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1、北师大版初中数学专题复习数学探究性问题的探索精品资料【设计意图】有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆，学习内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动，从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。要达到这个目的。探究性学习是一种很好的学习方式，它在数学教学中创设一种类似于学术（或科学）研究的情景，通过学生自主地发现问题、实验、操作、调查、搜集与处理信息、表达与交流探究活动，获得知识、技能、情感与态度的发展，探究既是一种学习方式，也是一种学习过程。学生通过探究获得的知识要比教师直接灌输的更不容易忘记，印象更深刻，学生也能从中享受到自己探究的乐趣。基于上述目
2、的，本节课以五个截然不同的探究性问题为载体，进行一次数学探究性活动。【设计思路】这节课本着培养学生的发散性、创造性思维和探究意识为目的，以自主学习、合作学习与探究学习为组织方式，根据探究性题目的不同，可分为四大部分。一、“类比、归纳”型探究性问题：本次探究性活动，它对基本题目进行一题多变，让点P动起来，探究点P在不同时刻下的相关结论，初步形成用动态的观念来看待问题。再让点P多起来，对基本题目进行挖掘与引申，让点P由1个变为2个，再由2个变为3个，再由3个变为4个，逐渐增加到n个，让学生进行探究性学习，进一步培养和发展“探究意识”二、“分析、比较”型探究性问题：本次探究性活动，它是以奇妙的“形数
3、问题”作为探究对象，展开一次由“一维”到“二维”再到“三维”乃至“四维”的研究，很好的渗透数形结合。让学生在分析、比较、深化、拓展中得到提高。三、“自学、建构”型探究性问题：这本次探究性活动，先是通过阅读的形式，让学生自主学习如何把三角形和四边形的面积等分，然后用自己学习到的知识解决如何把五边形、六边形、n边形面积等分。在自学的同时，渗透转化的数学思想方法。“四、观察、试验”型探究性问题：这本次探究性活动，它的研究方法很象是学习圆和圆的位置关系，只是把一个圆变成正方形，由学生通过自己的操作、试验、观察得到几个特殊的结论，在由这几个特殊的结论继续探究出更复杂和全面结论。让学生在操作、观察、试验、
4、分析中得到发展。五、“猜测、推断”型探究性问题：这本次探究性活动，它是借助“勾股定理”做为知识基础和研究背景，先通过特殊正方形、半圆、等边三角形得到共同的结论，在拓展为一般性的结论，最后，教师给出“希波克拉蒂月牙问题”和“勾股树”让学生在数学美的氛围中思维升华。【教学目标】1、知识与技能目标：（1）对基本题目进行一题多变，初步向学生渗透动态的观念，让学生渐渐的习惯于用运动的眼光看待数学问题，培养学生的发散性思维和创造性思维的能力。（2）通过对基本题目进行挖掘与引申，使学生在探究性的学习过程中，学会解题的策略方法；学会将知识纳入已有的知识结构中，自主地进行知识的自我建构。2、过程与方法目标：以相
5、互关联的知识为主线，探究性问题为载体，渗透特殊与一般、化归的数学思想方法。3、情感与态度目标：使学生通过学习提高自己的数学思维能力，学会对面临的问题进行数学的思考，逐渐的提高自己的数学素养，注重培养学生合作交流的能力。【教学策略】根据本节课的内容特点及学生的认知特点，为使课堂生动、有趣、高效，我采用启发式教学、循序渐进的原则，采取类比、观察、讨论、归纳等方法，注重创设问题情景，充分暴露思维过程，发展学生的”思维能力。注意师生之间的情感交流，并教给学生“多观察、动脑想、大胆猜、勤钻研”的研讨式学习方法。向学生提供更多的活动机会和空间，引导学生通过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思
6、维，学会学习。促使学生在教师的指导下，生动活泼地、主动地、富有个性地学习。【教学媒体】本节课主要采取以学生为主体，教师为主导，课件为辅助的互动式教学模式，并借助多媒体课件几何画板辅助教学。几何画板打破了传统的用尺规教学的方法。它具有动态直观、数形结合、色彩鲜艳、变化无穷的特点，能极大的增强学生的学习兴趣，对成绩较差的学生更是如此。对开发学生的智力，提高思维能力很有帮助。特别是几何画板为我们创设了一个数学实验室，提供了一个理想的做数学的环境。学生可从“听”数学转变到“做”数学，即以研究者的方式，参与包括发现、探索在内的获得知识的全过程。【教学过程】（第一课时）一、“类比、归纳”型探究性问题：AB
