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1、2014-2018年北京中考题组,五年中考,1.(2015北京,6,3分)如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点M与点C被湖隔开,若测得AM的长 为1.2 km,则M,C两点间的距离为 ( ) A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km,答案 D ACBC,ACB=90,又M是AB的中点,MC= AB=AM=1.2 km.故选D.,2.(2016北京,14,3分)如图,小军、小珠之间的距离为2.7 m,他们在同一盏路灯下的影长分别为 1.8 m,1.5 m.已知小军、小珠的身高分别为1.8 m,1.5 m,则路灯的高为 m.,答案 3,解析 如图,由题意可知,
2、B=C=45,ADBC,BC=2AD=BF+FH+HC=1.8+2.7+1.5=6, AD=3.即路灯的高为3 m.,3.(2018北京,17,5分)下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过 程. 已知:直线l及直线l外一点P. 求作:直线PQ,使得PQl. 作法:如图,在直线l上取一点A,作射线PA,以点A为圆心,AP长为半径画弧,交PA的延长线于点B; 在直线l上取一点C(不与点A重合),作射线BC,以点C为圆心,CB长为半径画弧,交BC的延长线 于点Q; 作直线PQ. 所以直线PQ就是所求作的直线. 根据小东设计的尺规作图过程, (1)使用直尺和圆规,补全图形;(保
3、留作图痕迹) (2)完成下面的证明. 证明:AB= ,CB= , PQl( )(填推理的依据).,解析 (1)补全图形,如图所示:,(2)AP;CQ;三角形的中位线平行于三角形的第三边.,4.(2017北京,19,5分)如图,在ABC中,AB=AC,A=36,BD平分ABC交AC于点D. 求证:AD=BC.,证明 AB=AC,A=36,ABC=C=72. BD平分ABC,ABD=36,ABD=A,AD=BD. BDC=A+ABD=72,BDC=C, BD=BC,AD=BC.,5.(2017北京,20,3分)数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上 任一点作两条分别平行于两
4、邻边的直线,则所容两长方形面积相等(如图所示)”这一推论,他 从这一推论出发,利用“出入相补”原理复原了海岛算经九题古证. (以上材料来源于古证复原的原则吴文俊与中国数学和古代世界数学泰斗刘徽) 请根据上图完成这个推论的证明过程. 证明:S矩形NFGD=SADC-(SANF+SFGC), S矩形EBMF=SABC-( + ). 易知,SADC=SABC, = , = . 可得S矩形NFGD=S矩形EBMF.,解析 SAEF;SFMC;SANF;SAEF;SFGC;SFMC.,6.(2016北京,23,5分)如图,在四边形ABCD中,ABC=90,AC=AD,M,N分别为AC,CD的中点,连 接
5、BM,MN,BN. (1)求证:BM=MN; (2)若BAD=60,AC平分BAD,AC=2,求BN的长.,解析 (1)证明:在ABC中,ABC=90,M为AC的中点, BM= AC. N为CD的中点, MN= AD. AC=AD,BM=MN. (2)BAD=60,AC平分BAD, BAC=CAD=30. 由BM=AM,可得BMC=2BAC=60. 由MNAD,可得CMN=CAD=30. BMN=BMC+CMN=90. AC=AD=2, BM=MN=1. 在RtBMN中,BN= = .,思路分析 (1)本题要考虑中点的作用,中点+直角三角形要想到斜边中线等于斜边一半;双中 点要想到中位线定理.
