《华东师大初中数学九年级下册397568二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础).docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《华东师大初中数学九年级下册397568二次函数y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础).docx（6页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、bb2b2y=ax2+bx+c=ax2+x+c=ax2+x+-+caa2a2a二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象；会用配方法将二次函数y=ax2+bx+c的解析式写成y=a(x-h)2+k的形式；2.通过图象能熟练地掌握二次函数y=ax2+bx+c的性质；3.经历探索y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的图象及性质紧密联系的过程，能运用二次函数的图象和性质解决简单的实际问题，深刻理解数学建模思想以及数形结合的思想【要点梳理】要点一、二次函数y=ax2+bx+c(a0)与y=a(x-h)2
2、+k(a0)之间的相互关系1.顶点式化成一般式从函数解析式y=a(x-h)2+k我们可以直接得到抛物线的顶点(h，k)，所以我们称y=a(x-h)2+k为顶点式，将顶点式y=a(x-h)2+k去括号，合并同类项就可化成一般式y=ax2+bx+c2.一般式化成顶点式b=ax+b24ac-b22a4a抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-，顶点坐标是-,2a2a4a1抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-，顶点坐标是-，可以当作公2a2a4ab4ac-b2对照y=a(x-h)2+k，可知h=-，k=2a4abb4ac-b2要点诠释：bb4ac-b2,式加以记忆和运用2求抛物线y=a
3、x2+bx+c的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用要点二、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象的画法1.一般方法：列表、描点、连线；2.简易画法：五点定形法.其步骤为：(1)先根据函数解析式，求出顶点坐标和对称轴，在直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴(2)求抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴的交点，当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A、B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C关于对称轴的对称点D，将A、B、C、D及M这五个点按从左到右的顺序用平滑曲线连结起来要点诠释：当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时
4、，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D，由C、M、D三点可粗略地画出二次函数图象的草图；如果需要画出比较精确的图象，可再描出一对对称点A、B，然后顺次用平滑曲线连结五点，画出二次函数的图象，要点三、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质1.二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象与性质函数二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0）图象开口方向对称轴a0向上直线x=-a-b2ab4ac-b2b4ac-b2bb在对称轴的左侧，即当x-时，y随x的在对称轴的左侧，即当x-时，y随x的增大而减时，y随x的增大而增大简记：左减右增2a小简记：左增右减4a最大值=最大(小)值抛物线有最
5、低点，当x=-4ac-b2y=最小值bb时，y有最小值，抛物线有最高点，当x=-时，y有2a2a4ac-b2最大值，y4a2.二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的特征与a、b、c及b2-4ac的符号之间的关系字母项目abc字母的符号a0a0ab0(a，b同号)ab0(a，b异号)c=0c0c0b2-4ac=0图象的特征开口向上开口向下对称轴在y轴左侧对称轴在y轴右侧图象过原点与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交与x轴有唯一交点b2-4acb2-4ac0b2-4ac0与x轴有两个交点与x轴没有交点要点四、求二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最大（小）值的方法如果自变量的取值范围是全体实数，