7、P基本题目：已知如图ABCD，P为任意一点，请用一个等式来表示，B、D、P之间的数量关系，并说明你们的理由。变化1：让点P动起来CD在刚才的基本题目“已知ABCD，P为任意一点，请用一个等式来表示，B、D、P之间的数量关系”中，有一句话“P为任意一点”，你是怎样理解的？引导学生，找点P的不同位置，最终可以归纳为以下几种位置：APBABABPPCDCDCDABABABPCDCDPCDP然后学生进行分小组合作，每个小组选择一种点P的位置进行研究，然后进行成果展示。这样做可以节省出很多时间，避免不必要的重复，可以得到事半功倍的效果。这是一个小组交流和成果展示的过程，学生吸纳别人的优点，弥补自己的不足
8、，在交流、认识和体验中获得知识和方法。同时，初步向学生渗透动态的观念，让学生渐渐的习惯于用运动的眼光看待数学问题，看待实际问题，看待周围的事情。变化2：让点P多起来在刚才让点P动起来的探究基础上，再对基本题目进行挖掘与引申，让点P多起来，让点P由1个变为2个，再由2个变为3个，再由3个变为4个，逐渐增加到n个，再次让学生进行探究性学习，进一步培养和发展“探究意识”。ACPBDACp1p2BADCp1p2Bp3Dp1BpnACp1p2p3p4BDACp2p3p4p5pn-1D已知ABCD，P1、P2、P3、P4、Pn为任意n点，请用一个等式来表示，、D、P1、P2、P3、BP4、Pn之间的数量关
9、系。AACBDPBABCp1p2p3p1p2DAABCBp1p1p2p3Dp2p3p4p5CDp4Cpn-1Dpn刚才的n个点都是在两线的内部，如果都在外部，情况又会怎样？新的问题，新的挑战又摆在了学生面前。在此过程中，使学生在探究性的学习过程中，以相互关联的知识为主线，以探究性问题为载体，学会探索规律，进行归纳，渗透特殊到一般的数学思想方法。学会解题的策略方法；学会将知识纳入已有的知识结构中，自主地进行知识的自我建构。如果上面的n个点P，一内一外交替摆放，情况又会怎样？（本问题将作为学生的课后作业继续探究。）二、“分析、比较”型探究性问题：一维形数：第1项1第2项2第3项3第4项4第5项5第
10、n项n对应点组：二维形数：第1项1第2项3第3项6第4项10第5项15第n项对应点组：由此你能够看出“一维形数”与“二维形数”的内在联系吗？三维形数：第1项1第2项4第3项10第4项20第5项35第n项对应点组：由此你能够看出“一维形数”、“二维形数”、“三维形数”的内在联系吗？下面又给出另一组“一维形数”：一维形数：第1项1第2项3第3项5第4项7第5项9第n项12n对应点组：二维形数：第1项1第2项4第3项9第4项16第5项25第n项对应点组：三维形数：第1项1第2项5第3项14第4项30第5项55第n项对应点组：由此你能够看出“一维形数”、“二维形数”、“三维形数”的内在联系吗？对于形数
11、问题你有了什么更深刻的理解？根据上面的研究，再给你一组“一维形数”，你能够得到对应的点组以及相关的“二维形数”、“三维形数”及其对应点组吗？试一试！一维形数：第1项1第2项第3项第4项第5项第n项n对应点组：二维形数：第1项对应点组：三维形数：第2项第3项第4项第5项第n项第1项第2项第3项第4项第5项对应点组：根据上面的研究，你对于“形数问题”有什么理解和看法，请发表一下自己的见解。（如发展到维、维、n维；数形结合的思想方法）第n项三、“自学、建构”型探究性问题：“聪明线”的定义：如果一条线段，经过多边形的一个顶点，并且把这个多边形的面积二等。分，我们就把这样的线段叫作这个多边形的“聪明线”
12、A如：AD是ABC的中线，则ABD与ACD等底等高，因此ABD与ACD相等，线段AD就是ABC的“聪明线”。的面积又如：四边形ABCD，连接对角线AC，过点B作AC边的平行线交DC的延长线于点，ABC与AEC等底等高，因此ABC与AEC的面积相等，这样四边形ABCD的面积就等于AED的面积，再作AED的中线AP，那么线段AP就是四边形ABCD的“聪明线”。BDBACECPD探究问题1：请仿照上面找出五边形ABCDE的一条“聪明线”。AAA1AnA8BEBFA2A7A63AEA5ACDCD4探究问题2：请仿照上面找出六边形ABCDEF的一条“聪明线”。探究问题3：你能够找到n边形的一条“聪明线”
13、吗？你是怎么做的，请说一说。：MN“自由聪明线”点M是ABC边上的任意一点，把ABC的MABC。二等分，我们把这样的线段叫作的“自由聪明线”探究问题：你知道ABC的“自由聪明线”MN是怎样找到的吗？A面积探究问题2：对于四边形ABCD，AP是它的一条“聪明线”你能够找出形ABCD的一条“自由聪明线”探究问题3：对于五边形ABCDE，你能够找出它的一条“自由聪明线”六边形、七边形、n边形呢？BDNCAB四边吗？四、“观察、试验”型探究性问题：（第二课时）CPD基本题目：设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d（1）如