6、(2)由(1)证明BMN=90,再应用勾股定理计算.,解题关键 解决本题的关键是要明确中点和特殊角的作用,同时要把已知条件放在三角形中 来解决.,7.(2015北京,20,5分)如图,在ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,BEAC于点E.求证:CBE =BAD.,证明 AB=AC,AD是BC边上的中线, ADBC,BAD=CAD. BEAC,BEC=ADC=90. CBE=90-C,CAD=90-C. CBE=CAD. CBE=BAD.,8.(2014北京,13,5分)如图,点B在线段AD上,BCDE,AB=ED,BC=DB.求证:A=E.,证明 BCDE,ABC=D. 在ABC和ED
7、B中, ABCEDB. A=E.,9.(2013北京,13,5分)已知:如图,D是AC上一点,AB=DA,DEAB,B=DAE.求证:BC=AE.,证明 DEAB, BAC=ADE. 在ABC和DAE中, ABCDAE. BC=AE.,10.(2012北京,16,5分)已知:如图,点E,A,C在同一直线上,ABCD,AB=CE,AC=CD.求证:BC=ED.,证明 ABCD, BAC=ECD. 在ABC和CED中, ABCCED. BC=ED.,11.(2011北京,16,5分)如图,点A、B、C、D在同一条直线上,BEDF,A=F,AB=FD.求证:AE =FC.,证明 BEDF,ABE=D
8、, 在ABE和FDC中, ABEFDC,AE=FC.,教师专用题组,考点一 三角形的相关概念与性质,1.(2018河北,8,3分)已知:如图,点P在线段AB外,且PA=PB.求证:点P在线段AB的垂直平分线上. 在证明该结论时,需添加辅助线,则作法不正确的是 ( ) A.作APB的平分线PC交AB于点C B.过点P作PCAB于点C且AC=BC C.取AB中点C,连接PC D.过点P作PCAB,垂足为C,答案 B 无论作APB的平分线PC交AB于点C,还是取AB中点C,连接PC或过点P作PCAB, 垂足为C,都可以通过等腰三角形三线合一得出结论,选项A,C,D的作法正确.故选B.,2.(2018
9、内蒙古包头,8,3分)如图,在ABC中,AB=AC,ADE的顶点D,E分别在BC,AC上,且 DAE=90,AD=AE.若C+BAC=145,则EDC的度数为 ( ) A.17.5 B.12.5 C.12 D.10,答案 D AB=AC,B=C.B=180-(C+BAC)=35,C=35.DAE=90, AD=AE,AED=ADE=45,EDC=AED-C=45-35=10.故选D.,3.(2018贵州贵阳,2,3分)如图,在ABC中有四条线段DE,BE,EF,FG,其中有一条线段是ABC 的中线,则该线段是 ( ) A.线段DE B.线段BE C.线段EF D.线段FG,答案 B 连接三角形
10、一个顶点和它对边中点,所得的线段叫做三角形这条边上的中线,从图 形中看出,线段DE、EF、FG都不经过ABC的顶点,仅有线段BE经过ABC的顶点B,所以线 段BE是ABC的中线,故选B.,4.(2018湖北黄冈,4,3分)如图,在ABC中,直线DE是AC的垂直平分线,且分别交BC,AC于点D和 E,B=60,C=25,则BAD为 ( ) A.50 B.70 C.75 D.80,答案 B 因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC= 180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,5.(2018河
11、北,15,2分)如图,点I为ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2,将ACB平移使其顶点与I重 合,则图中阴影部分的周长为 ( ) A.4.5 B.4 C.3 D.2,答案 B 如图,连接AI,BI,点I为ABC的内心,AI平分BAC,BI平分ABC,ACIE, CAI=AIE,EAI=AIE,AE=EI.同理,BF=FI,阴影部分的周长=EI+FI+EF=AE+BF+ EF=AB,AB=4,阴影部分的周长为4,故选B.,6.(2017吉林,5,2分)如图,在ABC中,以点B为圆心,以BA长为半径画弧交边BC于点D,连接AD. 若B=40,C=36,则DAC的度数是 ( ) A.70 B.
