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1、基于画法几何的异面直线间夹等角连线的一般解法朱凤军(吉林工业职业技术学院 机电系 ,吉林 吉林 132013)摘要 :依据空间分析 ,对异面直线间夹等角连线问题做了研究 ,给出了解决该类题目一种新的思路和方法.关键词 :异面直线 ;等角 ;连线 ;角平分面 ;投影方向中图分类号 :O185文献标识码 :A文章编号 :1000 - 1840 - (2007) 03 - 0102 - 02在画法几何的度量问题中 ,关于求作异面直线间的满足某些条件的连线问题 ,一向被普遍认为是 量大面广的一类具有相当难度的图解问题 ,往往使 人感到束手无策. 经常接触并研究这类题目可以深化对画法几何核心知识和基本解
2、题方法的理解和运 用 ,对提高形象思维和逻辑思维能力 ,加强自身业务 素质建设帮助很大. 综观交叉直线间的各种连线问题 ,题目各异 ,条件千变万化 ,但在解题的实践中 ,笔 者发现从题目的基本要求出发还是可以找出其一些 共同特点和形式的. Q CM 1 D CM 1Q CM 1 = D CM 1则 D CM 1 = CM 1 A CM 1 即为所求.符合基本条件的连线几何轨迹的证明图 1 中 , A B 与 CD 为异面直线 , 将 A B 平移至1图 1图 2同理 , 若将 A B 平移至 E F 交 CD 于 G , 则 D G F的角平分面 P2 与 A B 交于 M 2 , D G M
3、 2 = G M 2 A , 则连线 GM 2 即为所求.因此 , 可得结论 :与异面直线夹等角的连线有无 限多 , 且均位于异面直线间一系列角平分面中.C K 后 , 作 D C K 的角平分面 P1 ( 取 Q C = O Q ) , 且与 A B 交于 M 1D C , O D在平面 A B C K 中 : A B KCM 1 = CM 1 A连 M 1 Q , M 1 O , M 1 D , C K在 Q O M 1 及 D O M 1 中 : O DD O M 1 = Q O M 1 ( 直角)O M 1 为公共边 Q O M 1 D O M 1Q M 1 = D M 1=O Q题例
4、分析与作图很明显 , 题目仅符合夹等角这一基本条件解将 是不定的 , 只有进而考虑其它附加条件才能得到唯 一的解 , 这也是我们在解决画法几何综合题目时的 基本思想. 下面列举几个题例 , 阐述笔者对这类连线 问题的理解和处理方法.2在 Q CM 1 及D M 1 = Q M 1CM 1 为公共边D CM 1 中 : CD=CQ例 1求异面直线 A B 和 CD 间的距离 ( 或谓 :求异面直线 A B 与 CD 间的公垂线) .收稿日期 :2007 - 07 - 12作者简介 :朱凤军( 1954 - ) ,男 ,吉林省舒兰市人 ,现为吉林工业职业技术学院副教授. 研究方向 :工程图学及 C
5、AD. 102本题便是一般画法几何教材中常见的题目 , 习惯的解法 : 其一 , 采用二次变换 , 将两直线之一 A B变换成垂直线 , 使其投影积聚 , 然后由积聚点作另一 直线 CD 新投影的垂线 , 由该垂线返求得公垂线在原投影面体系中的投影 ; 其二 , 不变换 , 过其中一条直线 A B 作平面平行另一直线 CD , 然后过 CD 直线 上任一点作平面的垂线 , 进而求垂足再将其平移等 求出公垂线的投影.本文的思路则与已有解法截然不同 , 而是建立在前面证明的基础之上. 凡与异面直线成等角的连 线一定在一系列如图 1 所示的角平分面 Pi 上 , 则所 夹角相同且为直角的连线一定垂直
6、于 CD 和 A B 平 移至和它相交后所确定的平面 , 即连线方向可定 , 有 了连线方向问题便不难解决.图 2 是其求解过程 , 将 CD 平移至 B E , 作 A B 交 B E 平面的垂线 B F , 以 B F 为准进行二次变换 , 则 M N 连线积聚 , 再返求在 V 、H 原体系中的投影.平面 Q 夹定角的连线.本题归结为所求连线既要在 Pi 上 , 又要与 Q 面 夹定角 , 问题仍主要是找此连线的方向. 空间分析如 图 4 , Q 面为已知平面 , P 面为异面直线的角平分 面 , 满足条件的连线一定是锥顶在 P 面上 , 锥底面 在 Q 面上 , 底角为 的圆锥上的且又
7、在 P 面上的某 条素线. 底圆与 M N ( P 与 Q 的交线) 相交于 I 、I I , 则 O I , O I I 即为这样的素线. 但要注意 , 一般讲 O I , O I I 绝不能是要求作的连线 , 而只说明了与要求作 的连线是同方向的 , 这样连线的投影方向便确定了. 图 4 中 , 若所求连线与平面 Q 夹角为, 平面 P 与 Q 的夹角为, 则有 : = 时 , 一解 ; 时 , 无解.例 2等角.作水平连线 M N 与异面直线 A B 和 CD 夹同上述分析类似 , 与 A B 和 CD 夹等角的水平线一定是 Pi 上的某条水平线 , 它一定平行于角平分面 与 H 面迹线
8、 PH . 若求出 P H 的方向 , 则水平连线的 方向也便确定了.图 3 中 , 通过将 CD 线平移至 A E , 与 A B 线组成B A E , 在 A B 上求出 A F 等 A E ( 直角三角形法) , 与 ef 垂直的方向即为 PH 的方向 , 经过一次变换即可求 得所求连线的重影点 m 1 n 1 , 再返回求出 m n 、mn.图 4图 5图 5 是本题的作图过程. 为简化作图可取 A B= CD . 作 A B 和 CD 的角平分面 P , 锥顶 O 选在 P 上 的 O 点 , 一次变换求得圆锥底圆直径 , 通过重合法求得底圆与 M N 交点 I 、I I 的投影并返