6、那么函数在顶点处取得最大（或最小）值，即当xb2a时，y最值4acb24a要点诠释：b如果自变量的取值范围是x1xx2，那么首先要看2a是否在自变量的取值范围x1xx2内，若2ab在此范围内，则当x时，y最值4acb24a，若不在此范围内，则需要考虑函数在x1xx2范围最大值内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当xx时，y2ax2bx22c；当xx1c，如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当xx1时，y当xx2时，y=ax2+bx+c，如果在此范围内，y值有增有减，则需考察xx1，xx2，x2a时，yax2bx=ax2+bx+c；最小值11最大值11b最小值22时y值的情况【典
7、型例题】类型一、二次函数yax2bxc(a0)的图象与性质1求抛物线y12x2x4的对称轴和顶点坐标【答案与解析】解法1（配方法）：y111x2x4(x22x)4(x22x11)4222112(x1)22172(x1)224解法2（公式法）：a，b1，c4，x1，7顶点坐标为1,，对称轴为直线x121b122a12()24acb4a214(4)122142727顶点坐标为1,，对称轴为直线x121解法3（代入法）：a=-，b=1，c=-4，22-x=-b1=-=12a12顶点坐标为1,-，对称轴为直线x=12a4a17将x=1代入解析式中得，y=-12+1-4=-2272（【总结升华】所给二次
8、函数关系是一般式，求此类抛物线的顶点有三种方法：1）利用配方法将一般式b4ac-b2（化成顶点式；（2）用顶点公式-,直接代入求解；3）利用公式先求顶点的横坐标，然后代入解析式求出纵坐标这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用举一反三：【高清课程名称：二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图象与性质高清ID号：392790关联的位置名称（播放点名称）：例题1】【变式】把一般式y=-2x2+8x-6化为顶点式（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.【答案】（1）向下；x=2；D(2，2).（2）C（0，-6）；A（1,0）
9、；B（3,0）.2（2016泰安）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b的图象大致是（）ABCD【思路点拨】由y=ax2+bx+c的图象判断出a0，b0，于是得到一次函数y=ax+b的图象经过一，二，四象限，即可得到结论【答案】A【解析】解：y=ax2+bx+c的图象的开口向上，a0，对称轴在y轴的左侧，b0，一次函数y=ax+b的图象经过一，二，三象限故选A【总结升华】本题考查了二次函数和一次函数的图象，解题的关键是明确二次函数的性质，由函数图象可以判断a、b的取值范围类型二、二次函数y=ax2+bx+c(a0)的最值3求二次函数y=【答案与解析】11x2+3x
10、+的最小值.22解法1(配方法)：y=1111(x2+6x)+=(x2+6x+32-9)+2222最小=-41=(x+3)2-4，2当x-3时，y解法2(公式法)：a=110，b3，c=224ac-b21-9y=-4最小=b3当x=-=-=-3时，2a122114-322214a24211解法3(判别式法)：y=x2+3x+，x2+6x+(1-2y)=0222x是实数，-4(1-2y)0，y-4y有最小值-4，此时x2+6x+9=0，即x-3【总结升华】在求二次函数最值时，可以从配方法、公式法、判别式法三个角度考虑，根据个人熟练程度灵活去选择举一反三：【高清课程名称：二次函数y=ax2+bx+
11、c(a0)的图象与性质高清ID号：392790关联的位置名称（播放点名称）：例题2】【变式】用总长60m的篱笆围成矩形场地矩形面积S随矩形一边长L的变化而变化当L是多少时，矩形场地的面积S最大？【答案】S=L(30-L)=-(L2-30L)=-(L-15)2+225（0L30）L=15（m）时，场地的面积S最大，为225m2类型三、二次函数y=ax2+bx+c(a0)性质的综合应用4已知二次函数y=x2+bx+c+1的图象过点P(2，1)（1）求证：c=-2b-4；（2）求bc的最大值【答案与解析】（1）y=x2+bx+c+1的图象过点P(2，1)，1=4+2b+c+1，c=-2b-4（2）b
12、c=b(-2b-4)=-2(b2+2b)=-2(b+1)2+2当b=-1时，bc有最大值最大值为2【总结升华】（1）将点P(2，1)代入函数关系式，建立b、c的关系即可（2）利用（1）中b与c的关系，用b表示bc，利用函数性质求解举一反三：【变式】（2015咸宁）如图是二次函数y=ax2+bx+c的图象，下列结论：二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；4a+2b+c0；一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为1；使y3成立的x的取值范围是x0其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B.提示：抛物线的顶点坐标为（1，4），二次三项式ax2+bx+c的最大值为4，正确；x=2时，y0，4a+2b+c0，正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax2+bx+c=1的两根之和为2，错误；使y3成立的x的取值范围是x0或x2，错误，故选：B