12、44 C.34 D.24,答案 C 由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA- C=34,故选C.,7.(2017河北,11,2分)如图是边长为10 cm的正方形铁片,过两个顶点剪掉一个三角形,以下四种 剪法中,裁剪线长度所标的数据(单位:cm) 的是 ( ),答案 A 由勾股定理得正方形的对角线的长是10 ,因为10 15,所以正方形内部的每一 个点到正方形的顶点的距离都小于15,故选A.,8.(2017湖北武汉,10,3分)如图,在RtABC中,C=90,以ABC的一边为边画等腰三角形,使得 它的第三个顶点在ABC的其他边上,则可以画出的不同的等腰三角形
13、的个数最多为 ( ) A.4 B.5 C.6 D.7,答案 D 如图1,以B为圆心,BC长为半径画弧,交AB于点D,则BCD就是等腰三角形; 如图2,以A为圆心,AC长为半径画弧,交AB于点E,则ACE就是等腰三角形; 如图3,以C为圆心,BC长为半径画弧,交AB于M,交AC于点F,则BCM、BCF是等腰三角 形; 如图4,作AC的垂直平分线交AB于点H,则ACH就是等腰三角形; 如图5,作AB的垂直平分线交AC于点G,则AGB就是等腰三角形; 如图6,作BC的垂直平分线交AB于I,则BCI就是等腰三角形.故选D.,9.(2017天津,11,3分)如图,在ABC中,AB=AC,AD,CE是AB
14、C的两条中线,P是AD上的一个动 点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是 ( ) A.BC B.CE C.AD D.AC,答案 B 如图,连接PC,AB=AC,BD=CD,ADBC,PB=PC,PB+PE=PC+PE,PE+PC CE,当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE,故选B.,思路分析 先证PB=PC,从而可得当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE.,10.(2016河北,16,2分)如图,AOB=120,OP平分AOB,且OP=2.若点M,N分别在OA,OB上,且 PMN为等边三角形,则满足上述条件的PMN有 ( ) A.1个 B.2个 C.3
15、个 D.3个以上,答案 D 如图所示,过点P分别作OA,OB的垂线,垂足分别为C,D,连接CD,则PCD为等边三 角形.在OC,DB上分别取M,N,使CM=DN,则PCMPDN,所以CPM=DPN,PM=PN, MPN=60,则PMN为等边三角形,因为满足CM=DN的M,N有无数个,所以满足题意的三角形 有无数个.,思路分析 要寻找等边三角形,可以利用圆规得到等腰三角形,根据有一个角为60的等腰三 角形为等边三角形就可以判定其为等边三角形.,解题关键 解决本题的关键是要选择恰当判断等边三角形的方法,另外,本题还可以借助对称 性发现等边三角形一定有无数多个.,11.(2016湖北武汉,10,3分
16、)平面直角坐标系中,已知A(2,2),B(4,0),若在坐标轴上取点C,使ABC 为等腰三角形,则满足条件的点C的个数是 ( ) A.5 B.6 C.7 D.8,答案 A 如图,当AB=AC时,以点A为圆心,AB长为半径作圆,与坐标轴有两个交点(点B除 外),即O(0,0),C0(0,4),其中点C0与A、B两点共线,不符合题意;当AB=BC时,以点B为圆心,AB长 为半径作圆,与坐标轴有两个交点,均符合题意;当AC=BC时,作AB的垂直平分线,与坐标轴有 两个交点,均符合题意.所以满足条件的点C有5个,故选A.,12.(2016河北,10,3分)如图,已知钝角ABC,依下列步骤尺规作图,并保
17、留作图痕迹. 步骤1:以C为圆心,CA为半径画弧; 步骤2:以B为圆心,BA为半径画弧,交弧于点D; 步骤3:连接AD,交BC延长线于点H. 下列叙述正确的是 ( ) A.BH垂直平分线段AD B.AC平分BAD C.SABC=BCAH D.AB=AD,答案 A 由作图可知点B、C到线段AD的两个端点的距离分别相等,点B、C都在线段AD 的垂直平分线上,即直线BC垂直平分线段AD.故选A.,13.(2016安徽,10,4分)如图,RtABC中,ABBC,AB=6,BC=4.P是ABC内部的一个动点,且满 足PAB=PBC.则线段CP长的最小值为 ( ) A. B.2 C. D.,答案 B PA
18、B=PBC,PBC+ABP=90,PAB+ABP=90,P=90.设AB的中 点为O,则P在以AB为直径的圆上.当点O,P,C三点共线时,线段CP最短,OB= AB=3,BC=4, OC= =5,又OP= AB=3,线段CP长的最小值为5-3=2,故选B.,14.(2015四川绵阳,5,3分)如图,在ABC中,B、C的平分线BE、CD相交于点F,ABC=42, A=60,则BFC= ( ) A.118 B.119 C.120 D.121,答案 C 在ABC中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78. BE、CD分别平分ABC、ACB, FBC= ABC=21,FCB= ACB=3