9、求在原投影体系中的投影 , 则连线方向 O I 、O I I 确定. 图中用 斜投影法 ( 为使作图清晰 , 没用换面法) 仅作出了沿 O I I 方向的连线 , 另一解略.结论由以上图解过程 ,读者可见本文解决问题的思 路之一斑 ,凡有夹等角这一条件的 ,都可先将所求连 线限定在角平分面这个方位中. 然后 ,再根据其它条 件设法找到其投影方向 ,这一步很关键. 方向知道余 下的就是画法几何作图手段的综合运用了 ,当然应 具备一定的高等画法几何的作图基础.3图 3作与异面直线 A B 和 CD 夹等角 , 且又与例 3参考文献1 大连理工大学工程画教研室. 画法几何学M . 北京 :高等教育出
10、版社 ,2003 .2 朱 辉 ,曹 桄 ,等. 高等画法几何学M . 上海 :上海科学技术出版社 ,1985 .(下转第 106 页) 103参考文献刘 瑶 ,刘 璐. 氟化物对健康的影响J . 国外医学 :医学地理分册 ,2006 ,27 ( 4) :180182 .生部疾病控制司全国地方病防治工作年报表M . 2000 .李永华 ,王五一 ,侯少范. 我国地方性氟中毒病区环境氟的安全阈值J . 环境科学 ,2002 ,23 ( 4) :118122 . 郭小琳. 饮用水中 F - 、Cl - 、NO3 - 、SO42 - 的离子色谱测定法J . 中国卫生工程学 ,2006 ,5 ( 2)
11、 :101102 . 冯建梅. 离子色谱法测定饮用水中氟化物含量J . 山西化工 ,2006 ,26 ( 1) :4143 .黄建平 ,叶 敏. 离子色谱法测定水中氟化物的不确定度评估J . 中国公共卫生 ,2005 ,21 ( 12) :14321433 .陆 军 ,杨仁燕. 离子选择电极分析法测定标样中氟化物的不确定度评定J . 污染防治技术 ,2006 ,19 ( 6) :4748 ,72 .杨仁燕 ,陶书峰. 离子选择电极法与离子色谱法测量低浓度氟化物比较J . 云南环境科学 ,2006 ,25 ( A01) :116116 ,118 .12345678Ion Selection El
12、ectron Determination of Fl uoridein the diff erent Water Environ ment by Filtered or notZ HO U X i ao - g u a n g , T EN G Hon g - h ui( College of Enviro nmental Engineering ,J ilin No r mal U niversit y ,Siping 136000 ,China)Abstract :This text used t he io n selecting elect ro de met ho d ,relati
13、vely measuring t he co ntent of t he fluo ride int he drinking water ,t he view water and t he eart hs surf ace water bo dy by filtered o r not . Wit h water bo dy pol2 lutio n degree increasing ,t he effect of t he deter mining result by filtered o r not was increased. This co uld guide t hat t he
14、analytical perso nnel select t he oppo rt une p rocessing met ho ds acco rding to t he water bo dy pollutio n de2 gree .Key words :fluo ride ;io n selecting elect ro de met ho d ;filter(上接第 103 页)O wing to Techn ique of Pa inting or Dra wing the Geometric Diff rent FaceStraight Line Grips the Equian
15、gular Sort Method of Solving Including the GleanZ HU Fen g - j u n(J ilin Indust ry Occupatio n Tec ,J ilin 132013 ,China)Abstract :Space has andysed ,p ro blem has do ne to gripping t he equiangular co mpany line amo ng different f acest raight line a basis to st udy , have given t he examinatio n questio ns resolving t hat kind o ut o ne kind of new t rain of t ho ught and met ho d.Key words :different f ace st raight line ; Equiangular ;t he angle divides f ace equally ;p rojectio n directio n 106