、知识点：1复数的定义设a，b都是实数，形如abi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位
2、，满足i2=-1，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部全体复数所构成的集合叫做复数集，记作C.2复数的分类对于复数a+bi(a,bR).（1）当b=0时，是实数（2）当b0时，是虚数（3）当a=0且b0时，是纯虚数3复数相等两个复数z1abi，z2cdi(a、b、c、dR)，则z1z2a=c且b=da+bi=0a=0,b=0复数的乘方：对复数z,z1,z2和自然数m，n有(zm)n=zmn,(zz)n=znzn.4复数的几何意义(1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的
3、点都表示纯虚数(2)复数zabi一一对应有序数对(a，b)一一对应点Z(a，b)(3)设OZabi，则向量OZ的长度叫做复数abi的模(或绝对值)，记作|abi|，且|abi|a2+b25共轭复数如果两个复数实部相等，而虚部互为相反数，则这两个复数互为共轭复数，即复数zabi的共轭复数为za-bi6复数的运算(1)复数的加、减法运算法则(abi)(cdi)(ac)(bd)i.(2)复数的乘法设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)是任意两个复数，那么它们的积(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i.乘法运算律：（1）交换律：z1z2=z2z1，(2)结合律：z1(z2z3)=(z1z
4、2)z3，(3)乘法对加法的分配律：z1(z2+z3)=z1z2+z1z3。zmzn=zm+n,1212i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(3)复数的除法除法运算规则：z=a+bi,z=c+di（a,b,c,dR）12则zz1=2zz12zz22(ac+bd)+(bc-ad)iac+bdbc-ad=+ic2+d2c2+d2c2+d22i六、典例分析1、复数的概念1ai例1（1）设i是虚数单位，复数为纯虚数，则实数a为()A2B2C212（2）若(m+3i)2iR1D.，则实数m的值为（）A.23B.33C.3D.23【思路分析】：（1）先对化简，再利用纯虚数定义即可求得。【自主解答
5、】：1）解析】选A.，为纯虚数，（3）设复数z满足i(z1)32i(i为虚数单位)，则z的实部是_1ai2i（2）先化简成abi的形式，再利用定义求得。（3）利用复数相等求得z，利用复数定义求实部。51ai1ai2i2a1ai2i2i2i2i2a+102-a=0a=2复数zabi(a,bR)纯虚数(a=0,b0)（2）【解析】(m+3i)2i(m2+3i2+23mi)=23m+(3-m2)iR3-m2=0,m=3ii2所以（2）答案C.（3）【解析】设zabi(a、bR)，由i(z1)32i，得b(a1)i32i，a12，a1.【技巧点拨】：复数的分类实数(b=0)虚数(b0)非纯虚数(a0,
6、b0)2、复数相等例2（1）若（1+i）(2+i）=a+bi，其中a,bR,i为虚数单位，则a+b=（2）若3+bi=a+bi（a，b为实数，i为虚数单位），则a+b=_.1-i【思路分析】：（1）对复数进行乘法运算然后利用复数相等定义可得；（2）利用复数的相等及相关运算可以求得.本题若首先对左边的分母进行复数有理化，也可以求解.【自主解答】：（1）解析(1+i)(2+i)=1+3i=a+bi,a=1,b=3,a+b=4.【（2）解析】因为3+bi=a+bi，所以3+bi=(a+bi)(1-i)=a+b+(b-a)i.又因为a,b都1-i为实数，故由复数的相等的充要条件得解得所以a+b=3b-
7、a=b,b=3,a+b=3,a=0,【技巧点拨】：1.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法2.两个复数相等的充要条件是它们的实部与虚部分别相等.acabicdi(a,b,c,dR)bd3、复数的几何意义及复数的模例3（1）已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位)，则|z|=_.（2）下面是关于复数z=2-1+i的四个命题：P1:|z|=2,P2:z2=2i,P3:z的共轭复数为1+i,p4:z的虚部为-1，其中的真命题为（）（A）p2,p3(B)P1,P2(C)P2,p4(D)P3,p4（2）解析】：由题意得，z=2=-1-i，则z=2，z2=(-1-i)2=2i，（3）若
8、复数z满足|z3|5，求|z(14i)|的最大值和最小值（【思路分析】：1）本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的a+bi(a,bR)形式，利用z=a2+b2求得.（2）本题正确把握复数的概念和运算方法是解题的关键.（3）利用复数蓦地几何意义确定复数z对应点的取值范围，转化为点到点的距离问题。【自主解答】：（1）【解析】z=(3+i)2=9+6i+i2=8+6i，z=82+62=102(-1-i)【-1+i2z=-1+i，复数z的虚部为-1，所以p,p是正确的，故选C.24（3）【解析】|z3|5表示以(3,0)为圆心，5为半径的圆及其内部的点，|z(14i)|表示上述点到(1,4)的
9、距离，而(1,4)、(3,0)两点之间的距离为41625，|z(14i)|max25535，|z(14i)|min2555【技巧点拨】复数zabi一一对应有序数对(a，b)一一对应点Z(a，b)设OZabi，则向量OZ的长度叫做复数abi的模(或绝对值)，记作|abi|，且|abi|a2+b2。4、复数的四则运算例4（1）i是虚数单位，i3+3i=A、1B、126D、13-i4123+i412C、133+i-i26（2）复数=3-i21+i（A）-3-4i（B）-3+4i（C）3-4i（D）3+4i【思路分析】：（1）i3+3i为分式形式的复数问题，化简时通常分子与分母同时乘以分母的共轭复数-
10、3i，然后利用复数的代数运算，结合i2=-1得结论.（2）先利用分式除法法则化简，再平方即可。【自主解答】：（1）【解析】ii(3-3i)3i+313=+i，选B3+3i3+912412=(1-2i)2=-3-4i选A（2）【解析】3-i2(3-i)(1-i)21+i2【技巧点拨】复数的代数形式的四则运算类似于多项式的四则运算。若在运算的过程中，能用(1i)2=2i；1+i1-i=i等结论，可以提高运算的速度。【总结提升】1.复数问题实数化是解决复数问题的最基本也是最重要的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的充要条件。2.两共轭复数在复平面上对应点关于x轴对称，所以他们的和必为实数，差为纯虚数，积为实数。3.实数的共轭复数是它本身。4.在复数的求解过程中，要注意复数整体思想的把握和应用。5.一些常用的结果：（1）in的周期性；（2）(1i)2=2i；（3）1+i1-i=i。