19、9, BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.故选C.,评析 本题主要考查三角形内角和定理,角平分线的概念,属容易题.,15.(2015河北,15,2分)如图,点A,B为定点,定直线lAB,P是l上一动点,点M,N分别为PA,PB的中 点,对于下列各值: 线段MN的长; PAB的周长; PMN的面积; 直线MN,AB之间的距离; APB的大小. 其中会随点P的移动而变化的是 ( ),A. B. C. D.,答案 B 点M,N分别为PA,PB的中点,无论点P怎样移动,总有MN= AB,直线l与直线MN 的距离及直线MN,AB之间的距离不变,所以中的值不变.随着点P的移动,点P
20、与点A,B的 距离及APB的大小发生变化,故选B.,16.(2015广西南宁,7,3分)如图,在ABC中,AB=AD=DC,B=70,则C的度数为 ( ) A.35 B.40 C.45 D.50,答案 A AB=AD,ADB=B=70,AD=DC,C=DAC.ADB是ADC的外角, C= ADB=35.故选A.,17.(2014江苏连云港,6,3分)如图,若ABC和DEF的面积分别为S1、S2,则 ( ) A.S1= S2 B.S1= S2 C.S1=S2 D.S1= S2,答案 C 过点A作AMBC于点M,过点D作DNEF交FE的延长线于点N,S1= BCAM= 8 5sin 40,S2=
21、EFDN= 58sin 40,所以S1=S2,故选C.,18.(2018四川成都,11,4分)等腰三角形的一个底角为50,则它的顶角的度数为 .,答案 80,解析 等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为80.,19.(2018云南,6,3分)在ABC中,AB= ,AC=5,若BC边上的高等于3,则BC边的长为 .,答案 1或9,解析 分两种情况讨论: BC边上的高在ABC内时,如图,过A作ADBC于点D. 在RtABD中,AB= ,AD=3,BD= =5. 在RtACD中,AC=5,AD=3,CD= =4.BC=BD+CD=9. BC边上的高位于ABC外时,如图,同可求得BD=5
22、,CD=4, BC=1. 综上,BC的长为1或9.,思路分析 根据题意画图,要考虑全面,利用勾股定理解直角三角形即可.,易错警示 本题容易只考虑BC边上的高在ABC内的情况而导致漏解.,20.(2018天津,17,3分)如图,在边长为4的等边ABC中,D,E分别为AB,BC的中点,EFAC于点F, G为EF的中点,连接DG,则DG的长为 .,答案,解析 连接DE,在等边ABC中, D、E分别是AB、BC的中点, DEAC,DE=EC= AC=2. DEB=C=60. EFAC,EFC=90. FEC=30,EF= . DEG=180-60-30=90. G是EF的中点,EG= . 在RtDEG
23、中,DG= = = .,思路分析 连接DE,根据题意可得DEAC,又EFAC,可得到FEC的度数,判断出DEG是 直角三角形,再根据勾股定理即可求解DG的长.,疑难突破 本题主要依据等边三角形的性质,勾股定理以及三角形中位线的性质定理求线段 DG的长,DG与图中的线段无直接的关系,所以应根据条件连接DE,构造直角三角形,运用勾股 定理求出DG的长.,21.(2018湖北武汉,16,3分)如图,在ABC中,ACB=60,AC=1,D是边AB的中点,E是边BC上一 点.若DE平分ABC的周长,则DE的长是 .,答案,解析 延长BC至点F,使CF=AC,连接AF,D是AB的中点,AD=DB.DE平分
24、ABC的周长, AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是ABF的中位线,DEAF, ACB=60,ACF=120,又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作CHAF,则AH= AC, 所以AF= AC= ,DE= AF= .,思路分析 延长BC至点F,使CF=AC,利用已知条件证明DE为ABF的中位线,由已知条件求 得AF的长,从而求得DE的长.,解题技巧 对于求线段长度的问题,若条件涉及三角形边的中点,可以考虑运用中位线性质来 解答.,22.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,ABC是等边三角形,AB= ,点D是边BC上一点,点H是线段 AD上一点,连
25、接BH、CH,当BHD=60,AHC=90时,DH= .,答案,解析 延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE, BHD=60,BHE是等边三角形,BH=BE=HE,BEH=60, ABC是等边三角形,AB=BC,ABC=60,ABH=CBE,ABHCBE,BEC= BHA=120,HEC=60, CHAD,CHE=90,设BH=x(x0),则HE=x,CH= x, 过点B作BGHE于G,则BG= x,EG= ,BGD=CHD=90,又BDG=CDH,BDG CDH, = = = , BC= ,CD= ,又DH= GH= HE= ,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即 +( x)2