14、图，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系dar公共点的个数AOl图darardardardar所以，当ra时，O与正方形的公共点的个数可能有个；（2）如图，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系dar公共点的个数daradardaAOl图所以，当ra时，O与正方形的公共点个数可能有个；（3）如图，当O与正方形有5个公共点时，试说明r54a；AOl图拓展与延伸：经过对本题（1）和（2）的解决，以及（3）的铺垫，（4）就ra的情形，请你仿照“当时，O与正方形的公共点个数可能有个”的形式，至少给出一个关
15、于“O与正方形的公共点个数”的正确结论五、“猜测、推断”型探究性问题：如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方S3CS2形，其面积分别用S、S、S表示，那么S、S、S之间有什么关系？123123AS1BS3S2(1)分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个C半圆，S1其面积分别用S、S、S表示，那么S、S、S之间有什123123系？AB么关(2)如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个S3CS2正三角形，其面积分别用S、S、S表示，请你确定S、S、S123123之间的关系并加以证明；AS1B(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般形，其面积分别用S、S、S表示，为
16、使S、S、S之间仍123123与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；三角具有(4)类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论.（）将原题“生长”一次，如图：你会得到什么结论？再“生长”一次呢？再“生长”一次呢？CABCABNMLLM一棵美丽的“勾股树”（）古希腊“希波克月牙问题”：分别以直角形ABC三边为直径向外作半圆，围成两个月牙，那么个月牙的面积和等于什拉蒂三角三个这两么？五、感悟与收获：由学生谈体会、说感想、讲收获，学生相互补充，自我反思。（这里包括具体知识、解题方法、思考方式、行为习惯、研究态度、观点信念等）【课后留疑】、如果上面的n个点P
17、，一内一外交替摆放，情况又会怎样？（注意奇偶性）ACp2BAp1Dp1p3CBDp2ABp1p3CDp2p4Ap1p3p5pnBp2p4pn-1CD是AC、AB上的点，BM与CN相交于点NAD如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点这样做的主要目的是，让学生带着问题来，带着问题走，也是本节课探究性学习的一种延伸和继续。留给学生课下自主探究的空间。2、问题背景：某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：如图1，在正三角形ABC中，M、N分别AO，若BON=60，则BM=CN.NMOOMO，若BON=90,则BM=CN.BCBC图1图2OD然后运用类比的
18、思想提出了如下的命题：如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若BON=108，则BM=CN.AEONDMAFENMB图3CB图4C（2）请你继续完成下面的探索：M任务要求（1）请你从、三个命题中选择一个进行证明；ENA如图4，在正n（n3）边形ABCDEF中，M、N分别D是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）如图5，在五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，当BON=108时，请问OBC图5.结论BM=CN是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由3、如图凸四边形ABCD，如果点P满足APD=APB=，且BPC=CPD=，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点。在图正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足。在图四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留画图痕迹（不需写出做法）。若四边形ABCD有二个半等角点P1、P2（如图），证明线段P1P2上任一点也是它的半等角点。DDDDCAPCCAP1P2CACBCBABB仿照例题，填写下表，并且给出相应的图形表示：第1项1第2项第3项第4项第5项第n项n11n5.对于五边形ABCDE，你能够找出它的一条“自由聪明线”吗？六边形、七边形、边形呢？