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1、初二数学勾股定理及平方根专题 使用日期 2013.7.11 【知识点扫描】勾股定理和平方根勾股定理平方根立方根实数近似数、有效数字判定直角三角形勾股定理的验证定义、性质开平方运算开立方运算定义、性质一、勾股定理： 1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2b2c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2b2c2，那么这个三角形是直角三角形。2. 勾股数：满足a2b2c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，
2、kb，kc同样也是勾股数组。） *附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五） 其他方法：（1）有一个角为90的三角形是直角三角形。 （2）有两个角互余的三角形是直角三角形。 用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2a2b2，则ABC是以C为直角的三角形；若a2b2c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2b2c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：
3、（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 （3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30。5. 勾股定理的作用： （1）已知直角三角形的两边求第三边。 （2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。（3）用于证明线段平方关系的问题。（4）利用勾股定理，作出长为的线段二、平方根：（1119的平方）1、平方根定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根。（也称为二次方根），也就是说如果x2=a，那么x就叫做a的平方根。2、平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；
4、一个正数a的正的平方根，记作“”，又叫做算术平方根，它负的平方根，记作“”，这两个平方根合起来记作“”。（ a叫被开方数， “”是二次根号，这里“”，亦可写成“”）0只有一个平方根，就是0本身。算术平方根是0。负数没有平方根。3、 开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方，开平方和平方运算互为逆运算。4、（1） 平方根是它本身的数是零。（2）算术平方根是它本身的数是0和1。（3）（4）一个数的两个平方根之和为0三、立方根：（19的立方）1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根。（也称为二次方根），也就是说如果x3=a，那么x就叫做a的立方根。记作“”。2、立方根的性
5、质：任何数都有立方根，并且只有一个立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0.互为相反数的数的立方根也互为相反数，即=3、开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方，开立方与立方运算为互逆运算，开立方的运算结果是立方根。4、立方根是它本身的数是1，0，-1。5、平方根和立方根的区别：（1）被开方数的取值范围不同：在中，在中，a可以为任意数值。（2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个；负数没有平方根，而它有一个立方根。6、立方根和平方根：不同点：（1）任何数都有立方根，正数和0有平方根，负数没有平方根；即被开方数的取值范围不同：中的被开方数a是非负数；中的被开方数可以是任
6、何数.（2）正数有两个平方根，任何数都有惟一的立方根； （3）立方根等于本身的数有0、1、1，平方根等于本身的数只有0共同点：0的立方根和平方根都是0四、实数：1、定义：有理数和无理数统称为实数无理数：无限不循环小数称（包括所有开方开不尽的数，）。 有理数：有限小数或无限循环小数 注意：分数都是有理数，因为任何一个分数都可以化为有限小数或无限循环小数的形式2、实数的分类：实数的性质：实数的相反数、倒数、绝对值的意义与在有理数范围内的意义是一样的。 实数同有理数一样，可用数轴上的点表示，且实数和数轴上的点一一对应。 两个实数可以按有理数比较大小的法则比较大小。 实数可以按有理数的运算法则和运算律
7、进行运算。3、近似数：由于实际中常常不需要用精确的数描述一个量，甚至在更多情况下不可能得到精确的数，用以描述所研究的量，这样的数就叫近似数。取近似值的方法四舍五入法4、有效数字：对一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到末位数字止，所有的数都称为这个近似数的有效数字5、科学记数法：把一个数记为6、实数和数轴：每一个实数都可以用数轴上的点来表示；反过来，数轴上每一个点都表示一个实数。实数与数轴上的点是一一对应的。【好题精练】类型一：等面积法求高【例题】如图，ABC中，ACB=900，AC=7，BC=24，CDAB于D。（1）求AB的长；（2）求CD的长。类型二：面积问题【例题】如下左图，所有的
8、四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形A，B，C，D的面积之和为_cm2。ABCD7cmmmmmmmm【练习1】如上右图，每个小方格都是边长为1的正方形，（1）求图中格点四边形ABCD的面积和周长。（2）求ADC的度数。【练习2】如图，四边形是正方形，且=3，=4，阴影部分的面积是_.【练习3】如图字母B所代表的正方形的面积是( ) A. 12 B. 13 C. 144 D. 194类型三：距离最短问题【例题】 如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A
9、、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABCDL【练习1】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程 【练习2】如图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他正位于他的小屋B的西8km北7km处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？小河AB东北牧童小屋类型四：判断三角形的形状【例题】如果ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断ABC的形状。【练
10、习1】已知ABC的三边分别为m2n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数,且mn),判断ABC是否为直角三角形.【练习2】若ABC的三边a、b、c满足条件a2b2c233810a24b26c，试判断ABC的形状.【练习3】.已知a，b，c为ABC三边，且满足(a2b2)(a2+b2c2)0，则它的形状为（）三角形A.直角B.等腰 C.等腰直角 D.等腰或直角【练习4】三角形的三边长为,则这个三角形是( ) 三角形A.等边 B.钝角 C.直角 D.锐角 类型五：直接考查勾股定理【例题】在RtABC中，C=90(1)已知a=6， c=10，求b；(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25
11、，b=15，求a.。【练习】如图B=ACD=90, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?类型六：构造应用勾股定理【例题】如图，已知：在中，. 求：BC的长. 【练习】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。类型七：利用勾股定理作长为的线段例1在数轴上表示的点。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以OC为半径，以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为。【练习】在数轴上表示的点。类型八：勾股定理及其逆定理的一般用法【例题】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。【练
12、习1】等边三角形的边长为2，求它的面积。【练习2】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40类型九：生活问题【例题】如下左图，在高2米，坡角为30的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需_米【练习1】种盛饮料的圆柱形杯（如上右图），测得内部底面半径为2.5，高为12，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6，问吸管要做 。【练习2】如下左图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条“路”。他们仅仅少走了_步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。 【练习3】如下图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞_米.类型十：翻折问题【例题】如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 【练习1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 【练习2】如图，ABC中，C=90，AB垂直平分线交BC于D若BC=8，AD=5，求AC的长。 - 5 -