26、= ,解得x=1,DH= .,疑难突破 此类题型中,可根据等边三角形、60这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等 三角形,从而实现线段的转化.,23.(2017陕西,12A,3分)如图,在ABC中,BD和CE是ABC的两条角平分线.若A=52,则1+ 2的度数为 .,答案 64,解析 BD平分ABC,CE平分ACB,1= ABC,2= ACB,又ABC+ACB=180 -A, 21+22=180-A=128,1+2=64.,24.(2017河北,17,3分)如图,A,B两点被池塘隔开,不能直接测量其距离.于是,小明在岸边选一点 C,连接CA,CB,分别延长到点M,N,使AM=AC,BN=BC
27、,测得MN=200 m,则A,B间的距离为 m.,答案 100,解析 AM=AC,BN=BC,AB是CMN的中位线, AB= MN,MN=200 m,AB=100 m.,25.(2017河南,15,3分)如图,在RtABC中,A=90,AB=AC,BC= +1,点M,N分别是边BC,AB上 的动点,沿MN所在的直线折叠B,使点B的对应点B 落在边AC上.若MBC为直角三角 形,则BM的长为 .,答案 或1,解析 在RtABC中,A=90,AB=AC,B=C=45. (1)当MBC=90时,BMC=C=45. 设BM=x,则BM=BC=x, 在RtMBC中,由勾股定理得MC= x, x+x= +
28、1,解得x=1, BM=1. (2)如图,当BMC=90时,点B与点A重合, 此时BM=BM= BC= . 综上所述,BM的长为1或 .,26.(2015福建龙岩,16,3分)我们把平面内与四边形各边端点构成的三角形都是等腰三角形的 点叫做这个四边形的腰点(如矩形的对角线交点是矩形的一个腰点),则正方形的腰点共有 个.,答案 9,解析 如图,(1)连接两条对角线,对角线的交点是正方形的一个腰点;(2)分别以四个顶点为圆 心,以正方形的边长为半径画圆,除顶点外,共有8个交点,这8个点也是腰点.综上,正方形共有9 个腰点.,思路分析 本题可以借助圆规来构造等腰三角形,半径等可以构造腰.,解题关键
29、解决本题的关键是要关注图形的对称性以及等腰三角形腰、底的分类讨论,同时 用好作图工具(圆规、直尺).,27.(2014江西,14,3分)在RtABC中,A=90,有一个锐角为60,BC=6.若点P在直线AC上(不与 点A,C重合),且ABP=30,则CP的长为 .,答案 2 或4 或6,解析 图1中,ABC=60,BC=6,则AB=3,AC=3 ,又ABP=30,则AP= ,所以CP=2 或 4 ; 图2中,ACB=60,ABP=30, CBP是等边三角形, CP=CB=6. 图1 图2,28.(2015贵州遵义,16,4分)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人 称其为
30、“赵爽弦图”(如图(1),图(2)由弦图变化得到,它是由八个全等的直角三角形拼接而成, 记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3.若正方形EFGH 的边长为2,则S1+S2+S3= .,答案 12,解析 设AH=a,AE=b,EH=c,则c=2,所以S1+S2+S3=(a+b)2+c2+(a-b)2=2(a2+b2)+c2=3c2=322=12.,29.(2017福建,19,8分)如图,ABC中,BAC=90,ADBC,垂足为D.求作ABC的平分线,分别 交AD,AC于P,Q两点,并证明AP=AQ. (要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法),解析 如图
31、,BQ是所求作的ABC的平分线,P,Q是所求作的点.,证明如下: ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90. BAC=90,AQP+ABQ=90. ABQ=PBD,BPD=AQP. BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.,30.(2016广东,19,6分)如图,已知ABC中,D为AB的中点. (1)请用尺规作图法作边AC的中点E,并连接DE(保留作图痕迹,不要求写作法); (2)在(1)的条件下,若DE=4,求BC的长.,解析 (1)如图. (2分) E点,DE即为所求. (3分) (2)DE是ABC的中位线,且DE=4, BC=2DE=24=8. (6分),评析 本题主要考查平面几
32、何中尺规作图的基本方法(中点的作法),以及三角形中位线的性 质.,31.(2015浙江杭州,21,10分)“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形,记这些三角形的三 边分别为a,b,c,并且这些三角形三边的长度为大于1且小于5的整数个单位长度. (1) 用记号(a,b,c)(abc)表示一个满足条件的三角形,如(2,3,3)表示边长分别为2,3,3个单位 长度的一个三角形,请列举出所有满足条件的三角形; (2)用直尺和圆规作出三边满足abc的三角形(用给定的单位长度,不写作法,保留作图痕迹).,解析 (1)共九种:(2,2,2),(2,2,3),(2,3,3),(2,3,4),(2,4,4),
