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1、长沙学院信息与计算科学系本科生科研训练对合矩阵系 （部）： 信息与计算科学 专 业： 数学与应用数学 学 号： 2009031121 学生姓名： 陈付平 成 绩： 2012 年 月对合矩阵陈付平长沙学院 信息与计算科学系, 湖南 长沙, 410022摘要：对合矩阵的定义、对合矩阵的判定、对合矩阵的几何意义关键词：对合矩阵、初等变换、秩、相似、特征值、对合变换引言： 对合矩阵是举阵中的一类矩阵，它在代数数学中有着广泛的应用，本文通过对对合矩阵的介绍，了解对合矩阵的判断以及对合矩阵的几何意义。1 对合矩阵的定义：矩阵满足条件，则称是对合矩阵。2 对合矩阵的判断设为矩阵，则下列条件都是为对合矩阵的充
2、要条件：（1）。（2）为对合矩阵。（3）为对合矩阵。（4） （1 P208 3） (5)矩阵相似于形如的方阵。（注：此处KK=1,2,6.表命题出处，见参考文献）下面我们分别对上述几个命题进行证明：证明（1）：由对合矩阵的定义，显然成立。证明（2）： 为对合矩阵为对合矩阵。证明（3）： 为对合矩阵，即。 则 （由（1） 即为对合矩阵。 为对合矩阵，即 （*） 得 有 （*）式两端同时式乘以，右乘以，得 即 为对合矩阵。证明（4）：考察矩阵 （*） 对（*）式作分块矩阵的初等变换 由初等变换不改变矩阵的秩 有 即 所以 即 在证明命题（5）之前，先证明几个命题：命题1、矩阵的特征值等于（考虑它们的重数）矩阵的特征值的平方。（3 P182 1126）证明：设的所以特征值为 可知 则 证毕。命题2、若为对合矩阵，则的特征值为+1或1