33、(3,3,3),(3,3,4),(3,4,4),(4,4,4). (2)只有a=2,b=3,c=4的一个三角形.如图的ABC即为满足条件的三角形.,考点二 三角形全等,1.(2018四川成都,6,3分)如图,已知ABC=DCB,添加以下条件,不能判定ABCDCB的 是 ( ) A.A=D B.ACB=DBC C.AC=DB D.AB=DC,答案 C 根据题中已有条件,分别添加A=D,ACB=DBC,AB=DC,符合判定三角形全 等的AAS,ASA,SAS定理,能推出ABCDCB,故选项A,B,D不符合题意;添加AC=BD,不符 合全等三角形的判定定理,不能推出ABCDCB,选项C符合题意.故选
34、C.,2.(2015浙江绍兴,7,4分)如图,小敏做了一个角平分仪ABCD,其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的 点A与PRQ的顶点R重合,调整AB和AD,使它们分别落在角的两边上,过点A,C画一条射线AE, AE就是PRQ的平分线.此角平分仪的画图原理是:根据仪器结构,可得ABCADC,这样 就有QAE=PAE.则说明这两个三角形全等的依据是 ( ) A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS,答案 D 因为在ABC和ADC中,AB=AD,BC=CD,AC=AC,所以ABCADC(SSS),故选 D.,3.(2017新疆,15,5分)如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,对
35、角线AC,BD相交于点O.下列结 论中: ABC=ADC; AC与BD互相平分; AC,BD分别平分四边形ABCD的两组对角; 四边形ABCD的面积S= ACBD. 正确的是 .(填写所有正确结论的序号),答案 ,解析 在ABC和ADC中, ABCADC(SSS), ABC=ADC,正确. ABCADC,BAC=DAC, 在ABO和ADO中, ABOADO. 同理,CBOCDO. OB=OD,AOD=AOB=BOC=DOC=90, ACBD, AO与OC不一定相等,不正确. ABCADC, BAC=DAC,ACB=ACD,ABD和CBD不一定相等,不正确. ACBD, 四边形ABCD的面积S=
36、SABD+SBCD= BDAO+ BDCO= BD(AO+CO)= ACBD,正确.,解题关键 掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.,4.(2016江苏南京,14,2分)如图,四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,ABOADO.下 列结论:ACBD;CB=CD;ABCADC;DA=DC.其中所有正确结论的序号是 .,答案 ,解析 ABOADO, BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD. AOB+AOD=180,AOB=90, ACBD,正确; AB=AD,BAC=DAC,AC=AC, ABCADC,正确; ABCADC, CB=CD,正确; DA与DC不一定相等,不正确.,5.(
37、2014湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,AD=4,CD=3,ABC=ACB=ADC=45,则 BD的长为 .,答案,解析 作ADAD,且使AD=AD,连接CD,DD,如图. 由已知条件可得BAC+CAD=DAD+CAD, 即BAD=CAD. ACB=ABC,AC=AB. 在BAD与CAD中, BADCAD(SAS), BD=CD.又DAD=90,在RtDAD中,由勾股定理得DD= = =4 ,易知 DDA+ADC=90,在RtCDD中,由勾股定理得CD= = = ,BD=CD= .,6.(2018云南,16,6分)如图,已知AC平分BAD,AB=AD. 求证:ABCADC.,证
38、明 AC平分BAD, BAC=DAC. (2分) 在ABC和ADC中, ABCADC(SAS). (6分),7.(2018湖北武汉,18,8分)如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与DE交于点G,求 证:GE=GF.,证明 BE=CF,BF=CE. 在ABF和DCE中, ABFDCE. AFB=DEC, GF=GE.,8.(2018云南昆明,15,6分)如图,在ABC和ADE中,AB=AD,B=D,1=2.求证:BC=DE.,证明 1=2, 1+DAC=2+DAC, 即BAC=DAE, (1分) 在ABC和ADE中, (3分) ABCADE(ASA), (5分) BC=
39、DE. (6分) (其他证法参照此标准给分),9.(2018陕西,18,5分)如图,ABCD,E、F分别为AB、CD上的点,且ECBF,连接AD,分别与 EC、BF相交于点G、H.若AB=CD,求证:AG=DH.,证明 ABCD,A=D. ECBF, BHA=CGD. (2分) AB=CD, ABHDCG, AH=DG, AG=DH. (5分),思路分析 首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而判定ABHDCG, 最后根据全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果.,归纳总结 全等三角形的判定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和HL.要根据已知条件恰当选 择判定定理.当已知两边
40、对应相等时,可考虑证夹角相等或第三边相等.当已知两角对应相 等时可考虑证夹边相等或一角对边相等.当已知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或 AAS.,10.(2018吉林,16,5分)如图,在正方形ABCD中,点E,F分别在BC,CD上,且BE=CF.求证:ABE BCF.,证明 在正方形ABCD中, AB=BC,ABC=C=90. (2分) 又BE=CF, (3分) ABEBCF. (5分),11.(2018河北,23,9分)如图,A=B=50,P为AB中点,点M为射线AC上(不与点A重合)的任意一 点,连接MP,并使MP的延长线交射线BD于点N,设BPN=. (1)求证:APMBPN;
41、 (2)当MN=2BN时,求的度数; (3)若BPN的外心在该三角形的内部,直接写出的取值范围.,解析 (1)证明:P为AB中点,PA=PB. 又A=B,MPA=NPB, APMBPN. (2)由(1)得PM=PN,MN=2PN, MN=2BN,PN=BN, =B=50. (3)4090. 详解:BPN的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形, BPN和BNP都为锐角,又B=50, 40BPN90,即4090.,思路分析 (1)根据ASA可证明:APMBPN; (2)根据APMBPN得MN=2PN,结合MN=2BN得出PN=BN,由等边对等角可得结果; (3)只有锐角三角形的外心在三角形的内
42、部,根据BPN和BNP都为锐角及B=50可得的 取值范围.,方法归纳 证明三角形全等的一般思路:,1.如果已知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用 SSS求解.,2.已知一边和一角:(1)边为角的对边,则找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的 另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.,3.已知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中任意一角的对边,利用AAS求解.,12.(2017吉林,18,5分)如图,点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证:A=D.,
43、证明 BE=CF, BE+EF=CF+EF. BF=CE. (2分) 又B=C,AB=DC, ABFDCE. (4分) A=D. (5分),13.(2017福建,18,8分)如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证:A=D.,证明 BE=CF,BE+EC=CF+EC,即BC=EF. 在ABC和DEF中, ABCDEF,A=D.,14.(2017黑龙江哈尔滨,24,8分)已知:ACB和DCE都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90, 连接AE、BD交于点O.AE与DC交于点M,BD与AC交于点N. (1)如图1,求证:AE=BD; (2)如图2,若AC=DC,
44、在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中四对全等的直角三角形.,图1 图2,解析 (1)证明:ACB和DCE都是等腰直角三角形, ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC, ACB+ACD=DCE+ACD,即BCD=ACE, ACEBCD, AE=BD. (2)ACBDCE,AONDOM, AOBDOE,NCBMCE.,15.(2016河北,21,9分)如图,点B,F,C,E在直线l上(F,C之间不能直接测量),点A,D在l异侧,测得AB =DE,AC=DF,BF=EC. (1)求证:ABCDEF; (2)指出图中所有平行的线段,并说明理由.,解析 (1)证明:BF=EC, BF+FC
45、=EC+CF,即BC=EF. (3分) 又AB=DE,AC=DF, ABCDEF. (5分) (2)ABDE,ACDF. (7分) 理由:ABCDEF,ABC=DEF,ACB=DFE. ABDE,ACDF. (9分),考点一 三角形的相关概念与性质,三年模拟,A组 20162018年模拟基础题组,1.(2018北京门头沟一模,1)如图所示,有一条线段是ABC(ABAC)的中线,该线段是 ( ) A.线段GH B.线段AD C.线段AE D.线段AF,答案 B 通过观察可知,点D为线段BC的中点,则线段AD符合题意.故选B.,2.(2017北京丰台一模,14)如图,小量角器的0刻度线在大量角器的0刻度线上,且小量角器的 中心